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SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

Agenda Conversión ADC Concepto y Representación del muestreo

periódico de una señal continua Análisis del muestreo en dominio de la

frecuencia El teorema del muestreo – frecuencia de

Nyquist El muestreo en el dominio del tiempo:

interpolacion y filtros de recuperación Cuantizacion Submuestreo y Aliasing (Enmascaramiento)

CONVERSION ADC

La señal analógica PUEDE transformase en una forma de onda digital, discreta en el tiempo y amplitud.

Este proceso consta de tres etapas: Muestreo, Cuantización y Codificación.

Muestreo Cuantización Codificador

SeñalDigital

Señal Analógica

Señal Discreta en Tiempo Continua en Amplitud

Señal Discreta en Tiempo Discreta en Amplitud

CONVERSION ADC

El primer componente es un muestreador que extrae valores de muestra de la señal de entrada en intervalos de tiempo regular.

La salida del muestreador es una señal discreta de tiempo pero continua de amplitud, puesto que los valores de muestras seguirán siendo continuos en el rango de valores de la señal de entrada x(t).

El segundo componente es un cuantizador, el cual cuantiza un rango continuo de valores en un numero finito de valores de muestras, de tal manera que cada valor de muestra puede ser representado por una palabra digital.

El codificador mapea cada valor de muestra cuantizado en palabra digital.

MUESTREO

La mayoría de las señales que nos encontramos son señales de tiempo continuo; por ejemplo, x(t). ¿Cómo las convertimos en señales de tiempo discreto x[n]? Muestreo, tomando instantáneas de x(t) cada T

segundos. Donde T es el periodo de muestreo

x[n] ≡ x(nT), n = ..., -1, 0, 1, 2, ... CORRESPONDEN A muestras espaciadas a intervalos regulares

Aplicaciones: DSP Imágenes en Periódicos Osciloscopio de Muestreo

¿Por qué, o cuándo, se considera adecuado un conjunto de muestras?

Muchas señales pueden tener los mismos valores de muestras

Las técnicas de muestreo dejan de lado mucha información se pierden todos los valores de x(t) entre los puntos de muestreo.

Consideración Importante en el muestreo

¿Bajo qué condiciones podemos reconstruir la señal original x(t) en tiempo continuo a partir de sus muestras?

Muestreo

Para extraer muestras de una señal x(t) un conmutador electrónico puede ser utilizado, cuando esté cerrado toma brevemente el valor de x(t) y abierto toma el valor de cero.

x(t) xs(t)

Dispositivo de Muestreo

x

p(t)

x(t) xs(t)

Modelo Matemático del Dispositivo de Muestreo

Muestreo Para que el proceso de muestreo sea útil, se debe mostrar

que es posible recuperar x(t) de las muestras de xs(t). Si se sabe que x(t) muestreada es xs(t) y esta definida por:

p(t) es conocida como la función de muestreo, modelando la acción del conmutador electrónico. Consideraremos a esta función como un tren de pulsos periódico. De allí, que p(t) puede ser escrita como una serie de Fourier

)()()( tptxtxs

2/

2/

22 )(1 ,)(T

T

tnfjn

n

tnfjn dtetp

TCeCtp ss

x(t)

T 2T 3T 4T t

p(t)

tT 2T 3T 4T

Señal Analógica y Tren de Pulsos

Entonces la señal muestreada puede ser escrita como:

Por definición la transformada de Fourier de xs(t) es:

n

tnfjns

setxCtx 2)()(

dtetxfX tfjss

2)()(

dteetxCfX tfj

n

tnfjns

s

22)()(

n

nfftjns dtetxCfX s )(2)()(

n

sns nffXCfX )()(

Muestreo

X(f)

ffh-fh

Xs(f)

ffh-fh fs+fhfs-fh-fs+fh-fs-fh

ESPECTROS DE LA SEÑAL Y LA SEÑAL MUESTREADA

Filtro de Reconstrucción

Lo que muestra que el espectro de la señal muestreada xs(t) esta compuesto por el espectro de x(t) mas el espectro de x(t) trasladada a cada harmónica de frecuencia de muestreo.

Si la señal muestreada es filtrada por un filtro de reconstrucción, la salida del filtro es, en el dominio de la frecuencia

Xr(f)=CoX(f) Y en el dominio del tiempo

xr(t)=Cox(t) Si x(t) es de banda limitada, X(f) es cero para |f|>fh, la

señal x(t) es recuperable si

f – fh >fhf >2fh

Teorema del Muestreo

Esta es la mínima frecuencia de muestreo, y fh es la mas alta frecuencia en la señal x(t).

Esto es lo que se conoce como el teorema de Muestreo de señales de banda limitada pasa bajos.

Una señal de banda limitada x(t), sin componentes de frecuencia mayores que fh Hertz, esta completamente definida por muestras que son tomadas a una tasa de 2fh Hertz. En otras palabras, el tiempo entre muestras no debe ser mayor a 1/2fh.

Teorema del Muestreo (Nyquist)

Muestreo Impulsional El muestreo impulsional es el muestreo ideal, es decir, con

una secuencia de funciones impulsos unitarios.

donde Ts es el período de muestreo igual al inverso de fs. Y δ(t) es la función delta de Dirac o la función impulso.

La señal muestreada seria:

Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede determinar que la función x(t) muestreada es;determinar que la función x(t) muestreada es;

n

nsnTttx )()(

)()()( txtxtxs

n

nsss nTtnTxtx )()()(

Para obtener la señal en el dominio de la frecuencia, utilizamos la propiedad de multiplicación en el tiempo, convolución en frecuencia. La transformada de Fourier de la señal de impulsos es:

Y recordando que la convolución con la función impulso es la función original desplazada, de la siguiente manera.

La transformada de Fourier de la señal muestreada queda:

n

ns

s

nffT

fX )(1)(

)()(*)( ss nffXnfffX

ns

ss nff

TfXfXfXfX )(1*)()(*)()(

n

ss

s nffXT

fX )(1)(

Muestreo Impulsional

Muestreo Natural (Gating) Si x(t) es una forma de onda analógica de ancho de banda

limitado B Hz, la señal PAM que usa muestreo natural es

El ciclo de trabajo de s(t) es d = τ/Ts.El espectro de la señal naturalmente muestreada se calcula en función de la propiedad de multiplicación en el tiempo, convolución en frecuencia. s(t) puede ser representada también por las series de Fourier

k

ss

kTttxtstxtx

)()()()(

,)(

n

tjnn

seCts

dndnSindCn )(

Ya que s(t) es una señal periódica puede obtenerse el espectro como:

Para obtener el espectro de la señal muestreada natural

n

sn nffCfS )()(

nsn

nsns nfffXCnffCfXfX )(*)()(*)()(

n

sns nffXCfX )()(

Muestreo Natural (Gating)

Muestreo Instantáneo (FLAT-TOP) Si la señal x(t) es una señal analógica de ancho de banda

limitado B Hz, la señal PAM muestreada instantáneamente está dada por:

,)()(*)()(

k

ss kTttxthtx

El espectro para la señal flat-top PAM es:

n

ss

s nffXfHT

fX )()(1)(

en donde H(f) esta dada por:

ffSinfH

)()(

Observaciones sobre el Muestreo

En la práctica, lógicamente no se muestrea impulsos ni se implementan filtros de paso bajo ideales.

Un ejemplo práctico: El retenedor de orden cero

Observaciones sobre el Muestreo El muestreo es una operación intermitente, ya que

multiplicamos x(t) por la función intermitente p(t). Sin embargo,

es el sistema de identidad (que es invariante en el tiempo, TI) para x(t) de banda limitada que cumple el teorema de muestreo (ωs > 2ωM).

¿Qué ocurre si ωs≤ 2ωM?

Reconstrucción de Datos Retomando el muestreo impulsional para nuestra

señal

Puesto que la función delta es cero excepto en los instantes de muestreo t=kT. El filtro de reconstrucción, el cual es un sistema LTI, tiene una respuesta al impulso h(t), la salida del filtro de reconstrucción y(t).

kk

s kTtkTxkTttxtx )()()()()(

dthkTkTxthtxtyk

s )()()()(*)()(

Cambiando el orden de la sumatoria e integración

Ya que la entrada del filtro es una suma de impulsos, se sigue que la salida del filtro es la suma de las respuestas al impulso. La salida y(nT) es la simplemente la suma de las respuestas al impulso individuales.

El problema ahora es determinar la forma de la función de respuesta al impulso para que y(t) sea una buena aproximación de x(t).

k

dthkTkTxty )()()()(

k

kTthkTxty )()()(

Reconstrucción de Datos

Filtro de Reconstrucción Ideal

Asumiendo que la señal x(t) es muestreada a la frecuencia que excede la tasa de Nyquist, el filtro de reconstrucción ideal esta definido por

Sustituyendo en la respuesta del filtro

d.o.m 0

5.0)( sffT

fH tSincfth s)(

kk

s kTtSinckTxkTtSincfkTxty )()()()()(

Filtro de Reconstrucción

Ideal

k

s kTtkTxtx )()()(

d.o.m 0

5.0)( sffT

fH

x(t)

Filtro de Reconstrucción Ideal

Ilustración gráfica de la interpolación del dominio del tiempo

Este filtro es claramente no causal, y la respuesta al impulso unitario no es limitada en el tiempo, no puede ser usada para aplicaciones de tiempo real.

Ya que h(t) no es limitada en el tiempo, un número infinito de respuestas al impulso deben ser usadas para la interpolación de valores entre muestras, si resultados exactos son obtenidos.

Sin embargo, se puede aproximar

TnTtnT ,)()()(1

ln

lnk

kTtSinckTxtytx

Filtro de Reconstrucción Ideal

Submuestreo y Aliasing Cuando ωs≤ 2 ωM Submuestreo

Submuestreo y Aliasing

Xr(jω) ≠ X(jω)

Distorsión debida al aliasing

• Las frecuencias superiores de x(t) se "pliegan" y toman los "alias" de las frecuencias inferiores.

• Observe que el tiempo de muestreo, xr(nT) = x(nT)

Interpolación Lineal

Si la frecuencia de muestreo es mucho mayor que la tasa de Nyquist, fs >>>2fh, la interpolación lineal puede ser usada para reconstruir una aproximación cercana d la señal analógica x(t) a partir de la señal muestreada.

d.o.m 0

1)( TtTt

Ttth

k

kTtkTxty )()(

Para t entre t=nT-T y t=nT

Solo dos valores de la muestra son necesarios para interpolar valores entre muestra.

La naturaleza de la aproximación puede ser vista en la siguiente gráfica, observando que

H(f)=TSinc2fT

Para este filtro hay dos fuentes de error: H(f) no es cero para |f| ≥0.5fs H(f) no es exactamente una constante para |f| ≤fh

1)()()( n

TtnTx

TtnTnTxtx

Interpolación Lineal

Reconstrucción con Filtro RC Los filtros vistos anteriormente son filtros de

reconstrucción no causales y por lo tanto no son de aplicación en tiempo real.

Para muchas aplicaciones un filtro práctico causal de reconstrucción es el filtro de primer orden RC cuya función de transferencia es:

Donde f3 es la frecuencia de la mitad de potencia o de 3 dB

)/(1)(

3ffjTfH

RCf

21

3

Remplazando para la respuesta del filtro

Las fuentes de error para este filtro son los mismos que para el filtro de interpolación lineal.

Esto puede ser visto ya que el espectro resultante para la operación de muestreo no es completamente atenuado, y por lo tanto y(t) es solo una aproximación de la señal analógica x(t).

La aproximación es buena, si f3 es mucho mayor que fh, el ancho de banda de la señal analógica.

)(2)()( )(23

3 kTtueTfkTxty kTtfj

k

Reconstrucción con Filtro RC

Cuantizacion y Codificación

Cuantización es el proceso de limitar los valores de amplitud de la señal muestreada en un conjunto de valores finitos de amplitud.

Cuantización Escalar: Cuantización Uniforme (Lineal) Cuantización no Uniforme (Logarítmica)

Cuantización Vectorial

El proceso de codificación es representar los valores permitidos por una palabra digital de longitud fija.

Cuantización y Codificación

Para una representación binaria, el número de niveles de cuantización será

M=2n

donde n es la longitud de la palabra binaria. El paso de cuantización es

nn

VVD22

minmax

Cuantización y Codificación

Cuantización Uniforme o Lineal

Valor Cuantizado

Valor de Muestra-1-2-3-4

4321

0.5

1.5

2.5

3.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

Error de Cuantización La medida del error de cuantización puede ser

deducida si se observa que para un intervalo de valores el error máximo puede ser /2.

Si se integra para un intervalo de cuantización desde –0 a t1 y se divide para t1, tendríamos el error de cuantización promedio.

0 1

0.5

-0.5

Error de Cuantización

donde la función Є() es:

1

1

)(21 2

1

t

tq d

tE

12

)(t

1212221

21 2

03

31

2

0

2

11

2

11

1

11

1

ttt

tq t

dtt

dtt

E

nq

DE 22

212

SNR de un cuantizador

La relación señal a ruido de un cuantizador es

Expresando esta relación señal a ruido en dB, se tiene:

ns

q

s DPEP

SNR 22 212

2log20log20log1012log10 nDPSNR sdB

DPnSNR sdB log20log1002.679.10