TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ORIENTE

ALUMNAS:

GOMEZ FUENTES HERMINIA JOSELIN ORTEGA CABRERA BLANCA VAZQUEZ ROSAS CECILIA ARACELY

MATERIA: ESTADISTICA ADMINISTRATIVA

PROFESOR: L.A.E CARLOS GUTIERRES REYNAGA

CARRERA: LICENCIATURA EN CONTADURIA

GRUPO: 4C11

TURNO: MATUTINO

INDICE

3.1 Distribución Binomio3.1.1 Concepto3.1.2 Propiedades, media, varianza, desviación estándar3.1.3 Ejemplo

3.2 Distribución de Poisson3.2.1 Concepto3.2.2 Propiedades, media, varianza, desviación estándar3.2.3 Ejemplo3.2.4 Grafica

3.3 Distribución Hipergeometrica3.3.1 Concepto3.3.2 Función de probabilidad hipergeometrica3.3.3 Media y varianza3.3.4 Ejemplo3.3.5 Graficas hipergeometricas

3.4 Distribución Normal3.4.1 Concepto3.4.2 Propiedades, media, varianza, desviación estándar3.4.3 Ejemplo3.4.4 Grafica

BIBLIOGRAFIAS

3.1DISTRIBUCION BINOMIAL DE PROBABILIDAD

3.1.1 CONCEPTO

La distribución binomial de probabilidad es una distribución discreta de probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con un experimento de etapas múltiples que llamamos binomial.

3.1.2PROPIEDADES

Un experimento binomial tiene cuatro propiedades:

El experimento consiste en una sucesión de “n” intentos o ensayos idénticos.En cada intento o ensayo son posibles dos resultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro fracaso.La probabilidad de un éxito representada por “p” no cambia de un intento o ensayo a otro. En consecuencia, la probabilidad de un fracaso, representada por 1-p, no cambia de un intento a otro.Los intentos o ensayos son independientes.

Si existen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se generan mediante un proceso de Bernoulli. Si además existe la propiedad 1, se dice que se tiene un experimento binomial.

En un experimento binomial nos interesa la cantidad de éxitos que suceden en los “n” intentos. Si hacemos que “X” represente la cantidad de éxitos en los “n” intentos vemos que “x” puede asumir los valores 0, 1, 2,3…….”n”. Como la cantidad de valores es finita, “x “es una variable aleatoria discreta.

La distribución de probabilidad asociada con esa variable aleatoria se llama distribución binomial de probabilidad.

3.1.2MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL

La media de la distribución binomial puede determinarse como

E (X )=∑x=0

n

x .n !

x ! (n−x )! px qn−x

¿np∑x=1

n (n−1 ) !( x−1 ) ! (n−x ) !p

x−1 qn−x

Y dejando y=x-1

E (X )=np∑y=0

n−1 (n−1)

y ! (n−1− y )! px−1qn−x

Por lo que E (X )=np

Al emplear un enfoque similar encontramos la varianza como

V (X )=∑x=0

nx2n!

x ! (n−x )!px−1q

n−x

−¿

De manera que

V (X )=npq

3.1.3 EJEMPLO

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. La probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más de 2/3.

Hallar la probabilidad de que transcurridos 30 años vivan:

1. Las cinco personas2. Al menos tres personas3. Exactamente dos personas

a) Las cinco personas

B(5 , 23 ) p=23 q=13p (X=5 )=(55) 2

5

3=0.132

b) Al menos tres personasp (X ≥3 )=p (X=3 )+ p ( X=4 )+ p (X=5 )=¿

¿

(53)∗233

∗12

3+

(54)∗243

∗1

3+(55) 2

5

3=0.791

c) Exactamente dos personas

p (X=2 )=

(52)∗223

∗13

3=0.164

3.2DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en1838 en su trabajo Recherches

sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la

probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Esta variable aleatoria discreta se usa con frecuencia para estimar la cantidad de sucesos u ocurrencias en determinado intervalo de tiempo o espacio. Por ejemplo la variable aleatoria de interés podría ser la cantidad de llegadas a un auto lavado en una hora, la cantidad de reparaciones que necesitan 10 millas de carretera o la cantidad de fugas en 100 millas de oleoducto. Si se satisfacen las dos propiedades siguientes, la cantidad de ocurrencias es una variable aleatoria que se describe con la función de probabilidad de Poisson

3.2.1 CONCEPTO

Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia

media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de

tiempo.

3.2.2PROPIEDADES GENERALES, MEDIA, VARIANZA, DESVIACION ESTANDAR.

La función de masa de la distribución de Poisson es

f ( k ; xkk ! )Donde

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de

que el evento suceda precisamente k veces).

x es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el

fenómeno durante un intervalo dado.

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson

son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos

coeficientes tienen una interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado de la

distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento

iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el

mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando

λ es un entero positivo, las modas son X y X − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado x es

e (e tx )=∑k=n

∞

etkf ( k ; x )=∑k=∩

∞

e tkxk e−x

k !=ex (et−1 )

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La media de la distribución de Poisson es c y la varianza es también c, como se verá en seguida.

E (X )=∑x=0

∞xe−c cx

x !=∑x=1

∞e−c cx

( x−1 )!

¿ce−c [1+ c1 !+ c2

2!+… ]

¿ce−c . ec

¿c

De modo similar

E (X ² )=∑X=0

∞x ² e−cc x

x !c2+c

Por lo que

V (X )=E (X ² )−[E ( X ) ] ²

La función generatriz de momento es

M X (t )=ec (e t−1)

La utilidad de esta función generatriz se ilustra en el siguiente teorema.

Si X1 , X2… XK son variables aleatorias distribuidas independientemente, teniendo cada cual una

distribución de Poisson con parámetro C i , i=1,2 ,…ky Y=X1+X2+…X K entonces y tiene una distribución de Poisson con parámetro.

c=c1+c2+...+ck

Prueba: la función generatriz de momento de X1 es

M X1 (t )=ec1 (e t−1 )

Y puesto que M Y ( t )=M X2( t )…M x k

( t ), entonces

M Y (t )=e (c1+c2+…+ck ) (e t−1 )

Que se reconoce como la función generatriz de momentos de una variable aleatoria de Poisson.

Esta propiedad reproductiva de la distribución de Poisson es de suma utilidad. Simplemente establece que las sumas de las variables aleatorias independientes de Poisson se distribuyen de acuerdo a la distribución de Poisson

3.2.3EJEMPLO

Supóngase que un comerciante en pequeño determina que el numero de pedidos para cierto aparato domestico en un periodo particular tiene una distribución de Poisson con parámetro c. A él le gustaría determinar el nivel de existencias k para el principio del periodo de manera que haya una probabilidad de al menos .95 de surtir a todos los clientes que pidan el aparato durante el periodo, pues no se desea devolver pedidos ni volver a surtir del almacén durante ese periodo. Si X representa el número de pedidos, al comerciante desea determinar k de forma que

P (X ≤K )≥ .95

O

P (X>K )≤ .05

Por lo que

∑x=K+1

∞

e−c (c ) xx !≤ .05

La solución puede determinarse directamente de las tablas de distribución de Poisson

3.2.4GRAFICA DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON

2

1.5

1

.5

3.3DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA DE PROBABILIDAD

3.3.1CONCEPTO

La distribución hipergeométrica de probabilidad se relaciona estrechamente con la distribución binomial. La diferencia principal entre las dos estriba en que, con la distribución hipergeométrica, los intentos no son independientes y en que la probabilidad de éxito cambia de un intento a otro.

La notación que se acostumbra al aplicar la distribución hipergeométrica de probabilidad es que “r” represente la cantidad de elementos en la población de tamaño”N” que se identifica como éxitos, y que N-r represente la cantidad de elementos en la población que se identifican como fracasos. La distribución hipergeométrica de probabilidad se usa para calcular la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de “n” artículos, seleccionados sin remplazo, obtengamos x elementos identificados como éxitos y n-x identificados como fracasos. Para que suceda esto debemos obtener “x” éxitos de los “r” en la población, y n-x fracasos de los N-r de la población.

La siguiente función hipergeométrica de probabilidad determina f(x), la probabilidad de obtener x éxitos en una muestra de tamaño n.

3.3.2FUNCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA

f ( x )=( rx)(N −¿ r

n −¿ x )(Nn )

Para 0≤ x≤ r

En donde

F(x) = probabilidad de x éxito en n intentos

n=la cantidad de intentos

N= la cantidad de elementos en la población

r=cantidad de elementos identificados como éxitos en la población

3.3.3MEDIA Y VARIANZA

Estas son:

E ( x )=n .(Dx )Y

V ( x )=n .[DN ] .[1 −¿ DN ] .[ N −¿n

N −¿1 ]

3.3.4 EJEMPLO

En un departamento de inspecciones d envíos, se reciben en forma periódica lotes de ejes de bombas. Los lotes contienen 100 unidades y el siguiente plan de muestreo de aceptación se utiliza. Se selecciono una muestra aleatoria de 10 unidades sin remplazo. El lote se acepta si la muestra no tiene más de un artículo defectuoso. Supóngase que se recibe un lote que es p´ (100) por ciento defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado?

P (lote aceptado)

¿ p ( x ≥ 1 )=∑i=0

n

(100 p ´x )(100 [1 −¿ p´ ]10 −¿ x )

(10010 )=(100 p ´o )(100 [1 −¿ p ' ]

10 )+(100 p ´1 )(100 [1−p´ ]

9 )(10010 )

Es evidente que la probabilidad de aceptar el lote es una función de la calidad de lote p´

Si P´ = .05, entonces

P (lote aceptado) =¿(50)(9510)+(51)(955 )

(10010 )=.923

3.3.5 GRAFICAS HIPERGEOMETRICAS

0123456

3.4 DISTRIBUCIÓN NORMAL

Esta distribución es muy importante tanto en la teoría como en las aplicaciones estadísticas.La distribución Normal se estudio primero en el siglo XVIII cuando se observo que los patrones en los patrones de los errores en las mediciones seguían una distribución simétrica en forma de campana. Durante los siglos XVIII y XIX se hicieron varios intentos para establecer esta distribución como la ley de la probabilidad básica para todas las variables continuas aleatorias; de tal modo, se aplico el nombre de normal.

3.4.1 CONCEPTO

Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución Gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

3.4.2 PROPIEDADES, MEDIA, VARIANZA, DESVIACION ESTANDAR DE LA DISTRIBUCION NORMAL

La distribución normal tiene varias propiedades importantes:

1. ∫−∞

∞

f ( x )dx=1

2. f ( x )≥0 paratodo x

3. lim ¿x→∞ f ( x )=0¿

4. f [ ( x+μ ) ]= [−( x−µ ) ] . Ladensidad es simetrica al rededorde µ

5. El valor máximo de f ocurreen x=μ

6. Los puntos de inflexión de f es tan enx=μ±σ

7. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

8. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre −¿∞¿ y +∞ es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

9. Es simétrica con respecto a su media µ. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

10. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica (σ ). Cuanto mayor sea σ , más aplanada será la curva de la densidad.

11. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo (μ−1.96σ ,μ+1.96σ )

12. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ .La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

13. Media

La media de la distribución normal puede determinarse con facilidad puesto que:

E ( x )=∫−∞

∞x

σ√2πe−(12 ) ⌊ (x−μ) /σ ⌋ ²

dx

Y si hacemos z=( x−μ )/σ , obtenemos:

E (X )=∫−∞

∞1

√2π(μ+σz ) e

−( z 22 )dz

¿ μ∫−∞

∞1

√2πe

−z ²2 dz+σ ∫

−∞

∞1

√2 πze

− z ²2 dz

Puesto que el integrado de esta primera integral es el de una densidad normal con μ=0 yσ 2=0 el valor de la primera integral es uno. La segunda integral vale cero, esto es,

∫−∞

∞1

√2πze

z ²2 dz= −1

√2 πe

− z ²2 ⃒−∞∞ =0

Y en consecuencia

E (X )=μ [1 ]+σ [0 ]=μ

14. Varianza

Para determinar la varianza debemos evaluar:

V (X )=E [ (X−μ ) ² ]=∫−∞

∞

(x−μ ) ² 1σ√2π

e−( 12 ) [ ( x−μ ) /σ ] ²dx

Y dejando z=( x−μ )σ

obtenemos

V (X )=∫−∞

∞

σ ² z ²1

√2 πe

− z ²2 dz=σ ² [∫

−∞

∞z ²2πe

−z ²2 dz ]

¿σ ² [−ze− z ²2

√2π −⃒∞∞ 1

√2 πe

− z ²2 dz ]

¿σ ² [0+1 ]

Por lo que

V (X )=σ ²En resumen la media y la varianza de la densidad normal dadas en la ecuación son μ y σ ², respectivamente.

La función generatriz de momentos para la distribución normal será

M x (t )=e( tμ+σ ² t ²2 )

3.4.3EJEMPLO

E l tiempo requerido para reparar una máquina automática de carga en una operación compleja de empaque de alimentos de un proceso de producción es X minutos. Se ha

mostrado en unos estudios de aproximación X N (120,16 )es bastante buena. En la siguiente figura se presenta un dibujo. Si el proceso se interrumpe por más de 125 minutos, todo el equipo debe limpiarse, con la perdida de todos los productos en el proceso. El costo total de la pérdida del producto y la limpieza asociada con el prolongado tiempo de interrupción es de $10,000 dólares. Para determinar la probabilidad de esta ocurrencia, procedemos como sigue:

P (X>125 )=(Z>125−1204 )=P (Z>1.25 )

¿1−∅ (1.25 )

¿ .1056

Así, dado un paro de la máquina de empaque, es costo esperado es E (C )=.1056 (10000+CR1 )+.8944 (CR1 ), donde C es el costo total de CR1 es el costo de reparación. En forma simplificada, E (C )=CR1+1056. Supóngase que la administración puede reducir la media de la distribución del tiempo de servicio de 115 minutos añadiendo más personal de mantenimiento. El nuevo costo de reparación será CR2>CR1 sin embargo,

3.4.4 GRAFICAS

σ=4

μ=120 125

σ=1

1.25

μ=0

P (X>125 )=P(Z> 125−1154 )=P (Z>2.5 )

¿1−∅ (2.5 )

¿1−.9938

¿ .0062

Por lo que el nuevo costo esperado seria CR1+62; lógicamente se tomaría la decisión de añadir la cuadrilla de mantenimiento si

CR2+62<CR1+1050

(CR2−CR1 )<$994

Se supone que la frecuencia de las interrupciones permanece invariable

BIBLIOGRAFIA

ANDERSON SWEENEY WILLIAMS ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA SEPTIMA EDICION EDITORIAL ONTERNATIONAL THOMSON

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIERIA TERCERA EDICION WILLIAM W. HINES DOUGLAS C. MONTGOMERY

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA SEGUNDA EDICION MURRAY R. SPIEGEL JOHN SCHILLER R. ALU SPRINIVASAN EDITORIAL MC GRAW HILL