matrices

Grado de Ingeniería Civil

Profesor: Eduardo Mena Caravaca

Definición

Una matriz A de orden mxn es un conjunto deelementos pertenecientes a un cuerpo conmutativodispuestos en m filas y n columnas.

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35 3 5

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

Una matriz se denota con letra mayúscula

( ) donde 1,2,...... 1,2,......ij

A a i m j n

El primer subíndice corresponde a la fila a la que pertenece y el segundo a la columna

NOMENCLATURA

Si 1 se llama matriz fila

Si n 1 se llama matriz columna

Si se llama matriz rectangular

Si se llama matriz cuadrada de orden n

NOTACIONES

Al conjunto de matrices de orden mxn se denota por m nM

Al conjunto de matrices de orden n se denota por n nM

De esta forma anotamos 4 3

Definiciones

Matriz NULA:

0 1,2..... 1,2......ija i m j nAquella que verifica

La denotamos por

Matrices IGUALES:

( ) ( ) es ,ij ij ij ij

A a B b A B si a b i j

Matriz TRASPUESTA

Dada una matriz A, la traspuesta, es la matriz que resulta al cambiar

las filas por las columnas y se denota por tA

TIPOS DE MATRICES CUADRADAS

TRIANGULAR SUPERIOR,

Si 0i ja i j

TRIANGULAR INFERIOR,

Si 0i ja i j

DIAGONAL,

Si 0 siendo i ja i j

ESCALAR: Es una matriz diagonal donde ,i ia i

MATRIZ UNIDAD: Es una matriz escalar donde

SIMÉTRICA Si tA A

i ia i

ANTISIMÉTRICA

PERIÓDICA 1Si p / pA A

Si tA A

Si p es el menor número que cumple la igualdad , p es el periodo

IDEMPOTENTE

NILPOTENTE Si p / pA O

2Si A A

REGULAR: Si tiene inversa

SINGULAR: Si no tiene inversa

ORTOGONAL1Si tA A cos sin

sin cosA

INVOLUTIVA

INVERSA

1 1 1 se dice la inversa de si A A A A A A I

2Si A I

OPERACIONES CON MATRICES

Sean siendo m n ij

m n m n m n ij ij ij

m n ij

A aC A B c a b

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Sean siendo bm n ijm n m n ij ij

A aB A a

PRODUCTO DE MATRICES

Sean siendo n

m n ij

m p m n n p ij ik kjkn p ij

A aC A B c a b

PROPIDADES DE LA TRASPOSICIÓN

t t tA B A B

t tA A

t t tA B B A

PROPIDADES DE LA INVERSA

1 1 1A B B A

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Se definen tres transformaciones elementales sobre las filas o las columnas:

1. Intercambiar la fila i por la fila j, la denotamos por :

2. Multiplicar la fila i por un número k≠ 0, la denotamos por : ( )iF k

3. Sumar a la fila i la j multiplicada por un número k : ( )ijF k

Análogamente las transformaciones elementales de columnas son :

ijC ( )

iC k ( )

Ejemplo

1 2 0 1 2 0

3 1 1 ( 3) 0 5 1

1 0 2 1 0 2

NOTASi en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila o columna,la matriz obtenida se dice que es equivalente y se denota por:

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 (2) 0 0 2

A la matriz resultante la designamos por iF

MATRIZ ELEMENTALEs la matriz que resulta al aplicar una transformación elemental a la matriz unidad.

si es por fila y iC

si es por columna .

Toda matriz elemental es regular. Y el producto de matrices regulares es otra matriz regular.

1 0 0 1 0 0

0 1 0 (3) 0 3 0

0 0 1 0 0 1

Observa

1 1F C

MATRIZ ELEMENTAL

, y ( ), ( )ij ij i iF C F k C k

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 3 0

0 0 1 0 0 1

Las transformaciones en I dan la misma matriz.

133 1 0 1 (3) 0 4 0 10

2 1 1 0 2 1 1 0

1 1 0 3 1 1 0 3

La matriz que se obtiene al realizar una transformación elemental

en la matriz de orden m n por filas (columnas) coincide

con la matriz obtenida al multiplicar por la izquierda (derecha) la

matriz A por la matriz elemental correspondiente.

1 0 0 (3) 1 0 3

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

I F Vemos que

Recuerda

2 1 1 2r pB F F F A C C C

,A BDos matrices son equivalentes si se obtiene una de otra por

una sucesión de transformaciones elementales .

Siendo

Si en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila o columna, la matriz obtenida se dice que es equivalente .

Definición equivalente a esta otra:

A B M son equivalentes, entonces se verifica:

y i jF C las matrices elementales que representan las

transformaciones aplicadas a las filas y las columnas de A

2 1 1 2r pB F F F A C C C

Por tanto como

Otra definición de matrices equivalente s:

A B M son equivalentes, si y sólo sí

y i jF C son matrices elementales su producto

es una matriz regula r y la expresión:

, regulares /P Q B PAQ

La podemos escribir de esta forma : B P A Q

A las matrices y m m n n

P M Q M se les llaman

matrices de PASO

Dada una matriz

FORMA CANÓNICA , NORMAL o de HERMITE

equivalente, en la que los únicos elementos no nulos son los

Hay cuatro formas de HERMITE :

; | ; ; |

A r se le llama rango de la matriz m m

m nA M su matriz de HERMITE es una matriz

( )Rg A r

El rango es el número de filas o columnas no nulas en la matriz de HERMITE

Obtener la matriz de Hermite de :

Ejemplo de cómo obtener la matriz de HERMITE

521 212

131 412

2 4 0 6 2 4 0 6 2 0 0 0 1 0 0 0

5 10 0 15 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03

2 4 0 6

5 10 0 15

1 2 0 3

( ) 1Rg A

La matriz de Hermite de una matriz A es única

La matriz de Hermite es equivalente a la matrizA

La matriz de Hermite tiene la misma dimensión y rango que la matriz ATeorema

Dos matrices y A B son equivalentes si y solo sí tienen igual dimensión y rango.

Demostración

y A B son equivalentes

** * *además H RAS

H HH TBU H TPAQU H VAY

Si tienen la misma matriz de HERMITE tienen la misma dimensión y rango.

Propiedades

Por tanto y A B son equivalentes c.q.d.

de Hermite1 1

H RASTBU RAS B T RASU PAQ

Si tienen la misma dimensión y rango, tienen la misma matriz

1) Toda matriz regular nA M puede obtenerse a partir de n

I mediante

transformaciones elementales de filas y columnas, o de filas solamente, o

columnas solamente.

2) Cualquier par de matrices regulares n

A y B M se pueden obtener

una de la otra mediante operaciones elementales únicamente de filas o

únicamente de columnas.

Aplicación : Cálculo de la matriz inversa por Gauss-Jordan

Sea nA M /

n nI A P regular I PA

una matriz regular

n nSi I PA I A PAA A P

con matriz de paso por filas, ya que está multiplicando a la izquierda.

De igual forma se obtendría por columnas.

Ejemplo: Hallar la inversa de 0 1

12 11 0 | 0 1 0 1 | 1 3 ( 1) 0 1 | 1 3

0 1 | 1 3 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1

12 10 1 | 1 3 (3) 3 1 | 1 0 3 1

1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0

DETERMINANTES

A la agrupación

33! 3 2 1 6P

1,2,3 una permutación es una agrupación de

esos tres elementos. Por ejemplo:

Consideremos el conjunto

Conceptos iniciales:

123 , le llamamos permutación base .

El número de agrupaciones o permutaciones que se pueden obtener es:

Anotaremos las permutaciones por:j

En nuestro ejemplo:

1 2 3 4 5 6123 132 213 231 312 321

Anotaremos el elemento i de la permutación j por: ( )ji

1 3 6(2) 2 (1) 2 (3) 1

DETERMINANTES

Llamamos trasposición al cambio de dos elementos de un permutación entre sí.

123 132 312una trasposición otra trasposición

Una permutación se dice PAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle

para pasarla a la permutación base es PAR.

Se dice que es IMPAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle para

pasarla a la permutación base es IMPAR.

312 132 123primera trasposición segunda trasposición

2132 132 123

primera trasposiciónIMPAR

DETERMINANTES

Para n>1 el número de permutaciones es un número par.

La mitad de ellas son PARES y la otra mitad son IMPARES.

A cada permutación le asociamos un signo: + si es PAR y - si es IMPAR

Dada una matriz

2( )sg

5( )sg

n nA M anotaremos su determinante por A

1 2 1 1 2 1

0 1 3 0 1 3

1 2 5 1 2 5

DETERMINANTES

Valor de un determinante de una matriz cuadrada:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )1

. . . . .

j j j j

n j n nj

n n n nn

a a a a

a a a aA sg a a a a

a a a a

Observa:

El determinante de orden n es la suma de todos los productos , afectados con signo + ó - de n elementos que se pueden formar tomando un elementode cada fila y de cada columna, sin que haya dos elementos que pertenezcan a la misma fila o columna.

DETERMINANTES

Definiciones:

Si en un determinante de orden n suprimimos la fila i y la columna j se obtiene un determinante de orden n-1 que se llama menor complementariodel elemento y se representa por

ija ij

1 2 10 1 1 1

0 1 31 2 0 3

Se denomina adjunto del elemento y lo representamos por a su menor complementario afectado del signo + ó - según que i+j sea par o impar.

( 1)i jij ijA

PROPIEDADES de los DETERMINANTES

1) Si en un determinante todos los elemento de una línea (fila o columna) son

nulos entonces 0A

0 0 0 1 0 5 2 0 1 0 2 1 1 0 1 2 0 5 0 2 1 0

En efecto, ya que en cada producto de cada uno de los sumandos hay un elemento de dicha línea.

2) Si se cambian entre sí dos línea paralelas, el determinante cambia de signo.

1 2 1 1 2 5

1 0 3 8 1 0 3 8

1 2 5 1 2 1

En efecto, ya que al intercambiar entre sí dos elementos de una permutación , ésta cambia de paridad y al cambiar dos línea paralelas entre sí los productos aparecen asociados ahora a la permutación resultante de intercambiar los correspondientes elementos, todos los productos cambian de signo, por lo que el determinante también lo hace.

PROPIEDADES de los DETERMINANTES3) Si un determinante tiene dos línea paralelas iguales, entonces vale cero.

2 0 0A A A A

Por la propiedad anterior, al cambiar las dos filas iguales el determinante cambia de signo, pero dicho determinante sigue siendo del mismo valor, por tanto vale cero.

4) Si se multiplican todos los elementos de una línea por un número el valor

del determinante queda multiplicado por ese número.

Al multiplicar todos los elementos de una línea por un número, dicho número aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos sacarlo factor común.

1 2 1 1 2 1

1 0 3 8 3 0 9 24 3 8

1 2 5 1 2 5

5) Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos

el determinante se puede descomponer en suma de dos determinantes.

Si en todos los elementos de una línea aparece un factor de la forma (a+b) dicho factor aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos aplicar la propiedad distributiva y descomponerlo en suma de dos determinantes.

1 3 2 0 1 2 1 2 1 3 0 2

1 0 3 1 0 3 1 0 3

1 2 5 1 2 5 1 2 5

6) Si una línea es combinación lineal de otras paralelas el determinante es nulo.

12 1 12 1 12 12 1 1 12 1

22 2 22 2 22 22 2 2 22 2

2 2 2 2 2

. . .0

. . . . . . . . . . . .

n n n n n

n nn n nn n n nn nn n nn

a a a a a a a a a a

7) Si a una línea le sumamos una combinación lineal de otras paralelas el

determinante no varía.

11 12 12 1 11 12 1 12 12 1 11 12 1

21 22 22 2 21 22 2 22 22 2 21 22 2

1 2 2 1 2 2 2 1 2

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

n n n n

n n n nn n n nn n n nn n n nn

a a a a a a a a a a a a a

8) Si en un determinante una línea es de ceros salvo un elemento, el valor de dicho

determinante es el producto de dicho elemento por su adjunto.

11 22 23 2

21 22 2 32 33 3

11 11 11

1 2 2 3 ( 1) ( 1)

0 . 0 .

. . . . . . . .

n n nn n n nnn n n n

a a a a

a a a a a aa a A

a a a a a a

21 22 2

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) 11 2 (2) 3 (3) ( )1 1

.( ) ( )

. . . .

j j j j j j j

j n n j n nj j

n n nn n n

a a asg a a a a a sg a a a

9) El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos

de una línea por sus adjuntos respectivos.

11 12 1

. . . . .

0 .. 0 0 .. 0 . . 0 0..

. . . . .

i i in ij ijj

n n n nn

a a aA a A

a a a a

Aplicamos las propiedades 5 y 8 al siguiente determinante:

10) La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de

otra línea paralela a ella, es cero.

Sea el determinante :

11 12 1

21 22 2

. . . .

n n nn

a a aA

Formamos el determinante con dos filas iguales:

11 12 1

11 21 12 22 1 2 11 21 12 22 1 2

... .. 0

. . . .

n n n n

n n nn

a a aB a B a B a B a A a A a A

11) El determinante de una matriz es igual a la de su traspuesta.

En efecto, ya que un determinante está formado por todos los productos en los queintervienen un elemento de cada fila y de cada columna, al cambiar filas por columnas se obtendrán los mismos productos aunque la permutación base está ahora referida a las columnas y no a las filas.

1 2 1 1 1 1

1 0 3 8 2 0 2 8

1 2 5 1 3 5

REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES

11 22 12 2121 22

a aa a a a

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11

31 32 33

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Determinantes de orden 2

Determinantes de orden 3 Regla de Sarrus

Determinantes de orden n

11 12 1

. . . . .

i i in ij ijj

n n n nn

a a aA a A

a a a a

Aplicando la propiedad número nueve.

El determinante de orden n se reduce a calcular n determinantes de orden n-1.

Desarrollo de un determinante por los adjuntos de una línea.

Determinantes de orden n

1 2 1 1

. . . . .

i i in i i

a a aA a A

Regla de Chio o método pivote

Consiste en fijar en una fila o una columna un elemento llamado pivote

(por comodidad suele ser un elemento que vale 1) y hacer 0, utilizando

las propiedades, todos los elementos de dicha fila o columna. Posteriormentese desarrolla dicho determinante por los elementos de esa fila o columna.

El determinante de orden n se reduce a calcular un determinante de orden n-1.

Determinantes de matrices triangulares de orden n

11 12 13 14

22 23 2422 23 24 33 34

11 11 11 33 34 11 22 11 22 33 4433 34 44

0 0 00 0

a a a aa a a

a a a a aA a A a a a a a a a a a

a a aa

El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igualal producto de los elementos de la diagonal principal.

El determinante de un producto de matrices es igual al productode los determinante

A B A B

APLICACIONES de los DETERMINANTES

Cálculo del rango de una matriz

1 2 0 1 1 2 0 1 2 11 2

2 0 3 1 0 2 0 3 0 2 0 1 0 ( ) 22 0

4 4 3 3 4 4 3 4 4 3

A Rg A

Es el orden del mayor determinante (menores) no nulo que se puede formar confilas y columnas de la matriz.

Al determinante formado por las r primeras filas y las r primeras columnas se le llama menor principal de orden r.

El menor principal de orden dos es distinto de cero y los demás menores de ordentres que podemos ampliar son nulos luego el rango es dos.

Cálculo de la matriz inversa

Dada una matriz cuadrada

Se llama matriz ADJUNTA a la matriz formada por los adjuntos de cada elemento.

11 12 1

. . . . .

i i in

n n nn

a a aA

11 12 1

. . . . .

. .( )

. . . . .

i i in

n n nn

A A AAdj A

El producto de una matriz por la traspuesta de la matriz adjunta es igual al determinante de la matriz por la matriz unidad.

11 12 1 11 21 1

1 2 1 2

. . . . 0 . . 0

. . . . .. . . . . . . . . .

0 0 . . 0. . . .

. . . . .. . . . . . . . . .

. . . . 0 0 . .

i i in i i ni

n n nn n n nn

a a a A A A A

a a a A A A

a a a A A A A

Por tanto :

11 1Adj( ) Adj( ) Adj( )

n nA A A I A A I A A

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