materia matemáticas tema 1 curso nivel ii números racionales
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Materia Matemáticas
Tema 1
Curso Nivel II
Números Racionales
En sentido amplio, se llaman números racionales a todo En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que que puede representarse como el puede representarse como el cociente, de dos enteros con , de dos enteros con denominador
distinto de distinto de cero (una (una fracción común). común).
El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.pensamiento o actitud racional.
Números Racionales
O cuando tardamos media hora en hacer los deberes,
En estas situaciones estamos utilizando las fracciones.
Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de un pastel,
Números Racionales
Términos de una fracciónTérminos de una fracción.Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción.
a
Si tenemos dos números a y b , y b 0, entonces la expresión ----es una fracción .
b
bb se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se divide la unidad.
a se llama numerador de la fracción , y nos indica cuántas partes tomamos.
a NUMERADORNUMERADOR------------------
b DENOMINADORDENOMINADOR
Números Racionales
1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 210 : 5 = 2 2 . 2 = 4
2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5.10 . 2 = 2020 : 5 = 4
Fracción de un número.Fracción de un número.
Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos?Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas :
Números Racionales
Tipos de Fracciones: Propias e Tipos de Fracciones: Propias e Impropias.Impropias.
Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes:
Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------ , -------- , ------- , -------- , 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad: U
NIDAD
Números Racionales
Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21------ , -------- , ------- , -------- , ---------- 3 4 7 9 47
Todas estas fracciones son más pequeñasmás pequeñas que la unidad.
2Por ejemplo ---- 3 Si la representamos gráficamente:
2/3Este tipo de fracciones se llaman fracciones propiasfracciones propias.
Números Racionales
Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9------ , -------- , ------- , -------- , ---------- , --------- 3 3 9 5 4
Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4Por ejemplo ------ 3Si la representamos gráficamente:
1 Unidad 1 Unidad
Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias.
3/3 + 1/3
Números Racionales
Numero Mixtos. Numero Mixtos. Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidadComo acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad
Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número natural y una fracción.natural y una fracción.
4 3 1 1 5 4 4 3 1 1 5 4 1 1 1 1
------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + ----------- = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + ----- 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 4 4
4 4 4 4
También podemos escribirlas de la siguiente forma.También podemos escribirlas de la siguiente forma.
4 1 1 4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 ------- ------ = 1 + ------- = 1 -------
3 3 3 3 3 3
5 1 1 5 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 ------- ------ = 1 + ------- = 1 -------
4 4 4 4 4 4 1 11 1
1 ------ y 1 ------- 1 ------ y 1 ------- 3 43 4
son son números mixtosnúmeros mixtos, y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “, y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “
Números Racionales
Fracciones Equivalentes.Fracciones Equivalentes. a c a c
Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica verifica b d b dque a . d = b . cque a . d = b . c
Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados.Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados.
Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones.es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a ca c ------ = ---- ------ = ---- a . d = b . c a . d = b . c b db dLuego, podemos decir que dos fracciones son Luego, podemos decir que dos fracciones son equivalentesequivalentes si sus si sus
productos cruzados productos cruzados son iguales.son iguales.
Números Racionales
Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentes
a . d b . C
3 4Por ejemplo : ------ y ---- 2 5
3 . 5 = 15 2 . 4 = 8
Comprobamos que 15 8
Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes
Números Racionales
Comprobación y Ordenación de Fracciones.Comprobación y Ordenación de Fracciones. a c
Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d
¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor? Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la
que tienen mayor numerador. 2 3 3 2
Por ejemplo : ------ y ---- ------ > ----- 5 5 5 5
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ---- ------ < ----- 4 3 4 3
Números Racionales
suma y resta con:
a) Mismo Denominador:
Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c ---- y ----
b b Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador.
a c a + c ------ + ---- = --------
b b b
3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7
Números Racionales
O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c
----- - ---- = -------- b b b
3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7
3 2 3 - 2 1
------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7
Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador,
sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
Números Racionales
b) Distinto Denominador.
Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.
Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan el mismo denominador
3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2
Números Racionales
3 6 ------ = ----- 5 10
4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = -------
2 4 6 8 10
4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10
4 3 20 6 20 – 6 14 ------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------ 2 5 10 10 10 10
Números Racionales
Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el método del mínimo común múltiplo de los denominadores ( m. c. m. )
Números Racionales
1 2 3Tenemos las fracciones ----, ----- , ------ 2 3 4
1) Calculamos el m.c.m. de los denominadores:m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12
2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción.
1 1 6
------ 12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6 ------ = ------ 2 2 12
2 2 8 ------ 12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8 ------ = ------
3 3 12 3 3 9
------ 12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9 ------ = ------ 4 4 12
Números Racionales
6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ---- , ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas.
1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12
1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12
Números Racionales
Multiplicación y División a c
Para multiplicar las fracciones ------ y ----- , hacemos b d
a c a . c
------ . ---- = ---------- b d b . d
Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de
los denominadores.
Números Racionales
Por ejemplo:
1 2 1 . 2 2 ------ . ----- = -------- = ------ 3 5 3 . 5 15 a cPara dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos
b d a c a d a . d ---- ---- = ----- . ------- = ---------- b d b c b . c
Números Racionales
Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda.
Por ejemplo: 3 2 3 5 3 . 5 15 ------ ----- = ----- . ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2 . 2 4
También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de
la otra. a c a . d
---- : --- = --------- b d b . C Por ejemplo:
3 2 3 . 5 15---- : --- = --------- = ------
2 5 2 . 2 4
Números Racionales
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