metodo de la bisección

MÉTODO DE LA BISECCIÓNCLASE 3

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• El método de la bisección es muy similar al de la posición falsa, aunque algo mas simple. Como en el de la posición falsa, en este método también se requieren dos valores iniciales para ambos lados de la raíz, y que sus valores funcionales correspondientes sean de signos opuestos.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• En este caso, el valor de se obtiene como el punto medio entre

• Dependiendo de la función que se tenga en particular, el método de la bisección puede converger ligeramente mas rápido o mas lento que el método de la posición falsa. Su gran ventaja sobre el de posición falsa es que proporcionan el tamaño exacto del intervalo en cada iteración (en ausencia en errores de redondeo).

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Para aclarar esto, nótese que en este método, después de cada iteración, el tamaño del intervalo se reduce a la mitad, después de n iteraciones, el intervalo original se habrá reducido veces.

• Por lo anterior, si el intervalo original es del tamaño y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos consecutivas es , entonces se requerirán iteraciones, donde se calcula con la igualdad de la expresión:

•

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• De donde

• Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN• Algoritmo del método de la bisección•Calcular una raíz real de la ecuación con precisión .

es continua en un intervalo tal que tienen signos diferentes.

1. Defina , el intervalo inicial y la precisión requerida 2. Calcule el punto central del intervalo:

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN3. Si es la raíz y termine.4. Si la raíz se encuentra en el intervalo, sustituya 5. Si la raíz se encuentra en el intervalosustituya 6. Repita los pasos 2, 3, 4 y 5 hasta que la longitud

del intervalosea menor que .

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

•El ultimo valor calculado estará al menos a una distancia de la raíz.

EJEMPLO DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Utilice el método de la bisección para obtener una raíz del polinomio

SOLUCIÓN

• Primero graficamos en Matlab para verificar donde existen los cambios de signo y establecer nuestro intervalo de análisis

SOLUCIÓN

• La función MATLAB fzero

• La función fzero puede encontrar la raíz de una ecuación trascendente . Su sintaxis es

• fzero(funcion,x0)

• Donde función es el nombre de la función cuyas raíces queremos determinar y es el intervalo donde la función cambia de signo, es decir, el signo de es distinto al signo de . puede ser también un valor cercano a la raíz es decir, una primera aproximación. Podemos definir una función anónima y guardarla en el manejador func. Le pasamos la función anónima func a fzero.

SOLUCIÓN

• Paso 1

• Introducimos lo siguiente en la ventana de comando de Matlab

• func=@(x) x^3 + 2*x^2 + 10*x -20;

• ezplot(func,[0,4])

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

• Lo que da el siguiente resultado• Podemos observar que

entre el intervalo existe un cambio de signo en

SOLUCIÓN

• Con los valores iniciales obtenidos en el Matlab establecemos el intervalo de análisis

SOLUCIÓN

• Con los valores iniciales obtenidos en el Matlab establecemos el intervalo de análisis

SOLUCIÓN

• Si , el numero de iteraciones será

• Ó bien

SOLUCIÓN

• Primera iteración

SOLUCIÓN

• Como se reemplaza el valor de con el de , con lo cual queda un nuevo intervalo . Entonces:

SOLUCIÓN

• Segunda iteración

• Se reemplaza el valor de con el valor de la nueva

SOLUCIÓN

• Como ahora se reemplaza el valor de con el valor de la nueva ; de esta manera queda como intervalo

SOLUCIÓN

• Tercera iteración

• Se reemplaza el valor de con el valor de la nueva

SOLUCIÓN

• Como ahora se reemplaza el valor de con el valor de la nueva ; de esta manera queda como intervalo

SOLUCIÓN

• Cuarta iteración

• Se reemplaza el valor de con el valor de la nueva

SOLUCIÓN

• Como ahora se reemplaza el valor de con el valor de la nueva ; de esta manera queda como intervalo

SOLUCIÓN

• La tabla muestra los cálculos llevados a cabo 13 veces, a fin de hacer ciertas observaciones.

SOLUCIÓNRaíz Error

absoluto0 1,00000 2,000001 1,00000 2,00000 1,50000 2,875002 1,00000 1,50000 1,25000 0,25000 2,421883 1,25000 1,50000 1,37500 0,12500 0,130864 1,25000 1,37500 1,31250 0,06250 1,168705 1,31250 1,37500 1,34375 0,03125 0,524816 1,34375 1,37500 1,35938 0,01563 0,198467 1,35938 1,37500 1,36719 0,00781 0,034178 1,36719 1,37500 1,37109 0,00391 0,048259 1,36719 1,37109 1,36914 0,00195 0,0070210 1,36719 1,36914 1,36816 0,00098 0,0135811 1,36816 1,36914 1,36865 0,00049 0,0032912 1,36865 1,36914 1,36890 0,00025 0,0018613 1,36865 1,36890 1,36877 0,00013 0,00071

SOLUCIÓN

• Utilizamos el Matlab para comprobar nuestro calculo

SOLUCIÓN

• Primero definimos la función en la ventana de comando escribimos lo siguiente