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MM442 - Introducao aos SistemasDinamicos
Segundo semestre de 2020
Ricardo M. Martins
rmiranda@unicamp.br
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 4: aplicacao de Poincare
Diagrama traco-determinante
Podemos fazer uma classificacao topologica muito boa dos campos
vetoriais lineares usando a equivalencia topologica.
TeoremaSeja x = Ax um sistema de equacoes diferenciais. Seja J a forma
de Jordan de A. Entao x = Jx e topologicamente equivalente a
x = Ax .
Diagrama traco-determinante
No caso 2× 2, como o polinomio caracterıstico de A e dado por
pA(t) = t2 − tr(A)t + det(A),
os autovalores sao
λ1,2 =tr(A)±
√tr(A)2 − 4 det(A)
2
e portanto eles podem ser descritos por T = tr(A) e D = det(A).
Diagrama traco-determinante
Diagrama traco-determinante
Diagrama traco-determinante
Diagrama traco-determinante
Diagrama traco-determinante
Um campo vetorial linear da forma x = Ax e chamado de
hiperbolico se os autovalores de A tem parte real diferente de zero.
Nas figuras anteriores, note que para campos vetoriais lineares,
parece ser verdade que “arbitrariamente perto” de campos vetoriais
lineares hiperbolicos so existem outros campos vetoriais
hiperbolicos.
Isto e verdade, mas a prova nao e obvia.
ExercıcioSe A e uma matriz 2×2, mostre que os autovalores de A dependem
continuamente de A.
Aplicacao de Poincare
Seja (x , y) = (ax − by , bx + ay) e Σ = {(x , 0), x > 0}. Suponha
que b > 0.
Dado um ponto (p, 0) ∈ Σ, seja ϕt(p, 0) o fluxo por (p, 0).
Existe T > 0 tal que ϕT (p, 0) ∈ Σ. Seja (q, 0) = ϕT (p, 0).
Defina uma funcao P : Σ→ Σ por P(p) = q.
Neste caso, q e definido da seguinte forma: seja T > 0 o menor
numero real tal que eaT sin(bT ) = 0. Entao q = peaT cos(bT ).
A aplicacao P e chamada de aplicacao de Poincare (associada a
equacao diferencial).
O conjunto Σ e uma secao transversal do fluxo.
Aplicacao de Poincare
Seja (x , y) = (ax − by , bx + ay) e Σ = {(x , 0), x > 0}. Suponha
que b > 0.
Dado um ponto (p, 0) ∈ Σ, seja ϕt(p, 0) o fluxo por (p, 0).
Existe T > 0 tal que ϕT (p, 0) ∈ Σ. Seja (q, 0) = ϕT (p, 0).
Defina uma funcao P : Σ→ Σ por P(p) = q.
Neste caso, q e definido da seguinte forma: seja T > 0 o menor
numero real tal que eaT sin(bT ) = 0. Entao q = peaT cos(bT ).
A aplicacao P e chamada de aplicacao de Poincare (associada a
equacao diferencial).
O conjunto Σ e uma secao transversal do fluxo.
Aplicacao de Poincare
Seja ϕ : M → M um fluxo associado ao campo vetorial X . Seja Σ
uma subvariedade de codimensao 1 de M satisfazendo:
# toda orbita de ϕ encontra Σ para tempos arbitrariamente
grandes (positivos e negativos)
# se x ∈ Σ entao X (x) nao e tangente a Σ.
Neste caso dizemos que Σ e uma secao global do fluxo. Dado
y ∈ Σ, seja τ(y) > 0 o menor valor de t tal que ϕτ(y)(y) ∈ Σ.
A aplicacao de Poincare (do fluxo ϕ em Σ) e definida por
P : Σ→ Σ, P(y) = ϕτ(y)(y).
Aplicacao de Poincare
Exemplo
Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao
diferencial x = −y , y = x com Σ = {(x , 0), x > 0}.
Exemplo
Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao
diferencial r = r(1−r), θ = 1, considerando Σ = {(r , θ), θ = 0}.
Aplicacao de Poincare
Exemplo
Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao
diferencial x = −y , y = x com Σ = {(x , 0), x > 0}.
Exemplo
Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao
diferencial r = r(1−r), θ = 1, considerando Σ = {(r , θ), θ = 0}.
Aplicacao de Poincare
Exercıcio
Mostre a aplicacao de Poincare do fluxo θ = m, φ = n no toro
S1× S1, com m, n > 0, com respeito a secao ϕ = ϕ0 e a rotacao
no cırculo Rm/n (ou R2πm/n, dependendo de como voce considera
S1).
Aplicacao de Poincare
Note que P : Σ→ Σ e um difeomorfismo e dim Σ = dimM − 1.
Ou seja, conseguimos produzir um difeomorfismo a partir de um
fluxo ϕ, e este difeomorfismo consegue captar as propriedades da
dinamica de ϕ.
Nem todo fluxo admite secao global, entao isto nao funciona
sempre.
ExercıcioDe exemplo de um fluxo sem secao global.
Por outro lado, a construcao reversa sempre pode ser feita.
Suspensao
Seja f : M → M um difeomorfismo. Entao o fluxo
ψt(x , θ) = (f [t+θ](x), t + θ − [t + θ]),
onde x ∈ M, θ ∈ [0, 1] e [·] e a parte inteira, definido em
M = M × [0, 1]/ ∼ com a identificacao (x , 1) ∼ (f (x), 0), e
chamado de suspensao de f .
Qual e a aplicacao de Poincare deste fluxo com respeito a secao
θ = 0?
Exemplo
Construa a suspensao da rotacao Rα : S1 → S1.
Proxima aula: Fluxos hamiltonianos e reversıveis.
Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.
Fique em casa.
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