Material Complementario

Un aporte a las estrategias de cálculo de adición y sustracción

Introducción

A continuación presentamos ideas que pueden ser útiles para el trabajo del cálculo de la adición y

sustracción. Estas ideas son extraías de un artículo científico reciente y de un libro clásico sobre

Didáctica de la Matemática en Educación Básica. Las referencias de estos trabajos son:

Artículo científico:

Rodríguez, T., y Juárez, J. A. (2019). Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna de

segundo grado de primaria: El caso de Luisa. Números. Revista de Didáctica de las

Matemáticas, 102, 67-81.

Libro:

Chamorro, M.C. (2003). Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Madrid: PearsonPrentice Hall.

Madrid. España.

Del primer trabajo enfatizamos en estrategias de cálculo mental que emplea una estudiante cuando

resuelve situaciones aditivas y sustractivas, así como las propiedades aritméticas que utiliza. Por su

parte, del libro extraemos ideas sobre un repertorio básico que el alumno debe ir construyendo

para cálculos más complejos de adición y sustracción.

Esperamos que las ideas que aquí planteamos sean útiles para la enseñanza y aprendizaje del cálculo

de la adición y sustracción.

Estrategias de cálculo mental por una alumna de segundo año básico

Rodríguez, T. y Juárez, J. (2019) se refieren al cálculo mental de la siguiente manera:

Es una actividad de valiosa importancia, que debe ser parte de un trabajo colaborativo, desde

los primeros niveles de la enseñanza.

Es flexible, holístico, variable y constructivo, ya que tiene relación con el modo de pensar de

cada individuo.

Es un componente necesario que debe formar parte de las competencias que son empleadas

en la cotidianeidad de la vida y es algo a lo que todos pueden acceder.

En particular, la investigación realizada por los autores trata de un estudio de caso, se refieren a las

distintas estrategias usadas por una niña de 7 años en adiciones y sustracciones mentales, en

contexto mexicano.

La adición

Partamos con las siguientes situaciones:

1. Adición de dos números de un dígito. Ejemplo: 5 + 6.

Su primera estrategia es cambiar el orden, poniendo en primer lugar el número mayor, es

decir: 6 + 5. Entonces, ubicándose mentalmente en el número 6, cuenta a continuación las

unidades del 5, de uno en uno (usando sus dedos), lo que corresponde al sobre-conteo: 6, 7,

8, 9, 10, 11. Es decir, hizo lo mismo que en la primera suma que le preguntaron, que era: 3 +

2.

Llama la atención que en el segundo caso no usara la estrategia de componer (o completar)

la decena más cercana, es decir, la decena del número mayor, descomponiendo el segundo

sumando y después sumar la unidad restante. Esto es:

6 + 5 = 6 + 4 + 1

= 10 + 1

= 11

2. Adición de dos números, uno de un dígito y el otro de dos. Ejemplo: 8 + 12.

Primero hizo lo mismo que en el ejemplo anterior y cambió el orden a: 12 + 8.

Y a continuación realiza el sobre-conteo: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

En este caso, después de cambiar nuevamente el orden, su segunda estrategia fue usar la

descomposición aditiva canónica del número mayor 12 y a continuación completar la decena

del dígito mayor. Esto es:

12 + 8 = 10 + 2 + 8

= 10 + 8 + 2

= 10 + 10

= 20

3. Lo mismo hizo después con 31 + 9:

31 + 9 = 30 + 1 + 9

= 30 + 9 + 1

= 30 + 10

= 40

Aunque las estrategias empleadas por la niña prácticamente concuerdan con las descritas por López

(2014), también resulta interesante hablar de una estrategia descrita por Ávila (2005), llamada

procedimiento indoarábigo, ya que describe con mayor detalle los pasos que se llevan a cabo

durante el cálculo mental. Este procedimiento consiste en:

1. Descomponer los números en unidades, decenas, centenas, etc. (descomposición aditiva

canónica, como nosotros la describimos).

2. Realizar la suma comenzando por las de orden superior obteniendo una suma parcial.

3. Seguir con el procedimiento obteniendo otras sumas parciales.

4. Sumar las sumas parciales para obtener una suma total.

Otro ejemplo de esta estrategia al sumar 250 + 310, en Tercero Básico, resultaría de la siguiente

forma:

250 + 310 = 200 + 50 + 300 + 10

= 200 + 300 + 50 + 10

= 500 + 60

= 560

El procedimiento anteriormente descrito es totalmente diferente al que se emplea en la

escolarización habitual, ya que en el caso de la Educación Primaria de México se les pide a los

alumnos comenzar por la suma de las unidades, decenas, centenas y así sucesivamente. Se pudo

apreciar claramente en esta investigación que para el sujeto entrevistado no resultó conveniente

acudir a la estrategia enseñada en la escuela, en su lugar y sin habérselo mostrado previamente,

empleó el procedimiento indoarábigo en casi todas las operaciones propuestas, aunque con menor

grado de dificultad porque solo descompuso unidades y decenas, ya que así lo demandaban dichas

operaciones.

La sustracción

Ahora, en el caso de la sustracción, se le plantea a la niña el problema de calcular “50 – 20” (p. 9) y

frente a la pregunta de ¿cómo lo hizo?, ella responde “Pues en mi mente yo lo único que hice fue

poner el 20 e ir contando, ahora se cuántos dieces me faltaron para llegar al 50”. Los autores llaman

a esta estrategia como: “Contar a partir de uno de los sumandos”, tal como lo señala López (2014,

p. 176). Sin embargo, nosotros agregamos que la estudiante realiza una estrategia en donde

considera la sustracción como la operación inversa de la adición, ya que a partir de 20 cuenta de 10

en 10 hasta llegar a 50. Es decir, esta estrategia debiera reconocerse como una adición en la que se

conoce la suma pero se desconoce uno de los sumandos. En este problema, se trata entonces de

encontrar un número que al sumárselo a 20 se obtenga 50. Claramente corresponde al caso de

resolver una sustracción como operación inversa de la adición.

Consideraciones finales

De acuerdo Cortés et al. (2004) sugiere que “El cálculo mental debe ser aceptado en los currículos

escolares por su contribución al desarrollo del pensamiento aritmético y como medio para el

diagnóstico y reorientación del proceso de enseñanza” (p. 57). En este sentido, es aconsejable insistir

en que el cálculo mental es una práctica que debiera realizarse permanentemente, ya que el

desarrollo de esta habilidad permite agilizar los cálculos e identificar un resultado incorrecto. Por

tanto no solamente debe ser considerado como un tema más, sino que debe ser profundizado y se

le debe dar la importancia necesaria en la escuela.

Por último, algunos autores como Geary y Brown (1991), Siegler (1987) y Siegler y Shrager (1984);

citados por López (2014), plantean la existencia de cinco estrategias básicas con respecto a la

resolución de operaciones aritméticas simples efectuadas por alumnos, las que pueden ser útiles

para observar el trabajo de nuestros alumnos:

1) Representación de los sumandos mediante objetos o empleando los mismos.

2) Conteo a partir de uno de los sumandos, en el cual está implicado el principio de cardinalidad

al tener en cuenta que el cardinal final será equivalente al total de elementos del conjunto.

3) Conteo desde el sumando mayor.

4) Descomposición de los problemas en problemas más simples, o bien, para este caso en

específico, descomposición del sumando mayor en decena y unidades.

5) Recuperación de la respuesta empleando la memoria de largo plazo.

En este estudio se observa la alumna empleó en la mayoría de los casos la tercera estrategia, es

decir realizó los cálculos solicitados a partir del mayor sumando. Sin embargo, hay indicios también

que la alumna empleó estrategias de descomposición aditiva y para resolver una sustracción empleó

la operación inversa de la adición.

Repertorios para progresar en algoritmos de la adición y

sustracción

De acuerdo a Chamorro (2003) proporcionar conocimientos suficientes para que el estudiante

pueda elegir un procedimientos de cálculo es esencial en la enseñanza de la aritmética. Lo anterior

permite que el estudiante tenga recursos suficientes para adaptarse a contextos y situaciones

distintas en que tenga la necesidad de realizar el cálculo.

El algoritmo exclusivo y sin sentido tendría un carácter entorpecedor de un cálculo comprensivo y

consiente de la aritmética. En este sentido, el algoritmo no solo no ayuda al conocimiento del

número, sino que puede empeorar determinados aspectos, como por ejemplo, el valor posicional.

Además, el algoritmo al ser automático, su ejecución esconde todas las propiedades que los

justifican, propiedades que son necesarias que el estudiante comprenda y aplique.

Para remediar lo anterior, se sugiere un trabajo con técnicas no automáticas que obligue al alumno,

o quien realiza el cálculo, a considerar de manera explícita las propiedades de las operaciones y de

los sistemas de numeración en que se basan.

La autora señala que la construcción de las técnicas algorítmicas deberá ser fruto de una evolución

de distintas técnicas intuitivas de los alumnos. De esta forma se evitaría aquellos problemas que

acarrean el hecho de trabajar el algoritmo sin sentido. La autonomía en la resolución de problemas

y en el uso de técnicas aritméticas sólo se conseguirá con un aprendizaje significativo de las técnicas

de cálculo.

Las primeras técnicas para abordar problemas aditivos y sustractivos son aquellas ligadas al conteo

tales como el sobre conteo y el desconteo. Sin embargo, estas técnicas deberán ser abandonadas

progresivamente para sustituidas por otras más propias del cálculo.

La autora sugiere que el alumno debe ir construyendo un repertorio amplio para que éste vaya

progresando en el cálculo y le pueda dar sentido a los algoritmos que trabajará. A continuación se

propone algunos elementos para ir construyendo ese repertorio de que habla la autora.

El repertorio aditivo es el mismo que el sustractivo. Pero ¿por qué genera más dificultades

su movilización en la sustracción que en la adición? De acuerdo a la autora, esto debido a

las representaciones que usualmente se trabaja en las escuelas, como las que se muestra a

continuación y la consiguiente memorización. Obsérvese que esto se hace en un solo

sentido.

7 + 1 = 8 7 + 2 = 9

7 + 3 = 10 7 + 4 = 11 7 + 5 = 12

Por tal motivo, es aconsejable que se realice por medio de la descomposición del número.

Esta situación moviliza un repertorio en dos sentidos lo que facilita el automatismo de las

técnicas de la sustracción. Por ejemplo:

Adquisición de un repertorio correspondiente a las descomposiciones aditivas de 10 y 5. Al ser nuestro sistema de numeración decimal conocer los complementos hasta 10 facilitará la obtención de determinados resultados. Por ejemplo: realizar la adición 9 + 5. El alumno deber ser capaz de comprender que 9 + 1 es 10, por tanto, descompone el 5 en 4 + 1. Posteriormente suma 9 + 1, obteniendo 10 y finalmente suma 10 + 4, obteniendo como suma final 14. Repertorios como estos son aconsejables abordarlos en la enseñanza.

9 + 5 = 9 + 1 + 4

= 10 + 4

= 14

Por su parte, el trabajo con complementos de decenas, centenas u otras unidades completas permite automatizar un repertorio que será de gran utilidad en otros tipos de cálculos, así como en situaciones cálculo aproximado. Por ejemplo al realizar la siguiente suma el alumno observa que 27 + 73 obtiene 100 y que 36 + 4 obtiene 40. Repertorios como estos son aconsejables abordarlos en la enseñanza.

27 + 36 + 73 + 4

11

1 + 10

2 + 9

3 + 8

4 + 7

5 + 6

7

1 + 6

2 + 5

3 + 4

100 + 40

140

O lo siguiente:

27 + 36 + 73 + 4 = (27 + 73) + (36 + 4)

= 100 + 40

= 140

Hay resultados que son más facilidad de recordar por parte de los alumnos: los dobles y sus proximidades, son alguno de ellos. Los cálculos que necesiten de este repertorio son susceptibles de generar técnicas informales cálculo. Por ejemplo, realizar la suma de 7 + 8. El alumno es capaz de realizar la suma estableciendo el doble de 7, de tal manera que descompone el 8 en 7 + 1. Posteriormente, suma 7 + 7 obteniendo 14. Finalmente, suma 14 + 1 y obtiene 15.

7 + 8 = 7 + 7 + 1

= 14 + 1

= 15