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Agenda Conversión ADC Concepto y Representación del muestreo
periódico de una señal continua Análisis del muestreo en dominio de la
frecuencia El teorema del muestreo – frecuencia de
Nyquist El muestreo en el dominio del tiempo:
interpolacion y filtros de recuperación Cuantizacion Submuestreo y Aliasing (Enmascaramiento)
CONVERSION ADC
La señal analógica PUEDE transformase en una forma de onda digital, discreta en el tiempo y amplitud.
Este proceso consta de tres etapas: Muestreo, Cuantización y Codificación.
Muestreo Cuantización Codificador
SeñalDigital
Señal Analógica
Señal Discreta en Tiempo Continua en Amplitud
Señal Discreta en Tiempo Discreta en Amplitud
CONVERSION ADC
El primer componente es un muestreador que extrae valores de muestra de la señal de entrada en intervalos de tiempo regular.
La salida del muestreador es una señal discreta de tiempo pero continua de amplitud, puesto que los valores de muestras seguirán siendo continuos en el rango de valores de la señal de entrada x(t).
El segundo componente es un cuantizador, el cual cuantiza un rango continuo de valores en un numero finito de valores de muestras, de tal manera que cada valor de muestra puede ser representado por una palabra digital.
El codificador mapea cada valor de muestra cuantizado en palabra digital.
MUESTREO
La mayoría de las señales que nos encontramos son señales de tiempo continuo; por ejemplo, x(t). ¿Cómo las convertimos en señales de tiempo discreto x[n]? Muestreo, tomando instantáneas de x(t) cada T
segundos. Donde T es el periodo de muestreo
x[n] ≡ x(nT), n = ..., -1, 0, 1, 2, ... CORRESPONDEN A muestras espaciadas a intervalos regulares
Aplicaciones: DSP Imágenes en Periódicos Osciloscopio de Muestreo
¿Por qué, o cuándo, se considera adecuado un conjunto de muestras?
Muchas señales pueden tener los mismos valores de muestras
Las técnicas de muestreo dejan de lado mucha información se pierden todos los valores de x(t) entre los puntos de muestreo.
Consideración Importante en el muestreo
¿Bajo qué condiciones podemos reconstruir la señal original x(t) en tiempo continuo a partir de sus muestras?
Muestreo
Para extraer muestras de una señal x(t) un conmutador electrónico puede ser utilizado, cuando esté cerrado toma brevemente el valor de x(t) y abierto toma el valor de cero.
x(t) xs(t)
Dispositivo de Muestreo
x
p(t)
x(t) xs(t)
Modelo Matemático del Dispositivo de Muestreo
Muestreo Para que el proceso de muestreo sea útil, se debe mostrar
que es posible recuperar x(t) de las muestras de xs(t). Si se sabe que x(t) muestreada es xs(t) y esta definida por:
p(t) es conocida como la función de muestreo, modelando la acción del conmutador electrónico. Consideraremos a esta función como un tren de pulsos periódico. De allí, que p(t) puede ser escrita como una serie de Fourier
)()()( tptxtxs
2/
2/
22 )(1 ,)(T
T
tnfjn
n
tnfjn dtetp
TCeCtp ss
x(t)
T 2T 3T 4T t
p(t)
tT 2T 3T 4T
Señal Analógica y Tren de Pulsos
Entonces la señal muestreada puede ser escrita como:
Por definición la transformada de Fourier de xs(t) es:
n
tnfjns
setxCtx 2)()(
dtetxfX tfjss
2)()(
dteetxCfX tfj
n
tnfjns
s
22)()(
n
nfftjns dtetxCfX s )(2)()(
n
sns nffXCfX )()(
Muestreo
X(f)
ffh-fh
Xs(f)
ffh-fh fs+fhfs-fh-fs+fh-fs-fh
ESPECTROS DE LA SEÑAL Y LA SEÑAL MUESTREADA
Filtro de Reconstrucción
Lo que muestra que el espectro de la señal muestreada xs(t) esta compuesto por el espectro de x(t) mas el espectro de x(t) trasladada a cada harmónica de frecuencia de muestreo.
Si la señal muestreada es filtrada por un filtro de reconstrucción, la salida del filtro es, en el dominio de la frecuencia
Xr(f)=CoX(f) Y en el dominio del tiempo
xr(t)=Cox(t) Si x(t) es de banda limitada, X(f) es cero para |f|>fh, la
señal x(t) es recuperable si
f – fh >fhf >2fh
Teorema del Muestreo
Esta es la mínima frecuencia de muestreo, y fh es la mas alta frecuencia en la señal x(t).
Esto es lo que se conoce como el teorema de Muestreo de señales de banda limitada pasa bajos.
Una señal de banda limitada x(t), sin componentes de frecuencia mayores que fh Hertz, esta completamente definida por muestras que son tomadas a una tasa de 2fh Hertz. En otras palabras, el tiempo entre muestras no debe ser mayor a 1/2fh.
Teorema del Muestreo (Nyquist)
Muestreo Impulsional El muestreo impulsional es el muestreo ideal, es decir, con
una secuencia de funciones impulsos unitarios.
donde Ts es el período de muestreo igual al inverso de fs. Y δ(t) es la función delta de Dirac o la función impulso.
La señal muestreada seria:
Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede determinar que la función x(t) muestreada es;determinar que la función x(t) muestreada es;
n
nsnTttx )()(
)()()( txtxtxs
n
nsss nTtnTxtx )()()(
Para obtener la señal en el dominio de la frecuencia, utilizamos la propiedad de multiplicación en el tiempo, convolución en frecuencia. La transformada de Fourier de la señal de impulsos es:
Y recordando que la convolución con la función impulso es la función original desplazada, de la siguiente manera.
La transformada de Fourier de la señal muestreada queda:
n
ns
s
nffT
fX )(1)(
)()(*)( ss nffXnfffX
ns
ss nff
TfXfXfXfX )(1*)()(*)()(
n
ss
s nffXT
fX )(1)(
Muestreo Impulsional
Muestreo Natural (Gating) Si x(t) es una forma de onda analógica de ancho de banda
limitado B Hz, la señal PAM que usa muestreo natural es
El ciclo de trabajo de s(t) es d = τ/Ts.El espectro de la señal naturalmente muestreada se calcula en función de la propiedad de multiplicación en el tiempo, convolución en frecuencia. s(t) puede ser representada también por las series de Fourier
k
ss
kTttxtstxtx
)()()()(
,)(
n
tjnn
seCts
dndnSindCn )(
Ya que s(t) es una señal periódica puede obtenerse el espectro como:
Para obtener el espectro de la señal muestreada natural
n
sn nffCfS )()(
nsn
nsns nfffXCnffCfXfX )(*)()(*)()(
n
sns nffXCfX )()(
Muestreo Natural (Gating)
Muestreo Instantáneo (FLAT-TOP) Si la señal x(t) es una señal analógica de ancho de banda
limitado B Hz, la señal PAM muestreada instantáneamente está dada por:
,)()(*)()(
k
ss kTttxthtx
El espectro para la señal flat-top PAM es:
n
ss
s nffXfHT
fX )()(1)(
en donde H(f) esta dada por:
ffSinfH
)()(
Observaciones sobre el Muestreo
En la práctica, lógicamente no se muestrea impulsos ni se implementan filtros de paso bajo ideales.
Un ejemplo práctico: El retenedor de orden cero
Observaciones sobre el Muestreo El muestreo es una operación intermitente, ya que
multiplicamos x(t) por la función intermitente p(t). Sin embargo,
es el sistema de identidad (que es invariante en el tiempo, TI) para x(t) de banda limitada que cumple el teorema de muestreo (ωs > 2ωM).
¿Qué ocurre si ωs≤ 2ωM?
Reconstrucción de Datos Retomando el muestreo impulsional para nuestra
señal
Puesto que la función delta es cero excepto en los instantes de muestreo t=kT. El filtro de reconstrucción, el cual es un sistema LTI, tiene una respuesta al impulso h(t), la salida del filtro de reconstrucción y(t).
kk
s kTtkTxkTttxtx )()()()()(
dthkTkTxthtxtyk
s )()()()(*)()(
Cambiando el orden de la sumatoria e integración
Ya que la entrada del filtro es una suma de impulsos, se sigue que la salida del filtro es la suma de las respuestas al impulso. La salida y(nT) es la simplemente la suma de las respuestas al impulso individuales.
El problema ahora es determinar la forma de la función de respuesta al impulso para que y(t) sea una buena aproximación de x(t).
k
dthkTkTxty )()()()(
k
kTthkTxty )()()(
Reconstrucción de Datos
Filtro de Reconstrucción Ideal
Asumiendo que la señal x(t) es muestreada a la frecuencia que excede la tasa de Nyquist, el filtro de reconstrucción ideal esta definido por
Sustituyendo en la respuesta del filtro
d.o.m 0
5.0)( sffT
fH tSincfth s)(
kk
s kTtSinckTxkTtSincfkTxty )()()()()(
Filtro de Reconstrucción
Ideal
k
s kTtkTxtx )()()(
d.o.m 0
5.0)( sffT
fH
x(t)
Filtro de Reconstrucción Ideal
Ilustración gráfica de la interpolación del dominio del tiempo
Este filtro es claramente no causal, y la respuesta al impulso unitario no es limitada en el tiempo, no puede ser usada para aplicaciones de tiempo real.
Ya que h(t) no es limitada en el tiempo, un número infinito de respuestas al impulso deben ser usadas para la interpolación de valores entre muestras, si resultados exactos son obtenidos.
Sin embargo, se puede aproximar
TnTtnT ,)()()(1
ln
lnk
kTtSinckTxtytx
Filtro de Reconstrucción Ideal
Submuestreo y Aliasing Cuando ωs≤ 2 ωM Submuestreo
Submuestreo y Aliasing
Xr(jω) ≠ X(jω)
Distorsión debida al aliasing
• Las frecuencias superiores de x(t) se "pliegan" y toman los "alias" de las frecuencias inferiores.
• Observe que el tiempo de muestreo, xr(nT) = x(nT)
Interpolación Lineal
Si la frecuencia de muestreo es mucho mayor que la tasa de Nyquist, fs >>>2fh, la interpolación lineal puede ser usada para reconstruir una aproximación cercana d la señal analógica x(t) a partir de la señal muestreada.
d.o.m 0
1)( TtTt
Ttth
k
kTtkTxty )()(
Para t entre t=nT-T y t=nT
Solo dos valores de la muestra son necesarios para interpolar valores entre muestra.
La naturaleza de la aproximación puede ser vista en la siguiente gráfica, observando que
H(f)=TSinc2fT
Para este filtro hay dos fuentes de error: H(f) no es cero para |f| ≥0.5fs H(f) no es exactamente una constante para |f| ≤fh
1)()()( n
TtnTx
TtnTnTxtx
Interpolación Lineal
Reconstrucción con Filtro RC Los filtros vistos anteriormente son filtros de
reconstrucción no causales y por lo tanto no son de aplicación en tiempo real.
Para muchas aplicaciones un filtro práctico causal de reconstrucción es el filtro de primer orden RC cuya función de transferencia es:
Donde f3 es la frecuencia de la mitad de potencia o de 3 dB
)/(1)(
3ffjTfH
RCf
21
3
Remplazando para la respuesta del filtro
Las fuentes de error para este filtro son los mismos que para el filtro de interpolación lineal.
Esto puede ser visto ya que el espectro resultante para la operación de muestreo no es completamente atenuado, y por lo tanto y(t) es solo una aproximación de la señal analógica x(t).
La aproximación es buena, si f3 es mucho mayor que fh, el ancho de banda de la señal analógica.
)(2)()( )(23
3 kTtueTfkTxty kTtfj
k
Reconstrucción con Filtro RC
Cuantizacion y Codificación
Cuantización es el proceso de limitar los valores de amplitud de la señal muestreada en un conjunto de valores finitos de amplitud.
Cuantización Escalar: Cuantización Uniforme (Lineal) Cuantización no Uniforme (Logarítmica)
Cuantización Vectorial
El proceso de codificación es representar los valores permitidos por una palabra digital de longitud fija.
Cuantización y Codificación
Para una representación binaria, el número de niveles de cuantización será
M=2n
donde n es la longitud de la palabra binaria. El paso de cuantización es
nn
VVD22
minmax
Cuantización y Codificación
Cuantización Uniforme o Lineal
Valor Cuantizado
Valor de Muestra-1-2-3-4
4321
0.5
1.5
2.5
3.5
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
Error de Cuantización La medida del error de cuantización puede ser
deducida si se observa que para un intervalo de valores el error máximo puede ser /2.
Si se integra para un intervalo de cuantización desde –0 a t1 y se divide para t1, tendríamos el error de cuantización promedio.
0 1
0.5
-0.5
Error de Cuantización
donde la función Є() es:
1
1
)(21 2
1
t
tq d
tE
12
)(t
1212221
21 2
03
31
2
0
2
11
2
11
1
11
1
ttt
tq t
dtt
dtt
E
nq
DE 22
212
SNR de un cuantizador
La relación señal a ruido de un cuantizador es
Expresando esta relación señal a ruido en dB, se tiene:
ns
q
s DPEP
SNR 22 212
2log20log20log1012log10 nDPSNR sdB
DPnSNR sdB log20log1002.679.10