método matricial para vigas y marcos

UNAH - VSDEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

Análisis Estructural IIIIng. Mario Pineda

MÉTODO MATRICIAL PARA VIGAS Y MARCOS

Nombre No. De Cuenta

Iris Alejandra Chacón 20102000242

Haynee Eloisa García 20102001245

Gabriela Michelle Ramos 20102001522

25 – Agosto - 2015

INTRODUCCIÓN

Se presenta a continuacion el metodo matricial para el analisis de vigas y marcos, daremos a conocer quienes fueron los percursores del metodo, y la manera de como aplicarlo en el analisis de elementos.

El metodo se vuelve muy largo y tedioso ya que se basa en el estudio de la elasticidad de los materialerizarlos; para el aprovechamiento del metodo lo ideal es computarizarlo. Asignando a los elementos una matriz de rigidez que relaciona los desplazamiento de los nodos de la estructura con las fuerzas exteriores necesarias para lograr dicho desplazamiento.

Mostramos las ventajas y desventajas que dicho metodo nos brinda.

PRECURSORES Robert Hooke (Freshwater, Inglaterra,

1635 - Londres, 1703). Físico Y Astrónomo

Inglés. Desarrolló la ley de las relaciones

lineales entre las fuerza y la deformación de

materiales.

G. A. Maney (1888-1947), desarrolló en 1915 el método deflexión-pendiente, que se consideraba como el precursor del método matricial de las rigideces.

Robert

Hooke

Reseña Histórica

Estadio Manuel Rivera Sánchez (Chimbote, Perú)

Análisis con el Método Matricial

Estadio Santiago Bernabéu (España)

Análisis con Cross

PRINCIPIOS O LEYES FISICAS QUE SE APLICAN

En esta ley se fundamenta el estudio de la elasticidad de los materiales.

El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados)

La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura.

Para aplicar el método de la rigidez a marcos

debemos primero determinar como

subdividir la estructura.

En general, los nodos de cada elemento se

localizan en un soporte, en una esquina o un nodo, en los que se aplica una fuerza

externa o donde va a determinarse el

desplazamiento lineal o rotacional.

APLICACIÓN DEL MÉTODO

1. LOS ELEMENTOS SE IDENTIFICAN MEDIANTE UN NUMERO EN UN CUADRADO

2. LOS NODOS SE ESPECIFICAN CON UN NUMERO DENTRO DE UN CIRCULO

APLICACIÓN DEL MÉTODO

Coordenadas Globales y Locales

El sistema coordenado global se identificara con el uso de ejes x, y, z que tienen su origen en un nodo y están posicionados de manera que todos los nodos en otros puntos de la estructura tengan coordenadas positivas.

Las coordenadas locales x', y', z' tienen su origen en el extremo cercano de cada miembro y el eje x positivo esta dirigido hacia el extremo alejado

APLICACIÓN DEL MÉTODO

Grados de Libertad

Cada nodo del miembro del marco tendrá tres grados de libertad, siendo nombrados en orden ascendente los no restringidos, seguido de los restringidos.

APLICACIÓN DEL MÉTODO

Matriz De Rigidez De Un Miembro De Un Marco

El origen se coloca en el extremo cercano “n”

El eje x` positivo se extiende hacia el extremo alejado “f”

En cada extremo del elemento hay 3 reacciones:

• FUERZAS AXIALES “ qnx y qfx”

• FUERZAS CORTANTES “qny y qfy”

• MOMENTOS FLEXIONANTES “qnz y qfz”

DESPLAZAMIENTOS EN X:

Si el miembro sufre un desplazamiento nx o un desplazamiento fx , se generan las fuerzas axiales en los extremos del miembro.

DESPLAZAMIENTOS EN Y:

La fuerza cortante y momento flexiónate resultante se generan por un desplazamiento

positivo dny. Mientras los otros posibles desplazamientos están impedidos.

El momento se ha desarrollado por el método de la viga conjugada

Mn = mf = 6 E I / L2

Vn = vf = (mn + mf) / L = 12 E I / L3

Si se impone una rotación positiva dnz mientras que todos los otros

posibles desplazamientos estén restringidos, las fuerzas cortantes y

momentos flexionantes para la deformación que se genera son los

siguientes:

ROTACIONES EN Z:

Mn = 4 E I / LMn = 2 E I / LVn = Vf = (Mn + Mf) / L = 6 E I / L2

Con sumatoria de fuerzas en “N” y “F” de los diagramas anteriores resultan las ecuaciones siguientes:

Se ordenan las ecuaciones en función de “N” punto cercano y “F” como punto lejano, y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

El anterior sistema de ecuaciones se de denomina como la matriz de rigidez local y se escribe de la forma siguiente:

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTOTRANSFORMADA

dNx, = DNx cos ɵx dNy

, = -DNx cos ɵy

dNx, = DNy cos ɵy dNy

, = DNy cos ɵx

En el diagrama anterior se supone “N”=“F” y al descomponer los desplazamientos se obtiene lo siguiente :

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZA

TRANSPUESTA

Q Nx = q Nx‘ cos ɵx Q Ny = q Nx‘ cos ɵy

Q Nx = - q Ny‘ cos ɵy Q Ny = q Ny‘ cos ɵx

En el diagrama anterior se supone la descomposición en “N” =“F” y al descomponer la fuerza “Q” aplicada se obtiene lo siguiente :

Matriz TranspuestaDel diagrama anterior se obtiene:

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE MARCO

DEDUCCION DE “K GLOBAL”K = TT K’ T

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA

DEDUCCION DE “K GLOBAL”

K = TT K’ T

Se ha establecido previamente que si los soportes no sufren desplazamientos transversales (asentamientos), entonces cada uno de

los soportes de la viga tendrá solo 1 grado de libertad, o sea, un desplazamiento angular.

Podremos cancelar los reglones y columnas de la matriz del marco asociados a los desplazamientos nx ny fx fy ya que los soportes de la

viga no tienen ningún grado de libertad en esas direcciones.

K =

4 E I / L 2 E I / L

N Z F Z

N Z

F Z4 E I / L2 E I / L

MÉTODO MATRICIAL

VENTAJAS

1. Desde el punto de vista práctico,

proporciona un sistema apropiado de

análisis de estructuras y determina

una base muy conveniente para el

desarrollo de programas de

computación.

2. Desde el punto de vista teórico,

permite utilizar métodos de cálculo en

forma compacta, precisa y, al mismo

tiempo, completamente general.

DESVENTAJAS

1. Si no se cuenta con una computadora

el diseño de un marco se vuelve muy

extenso, repetitivo y tedioso.

2. Debe admitirse que los métodos

matriciales se caracterizan por una

gran cantidad de cálculo sistemático.