miguel Ángel serrano - wordpress.com · miguel Ángel serrano en el laboratorio se les presento un...

Miguel Ángel Serrano

En el laboratorio se les presento un .nb con el cálculo de los

terminos monopolar, dipolar y cuadripolar para cargas

puntuales, a continuación se les resuelve un problema en el

cual la distribución de carga es lineal, de esta manera ya

tendrán una idea de como hacer el ejercicio de carga

superficial sugerido en la guía de laboratorio, y el problema

lineal de los que yo propuse.

PROBLEMA 8.7

Cálculo Momento Monopolar:

In[1]:= Clear@Q, p, L, k, x, y, z, λ, αD

In[2]:= Q = Integrate@λ, 8L, 0, L<DOut[2]= L λ

Cálculo del momento dipolar:

In[3]:= p = Integrate@λ ∗ 8ρ ∗ Cos@αD, ρ ∗ Sin@αD<, 8ρ, 0, L<D

Out[3]= :1

2

L2

λ Cos@αD,1

2

L2

λ Sin@αD>

Cálculo de los elementos del tensor cuadripolar:

In[4]:= x := ρ ∗ Cos@αD

In[5]:= y := ρ ∗ Sin@αD

In[6]:= z := 0

Haremos el cálculo del tensor, uno por uno, y finalmente lo expresaremos como una matriz (Notemos

que 1 es el equivalente de x, 2 de y, 3 de z, esto quiere decir que Qij[1,2] es el termino Qxy del tensor)

In[7]:= Qij@1, 1D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ Cos@αDL^2 − ρ^2 L, 8ρ, 0, L<D

Out[7]= −

L3λ

3

+ L3

λ Cos@αD2

In[10]:= Qij@1, 2D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ ρ ∗ Cos@αD ∗ Sin@αD LL, 8ρ, 0, L<DOut[10]= L

3λ Cos@αD Sin@αD

In[11]:= Qij@2, 1D = Qij@1, 2DOut[11]= L

3λ Cos@αD Sin@αD

In[12]:= Qij@2, 2D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ Sin@αDL^2 − ρ^2 L, 8ρ, 0, L<D

Out[12]= −

L3λ

3

+ L3

λ Sin@αD2

Como observamos los terminos xz,yz,zx,zy son cero debido a que z=0;

In[13]:= Qij@2, 3D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ ρ ∗ 0 ∗ Sin@αD LL, 8ρ, 0, L<DOut[13]= 0

In[14]:= Qij@3, 2D = Qij@2, 3DOut[14]= 0

In[17]:= Qij@1, 3D = 0;

Qij@3, 1D = 0;

Enxontramos zz por la propiedad de que la traza del tensor es igual a cero.

In[20]:= Qij@3, 3D = −HQij@1, 1D + Qij@2, 2DL

Out[20]=

2 L3λ

3

− L3

λ Cos@αD2− L

3λ Sin@αD2

Expresado en forma matircial

In[21]:= Table@Qij@m, nD, 8m, 1, 3<, 8n, 1, 3<D êê MatrixForm

Out[21]//MatrixForm=

−L3

λ

3+ L3

λ Cos@αD2L3

λ Cos@αD Sin@αD 0

L3λ Cos@αD Sin@αD −

L3λ

3+ L3

λ Sin@αD20

0 02 L3

λ

3− L3

λ Cos@αD2− L3

λ Sin@αD2

GRAFICOS:

En este caso definimos algunos valores aleatorios

para las consntantes que encontramos anteriormente:

2 ApoyoMultipolos.nb

GRAFICOS:

En este caso definimos algunos valores aleatorios

para las consntantes que encontramos anteriormente:

In[22]:= k := 9 ∗ 10^9

In[23]:= λ := 12 ∗ 10^H−6L

In[24]:= L := 0.25

In[25]:= α := π ê 6

In[26]:= Clear@xD

In[27]:= Clear@yD

Observando el monopolo:

In[28]:= Vm@x_, y_D =

k ∗ Q

x2+ y2

;

In[29]:= ContourPlot@Vm@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D

Out[29]=

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Observando el dipolo:

In[30]:= Vd@x_, y_D =

k ∗ p.8x, y<

Hx2+ y2L32

;

ApoyoMultipolos.nb 3

In[31]:= ContourPlot@Vd@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D

Out[31]=

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Obervando el término Cuadripolar

In[32]:= Vc@x_, y_D = Hk ∗ Hx^2 ∗ Qij@1, 1D + 2 ∗ x y Qij@1, 2D + y^2 Qij@2, 2DLL ì 2 ∗ Ix2

+ y2M5

2;

In[33]:= ContourPlot@Vc@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D

Out[33]=

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Observando todos los terminos en una sola gráfica, usando manipulate para verlo desde muy

cerca y muy lejos para determinar el término dominante:

4 ApoyoMultipolos.nb

Observando todos los terminos en una sola gráfica, usando manipulate para verlo desde muy

cerca y muy lejos para determinar el término dominante:

Ajustando el manipulate para moverse de una manera muy lenta podemos observar que el termino

dominante seria el monopolar cuando se mira de muy lejos, mientras al estar cerca la aproximación

cuadripolar se observa como la dominante.

In[34]:= Manipulate@ContourPlot@Vm@x, yD + Vd@x, yD + Vc@x, yD, 8x, −n, n<, 8y, −n, n<D, 8n, 0.00001, 5<D

Out[34]=

n

-0.00001 -5. µ 10-6 0 5. µ 10

-6 0.00001

-0.00001

-5. µ 10-6

0

5. µ 10-6

0.00001

Se sigue el mismo procedimiento cuando se tiene

distribuciones superficiales, volumetricas, o una distribución de

cargas puntuales. Solo debemos de utilizar las formulas

correctas en cada caso.

ApoyoMultipolos.nb 5