material complementario - sumo primero · deber ser capaz de comprender que 9 + 1 es 10, por tanto,...
Post on 24-Jul-2020
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Material Complementario
Un aporte a las estrategias de cálculo de adición y sustracción
Introducción
A continuación presentamos ideas que pueden ser útiles para el trabajo del cálculo de la adición y
sustracción. Estas ideas son extraías de un artículo científico reciente y de un libro clásico sobre
Didáctica de la Matemática en Educación Básica. Las referencias de estos trabajos son:
Artículo científico:
Rodríguez, T., y Juárez, J. A. (2019). Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna de
segundo grado de primaria: El caso de Luisa. Números. Revista de Didáctica de las
Matemáticas, 102, 67-81.
Libro:
Chamorro, M.C. (2003). Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Madrid: PearsonPrentice Hall.
Madrid. España.
Del primer trabajo enfatizamos en estrategias de cálculo mental que emplea una estudiante cuando
resuelve situaciones aditivas y sustractivas, así como las propiedades aritméticas que utiliza. Por su
parte, del libro extraemos ideas sobre un repertorio básico que el alumno debe ir construyendo
para cálculos más complejos de adición y sustracción.
Esperamos que las ideas que aquí planteamos sean útiles para la enseñanza y aprendizaje del cálculo
de la adición y sustracción.
Estrategias de cálculo mental por una alumna de segundo año básico
Rodríguez, T. y Juárez, J. (2019) se refieren al cálculo mental de la siguiente manera:
Es una actividad de valiosa importancia, que debe ser parte de un trabajo colaborativo, desde
los primeros niveles de la enseñanza.
Es flexible, holístico, variable y constructivo, ya que tiene relación con el modo de pensar de
cada individuo.
Es un componente necesario que debe formar parte de las competencias que son empleadas
en la cotidianeidad de la vida y es algo a lo que todos pueden acceder.
En particular, la investigación realizada por los autores trata de un estudio de caso, se refieren a las
distintas estrategias usadas por una niña de 7 años en adiciones y sustracciones mentales, en
contexto mexicano.
La adición
Partamos con las siguientes situaciones:
1. Adición de dos números de un dígito. Ejemplo: 5 + 6.
Su primera estrategia es cambiar el orden, poniendo en primer lugar el número mayor, es
decir: 6 + 5. Entonces, ubicándose mentalmente en el número 6, cuenta a continuación las
unidades del 5, de uno en uno (usando sus dedos), lo que corresponde al sobre-conteo: 6, 7,
8, 9, 10, 11. Es decir, hizo lo mismo que en la primera suma que le preguntaron, que era: 3 +
2.
Llama la atención que en el segundo caso no usara la estrategia de componer (o completar)
la decena más cercana, es decir, la decena del número mayor, descomponiendo el segundo
sumando y después sumar la unidad restante. Esto es:
6 + 5 = 6 + 4 + 1
= 10 + 1
= 11
2. Adición de dos números, uno de un dígito y el otro de dos. Ejemplo: 8 + 12.
Primero hizo lo mismo que en el ejemplo anterior y cambió el orden a: 12 + 8.
Y a continuación realiza el sobre-conteo: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
En este caso, después de cambiar nuevamente el orden, su segunda estrategia fue usar la
descomposición aditiva canónica del número mayor 12 y a continuación completar la decena
del dígito mayor. Esto es:
12 + 8 = 10 + 2 + 8
= 10 + 8 + 2
= 10 + 10
= 20
3. Lo mismo hizo después con 31 + 9:
31 + 9 = 30 + 1 + 9
= 30 + 9 + 1
= 30 + 10
= 40
Aunque las estrategias empleadas por la niña prácticamente concuerdan con las descritas por López
(2014), también resulta interesante hablar de una estrategia descrita por Ávila (2005), llamada
procedimiento indoarábigo, ya que describe con mayor detalle los pasos que se llevan a cabo
durante el cálculo mental. Este procedimiento consiste en:
1. Descomponer los números en unidades, decenas, centenas, etc. (descomposición aditiva
canónica, como nosotros la describimos).
2. Realizar la suma comenzando por las de orden superior obteniendo una suma parcial.
3. Seguir con el procedimiento obteniendo otras sumas parciales.
4. Sumar las sumas parciales para obtener una suma total.
Otro ejemplo de esta estrategia al sumar 250 + 310, en Tercero Básico, resultaría de la siguiente
forma:
250 + 310 = 200 + 50 + 300 + 10
= 200 + 300 + 50 + 10
= 500 + 60
= 560
El procedimiento anteriormente descrito es totalmente diferente al que se emplea en la
escolarización habitual, ya que en el caso de la Educación Primaria de México se les pide a los
alumnos comenzar por la suma de las unidades, decenas, centenas y así sucesivamente. Se pudo
apreciar claramente en esta investigación que para el sujeto entrevistado no resultó conveniente
acudir a la estrategia enseñada en la escuela, en su lugar y sin habérselo mostrado previamente,
empleó el procedimiento indoarábigo en casi todas las operaciones propuestas, aunque con menor
grado de dificultad porque solo descompuso unidades y decenas, ya que así lo demandaban dichas
operaciones.
La sustracción
Ahora, en el caso de la sustracción, se le plantea a la niña el problema de calcular “50 – 20” (p. 9) y
frente a la pregunta de ¿cómo lo hizo?, ella responde “Pues en mi mente yo lo único que hice fue
poner el 20 e ir contando, ahora se cuántos dieces me faltaron para llegar al 50”. Los autores llaman
a esta estrategia como: “Contar a partir de uno de los sumandos”, tal como lo señala López (2014,
p. 176). Sin embargo, nosotros agregamos que la estudiante realiza una estrategia en donde
considera la sustracción como la operación inversa de la adición, ya que a partir de 20 cuenta de 10
en 10 hasta llegar a 50. Es decir, esta estrategia debiera reconocerse como una adición en la que se
conoce la suma pero se desconoce uno de los sumandos. En este problema, se trata entonces de
encontrar un número que al sumárselo a 20 se obtenga 50. Claramente corresponde al caso de
resolver una sustracción como operación inversa de la adición.
Consideraciones finales
De acuerdo Cortés et al. (2004) sugiere que “El cálculo mental debe ser aceptado en los currículos
escolares por su contribución al desarrollo del pensamiento aritmético y como medio para el
diagnóstico y reorientación del proceso de enseñanza” (p. 57). En este sentido, es aconsejable insistir
en que el cálculo mental es una práctica que debiera realizarse permanentemente, ya que el
desarrollo de esta habilidad permite agilizar los cálculos e identificar un resultado incorrecto. Por
tanto no solamente debe ser considerado como un tema más, sino que debe ser profundizado y se
le debe dar la importancia necesaria en la escuela.
Por último, algunos autores como Geary y Brown (1991), Siegler (1987) y Siegler y Shrager (1984);
citados por López (2014), plantean la existencia de cinco estrategias básicas con respecto a la
resolución de operaciones aritméticas simples efectuadas por alumnos, las que pueden ser útiles
para observar el trabajo de nuestros alumnos:
1) Representación de los sumandos mediante objetos o empleando los mismos.
2) Conteo a partir de uno de los sumandos, en el cual está implicado el principio de cardinalidad
al tener en cuenta que el cardinal final será equivalente al total de elementos del conjunto.
3) Conteo desde el sumando mayor.
4) Descomposición de los problemas en problemas más simples, o bien, para este caso en
específico, descomposición del sumando mayor en decena y unidades.
5) Recuperación de la respuesta empleando la memoria de largo plazo.
En este estudio se observa la alumna empleó en la mayoría de los casos la tercera estrategia, es
decir realizó los cálculos solicitados a partir del mayor sumando. Sin embargo, hay indicios también
que la alumna empleó estrategias de descomposición aditiva y para resolver una sustracción empleó
la operación inversa de la adición.
Repertorios para progresar en algoritmos de la adición y
sustracción
De acuerdo a Chamorro (2003) proporcionar conocimientos suficientes para que el estudiante
pueda elegir un procedimientos de cálculo es esencial en la enseñanza de la aritmética. Lo anterior
permite que el estudiante tenga recursos suficientes para adaptarse a contextos y situaciones
distintas en que tenga la necesidad de realizar el cálculo.
El algoritmo exclusivo y sin sentido tendría un carácter entorpecedor de un cálculo comprensivo y
consiente de la aritmética. En este sentido, el algoritmo no solo no ayuda al conocimiento del
número, sino que puede empeorar determinados aspectos, como por ejemplo, el valor posicional.
Además, el algoritmo al ser automático, su ejecución esconde todas las propiedades que los
justifican, propiedades que son necesarias que el estudiante comprenda y aplique.
Para remediar lo anterior, se sugiere un trabajo con técnicas no automáticas que obligue al alumno,
o quien realiza el cálculo, a considerar de manera explícita las propiedades de las operaciones y de
los sistemas de numeración en que se basan.
La autora señala que la construcción de las técnicas algorítmicas deberá ser fruto de una evolución
de distintas técnicas intuitivas de los alumnos. De esta forma se evitaría aquellos problemas que
acarrean el hecho de trabajar el algoritmo sin sentido. La autonomía en la resolución de problemas
y en el uso de técnicas aritméticas sólo se conseguirá con un aprendizaje significativo de las técnicas
de cálculo.
Las primeras técnicas para abordar problemas aditivos y sustractivos son aquellas ligadas al conteo
tales como el sobre conteo y el desconteo. Sin embargo, estas técnicas deberán ser abandonadas
progresivamente para sustituidas por otras más propias del cálculo.
La autora sugiere que el alumno debe ir construyendo un repertorio amplio para que éste vaya
progresando en el cálculo y le pueda dar sentido a los algoritmos que trabajará. A continuación se
propone algunos elementos para ir construyendo ese repertorio de que habla la autora.
El repertorio aditivo es el mismo que el sustractivo. Pero ¿por qué genera más dificultades
su movilización en la sustracción que en la adición? De acuerdo a la autora, esto debido a
las representaciones que usualmente se trabaja en las escuelas, como las que se muestra a
continuación y la consiguiente memorización. Obsérvese que esto se hace en un solo
sentido.
7 + 1 = 8 7 + 2 = 9
7 + 3 = 10 7 + 4 = 11 7 + 5 = 12
Por tal motivo, es aconsejable que se realice por medio de la descomposición del número.
Esta situación moviliza un repertorio en dos sentidos lo que facilita el automatismo de las
técnicas de la sustracción. Por ejemplo:
Adquisición de un repertorio correspondiente a las descomposiciones aditivas de 10 y 5. Al ser nuestro sistema de numeración decimal conocer los complementos hasta 10 facilitará la obtención de determinados resultados. Por ejemplo: realizar la adición 9 + 5. El alumno deber ser capaz de comprender que 9 + 1 es 10, por tanto, descompone el 5 en 4 + 1. Posteriormente suma 9 + 1, obteniendo 10 y finalmente suma 10 + 4, obteniendo como suma final 14. Repertorios como estos son aconsejables abordarlos en la enseñanza.
9 + 5 = 9 + 1 + 4
= 10 + 4
= 14
Por su parte, el trabajo con complementos de decenas, centenas u otras unidades completas permite automatizar un repertorio que será de gran utilidad en otros tipos de cálculos, así como en situaciones cálculo aproximado. Por ejemplo al realizar la siguiente suma el alumno observa que 27 + 73 obtiene 100 y que 36 + 4 obtiene 40. Repertorios como estos son aconsejables abordarlos en la enseñanza.
27 + 36 + 73 + 4
11
1 + 10
2 + 9
3 + 8
4 + 7
5 + 6
7
1 + 6
2 + 5
3 + 4
100 + 40
140
O lo siguiente:
27 + 36 + 73 + 4 = (27 + 73) + (36 + 4)
= 100 + 40
= 140
Hay resultados que son más facilidad de recordar por parte de los alumnos: los dobles y sus proximidades, son alguno de ellos. Los cálculos que necesiten de este repertorio son susceptibles de generar técnicas informales cálculo. Por ejemplo, realizar la suma de 7 + 8. El alumno es capaz de realizar la suma estableciendo el doble de 7, de tal manera que descompone el 8 en 7 + 1. Posteriormente, suma 7 + 7 obteniendo 14. Finalmente, suma 14 + 1 y obtiene 15.
7 + 8 = 7 + 7 + 1
= 14 + 1
= 15
top related