+ndice de cornell

Fundamentos del método LRFD

Sebastian Stefanini

Índices de seguridad

Existen distintas formas de considerar la seguridad en el diseño de las estructuras. Una de

ellas es mediante el uso de índices con base probabilística. Estos índices de seguridad se definen en

función de los momentos de primer y segundo orden (valores medios, varianzas y covarianzas) de

las variables aleatorias que intervienen en el diseño. En la interpretación de los índices se tiene en

cuenta el tipo de función de densidad de probabilidad de cada variable aleatoria.

En principio sólo se analizarán modelos en los que intervienen dos variables aleatorias y

luego se ampliarán los análisis a modelos con varias variables.

La resistencia de un elemento estructural se puede considerar como una variable aleatoria R

cuyo valor medio es µR y su desvío estándar es σR, y la solicitación sobre el mismo elemento

estructural también se puede considerar como otra variable aleatoria S cuyo valor medio es µS y su

desvío estándar es σS. El coeficiente de correlación entre ambas variables es RQρ

Cuando s supera a r la solicitación del elemento estructural es mayor que su resistencia, por

lo tanto se produce la falla del mismo. Por otro lado, cuando r supera a s la resistencia del elemento

es mayor que la solicitación, o sea que el elemento se encuentra en un “dominio seguro”. Todos

aquellos puntos en los que r iguala a s representan un estado límite del elemento estructural y la

ecuación correspondiente se conoce como ecuación de estado límite.

Seguido se analizarán distintos índices de seguridad.

Fundamentos del método LRFD

Sebastian Stefanini

Índice de Cornell (1969)

Si R y S son variables aleatorias con distribución normal entonces la función M R S= − ,

conocida como función de seguridad marginal, también tendrá una distribución normal con valor

medio y desvío estándar M R Sµ µ µ= − y 2 2 2M R S RQ R Qσ σ σ ρ σ σ= + − respectivamente.

Por lo tanto el elemento estructural se encontrará en una zona de falla cuando 0M < . La

ecuación de estado límite es 0M =

Si se normaliza la variable aleatoria M, se puede calcular fácilmente la probabilidad de falla

o probabilidad de que el elemento estructural se encuentre en una zona de falla:

0( 0) M M Mf

M M M

P P M P Z P Zµ µ µσ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= < = < = < − = Φ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

expresión en la que Z es un variable aleatoria con distribución normal estándar y Φ es la

función de distribución normal estándar.

Al cociente MC

M

µβσ

= se lo denomina índice de seguridad, resultando ( )f CP β= Φ −

O sea que la probabilidad de falla del elemento estructural está directamente relacionada con

el índice de seguridad βC como lo muestra la siguiente tabla

βC 1.28 2.33 3.09 3.72 4.26 4.75

fP 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6

Desde el punto de vista geométrico βC representa la distancia medida en unidades Mσ desde

Mµ hasta el origen.

Definiendo un factor de seguridad central como R

S

FSµµµ

= entonces el índice de

seguridad se podría expresar en función de este factor del siguiente modo

2 2 2 2 2 2

22 2

R S

R S SMC

M R S RS R S R R S S RS R R S S

S

µ µµ µ µµβ

σ σ σ ρ σ σ µ δ µ δ ρ µ δ µ δµ

−−

= = =+ − + −

2 2 2

1

2C

R S RS R S

FS

FS FSµ

µ µ

βδ δ ρ δ δ

−=

+ − ⋅

Fundamentos del método LRFD

Sebastian Stefanini

Es de tener en cuenta que el índice de seguridad y por lo tanto la probabilidad de falla es

función del factor de seguridad central y de los coeficientes de variación de las variables R y S. Por

lo tanto la utilización de un único factor de seguridad central si bien puede ser práctica no determina

una probabilidad de falla.

Ver el anexo 1 a.