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Miguel Ángel Serrano
En el laboratorio se les presento un .nb con el cálculo de los
terminos monopolar, dipolar y cuadripolar para cargas
puntuales, a continuación se les resuelve un problema en el
cual la distribución de carga es lineal, de esta manera ya
tendrán una idea de como hacer el ejercicio de carga
superficial sugerido en la guía de laboratorio, y el problema
lineal de los que yo propuse.
PROBLEMA 8.7
Cálculo Momento Monopolar:
In[1]:= Clear@Q, p, L, k, x, y, z, λ, αD
In[2]:= Q = Integrate@λ, 8L, 0, L<DOut[2]= L λ
Cálculo del momento dipolar:
In[3]:= p = Integrate@λ ∗ 8ρ ∗ Cos@αD, ρ ∗ Sin@αD<, 8ρ, 0, L<D
Out[3]= :1
2
L2
λ Cos@αD,1
2
L2
λ Sin@αD>
Cálculo de los elementos del tensor cuadripolar:
In[4]:= x := ρ ∗ Cos@αD
In[5]:= y := ρ ∗ Sin@αD
In[6]:= z := 0
Haremos el cálculo del tensor, uno por uno, y finalmente lo expresaremos como una matriz (Notemos
que 1 es el equivalente de x, 2 de y, 3 de z, esto quiere decir que Qij[1,2] es el termino Qxy del tensor)
In[7]:= Qij@1, 1D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ Cos@αDL^2 − ρ^2 L, 8ρ, 0, L<D
Out[7]= −
L3λ
3
+ L3
λ Cos@αD2
In[10]:= Qij@1, 2D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ ρ ∗ Cos@αD ∗ Sin@αD LL, 8ρ, 0, L<DOut[10]= L
3λ Cos@αD Sin@αD
In[11]:= Qij@2, 1D = Qij@1, 2DOut[11]= L
3λ Cos@αD Sin@αD
In[12]:= Qij@2, 2D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ Sin@αDL^2 − ρ^2 L, 8ρ, 0, L<D
Out[12]= −
L3λ
3
+ L3
λ Sin@αD2
Como observamos los terminos xz,yz,zx,zy son cero debido a que z=0;
In[13]:= Qij@2, 3D = Integrate@λ ∗ H3 ∗ Hρ ∗ ρ ∗ 0 ∗ Sin@αD LL, 8ρ, 0, L<DOut[13]= 0
In[14]:= Qij@3, 2D = Qij@2, 3DOut[14]= 0
In[17]:= Qij@1, 3D = 0;
Qij@3, 1D = 0;
Enxontramos zz por la propiedad de que la traza del tensor es igual a cero.
In[20]:= Qij@3, 3D = −HQij@1, 1D + Qij@2, 2DL
Out[20]=
2 L3λ
3
− L3
λ Cos@αD2− L
3λ Sin@αD2
Expresado en forma matircial
In[21]:= Table@Qij@m, nD, 8m, 1, 3<, 8n, 1, 3<D êê MatrixForm
Out[21]//MatrixForm=
−L3
λ
3+ L3
λ Cos@αD2L3
λ Cos@αD Sin@αD 0
L3λ Cos@αD Sin@αD −
L3λ
3+ L3
λ Sin@αD20
0 02 L3
λ
3− L3
λ Cos@αD2− L3
λ Sin@αD2
GRAFICOS:
En este caso definimos algunos valores aleatorios
para las consntantes que encontramos anteriormente:
2 ApoyoMultipolos.nb
GRAFICOS:
En este caso definimos algunos valores aleatorios
para las consntantes que encontramos anteriormente:
In[22]:= k := 9 ∗ 10^9
In[23]:= λ := 12 ∗ 10^H−6L
In[24]:= L := 0.25
In[25]:= α := π ê 6
In[26]:= Clear@xD
In[27]:= Clear@yD
Observando el monopolo:
In[28]:= Vm@x_, y_D =
k ∗ Q
x2+ y2
;
In[29]:= ContourPlot@Vm@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[29]=
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Observando el dipolo:
In[30]:= Vd@x_, y_D =
k ∗ p.8x, y<
Hx2+ y2L32
;
ApoyoMultipolos.nb 3
In[31]:= ContourPlot@Vd@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[31]=
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Obervando el término Cuadripolar
In[32]:= Vc@x_, y_D = Hk ∗ Hx^2 ∗ Qij@1, 1D + 2 ∗ x y Qij@1, 2D + y^2 Qij@2, 2DLL ì 2 ∗ Ix2
+ y2M5
2;
In[33]:= ContourPlot@Vc@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[33]=
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Observando todos los terminos en una sola gráfica, usando manipulate para verlo desde muy
cerca y muy lejos para determinar el término dominante:
4 ApoyoMultipolos.nb
Observando todos los terminos en una sola gráfica, usando manipulate para verlo desde muy
cerca y muy lejos para determinar el término dominante:
Ajustando el manipulate para moverse de una manera muy lenta podemos observar que el termino
dominante seria el monopolar cuando se mira de muy lejos, mientras al estar cerca la aproximación
cuadripolar se observa como la dominante.
In[34]:= Manipulate@ContourPlot@Vm@x, yD + Vd@x, yD + Vc@x, yD, 8x, −n, n<, 8y, −n, n<D, 8n, 0.00001, 5<D
Out[34]=
n
-0.00001 -5. µ 10-6 0 5. µ 10
-6 0.00001
-0.00001
-5. µ 10-6
0
5. µ 10-6
0.00001
Se sigue el mismo procedimiento cuando se tiene
distribuciones superficiales, volumetricas, o una distribución de
cargas puntuales. Solo debemos de utilizar las formulas
correctas en cada caso.
ApoyoMultipolos.nb 5