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Mecánica Vectorial Cap. 4
Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.
Momento de una fuerza
Momento de una fuerza
Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta tendencia a girar se conoce como el momento de una fuerza o simplemente el momento.
Momento de una fuerza una llave de torsión que se usa para desenroscar • Si se aplica una fuerza a la llave ésta
tenderá a girar el perno alrededor del punto O (o el eje z). La magnitud del momento es directamente proporcional a la magnitud de F y a la distancia perpendicular o brazo de momento d. Cuanto más grande sea la fuerza o más grande sea el brazo de momento, mayor será� el momento o el efecto de giro.
• si se aplica la fuerza F a un ángulo Θ≠ 90°, entonces será� más difícil girar el perno puesto que el brazo de momento d’= d senΘ, será� menor que d.
• Si se aplica F a lo largo de la llave, su brazo de momento será� igual a cero puesto que la línea de acción de F intersecará el punto O (el eje z). En consecuencia, el momento de F respecto de O también es cero y no puede ocurrir el giro.
Magnitud del momento
La magnitud de MO es donde d es el brazo de momento o distancia perpendicular desde el eje en el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de la fuerza mul:plicada por la distancia, es decir, N.m o lb.>
M 0 = Fd
Dirección del momento
La dirección de MO está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F y a su brazo de momento d. Se utiliza la regla de la mano derecha. De acuerdo con esta regla, el curveo natural de los dedos de la mano derecha cuando estos se doblan sobre la palma representa la tendencia para la rotación causada por el momento.
Dirección del momento
Momento resultante
En problemas bidimensionales, donde todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y, el momento resultante (MR)o con respecto al punto O (el eje z) puede determinarse al encontrar la suma algebraica de los momentos causados por todas las fuerzas en el sistema.
Como convención consideraremos de manera general los momentos positivos como en sentido contrario al de las manecillas del reloj por estar dirigidos a lo largo del eje positivo z (fuera de la página). Los momentos en el sentido de las manecillas del reloj serán negativos.
MR( )0 = F1d1 − F2d2 + F3d3
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Producto cruz El producto cruz de dos vectores A y B da como resultado el vector C, el cual se escribe
C = A ×B
C = A B sinθ
C = A ×B =
i j kAx Ay AzBx By Bz
Momento de una fuerza: Formulación vectorial
El producto cruz de dos vectores A y B da como resultado el vector C, el cual se escribe
M0 = r × F
M0 = r F sinθ
Mo = r × F =
i j krx ry rzFx Fy Fz
Mo = ryFz − rzFy( )i − rxFz − rzFz( ) j+ rxFy − ryFx( )k
Momento resultante de un sistema de fuerzas
Mo = r × F∑
Mo = r1 × F1 + r2 × F2 + r3 × F3
Ejemplo 1
Determine el momento producido por la fuerza F que se muestra en la, respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
Ejemplo 2
Dos fuerzas actúan sobre la barra Determine el momento resultante que generan con respecto al soporte en O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Por ejemplo, suponga que hay que aflojar la tuerca del punto O de la llanta de automóvil. La fuerza aplicada a la llave producirá una tendencia a que ésta y la tuerca giren en torno al eje de momento que pasa por O; sin embargo, la tuerca sólo puede girar alrededor del eje y. Por lo tanto, para determinar el efecto de giro, sólo se necesita la componen- te y del momento
My = FdyDistancia mínima entre el punto de aplicación de la fuerza y el eje con respecto al cual se calcula el momento
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
En algunas situaciones el cálculo de la distancia mínima no es sencillo (trivial). En la anterior situación se usará el triple producto escalar.
Ma = ua i (ro × F)
El vector de posición de cualquier punto que pertenece al vector de dirección
ro
ua
ua
Vector unitario que indica la dirección de eje sobre el que se va a calcular el momento.
ua
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Ma = ua i (ro × F)
ro = −r cos(θ )i + rsin(θ )j
ua = 1j
F = Fk
ro × F =i j k
−r cos(θ ) rsin(θ ) 00 0 F
= Frsin(θ )i + Fr cos(θ )j
Ma = ua i (ro × F) = 1j i Frsin(θ )i + Fr cos(θ )j( ) = Fr cos(θ )
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Ma = ua i (ro × F)
ro = rxi + ry j+ rzk ua = uaxi + uay j+ uazk
Ma = ua i ro × F( ) =uax uay uazrx ry rzFx Fy Fz
Determinante de la matriz formada por los tres vectores
Caso General F = Fxi + Fy j+ Fzk
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
rA = 0i + 0 j+ 0k
Ejemplo
MAB = uAB i rAC × F( )
rB = 0.4i + 0.2 j+ 0krAB = 0.4i + 0.2 j+ 0k
uAB = 0.89i + 0.447 j+ 0krC = 0.6i + 0 j+ 0.3krAC = 0.6i + 0 j+ 0.3kF = 0i + 0 j− 300k
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Ejemplo
MAB = uAB i rAC × F( )
uAB = 0.89i + 0.447 j+ 0k
rAC = 0.6i + 0 j+ 0.3kF = 0i + 0 j− 300k
MAB =0.89 0.447 00.4 0 0.30 0 −300
= 80.1N .m
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Ejemplo
M 0A = u0A i rCD × F( ) r0 = 0i + 0 j+ 0krA = 0.3i + 0.4 j+ 0kr0A = 0.3i + 0.4 j+ 0k
u0A = 0.6i + 0.8 j+ 0krC = 0.1i + 0.4 j+ 0.3krD = 0.5i + 0 j+ 0.5k
F = 300 rCDrCD
= 200i − 200 j+100k
rCD = 0.4i − 0.4 j+ 0.2k
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Ejemplo
M 0A = u0A i rCD × F( )u0A = 0.6i + 0.8 j+ 0k
F = 200i − 200 j+100k
M 0A =0.6 0.8 00.1 0.4 0.2200 −200 100
= 100N .m
rC = 0.1i + 0.4 j+ 0.3k
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Tarea
Momento de una fuerza con respecto a un eje específico
Tarea
Momento de un par
Simplificación de un sistema de fuerza y par
Simplificación adicional de un sistema de fuerza y par
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