materia matematicas ii
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-
PORCENTAJE
Porcentaje es una parte de un cien
20% Por cada 100 unidades tomo 20. Tanto por ciento.
5% Por cada 100 unidades tomo 5. Tanto por ciento.
0,09% Por cada 1 unidad tomo 0,09. Tanto por uno.
Ejemplos
TANTO POR CIENTO. TANTO POR UNO
4% 0.04 0.05 5%
12% 0.12 0.19 19%
50% 0.50 0.65 65%
170% 1.70 3.29 329%
51
4% 5.25% 0.0525
71
2% 7.5% 0.075
123
4% 12.75% 0.1275
193
5% 19.60% 0.196
UTILIDADES DEL PORCENTAJE.
U= PV- PC
U= Utilidad
PV= Precio de Venta
PC= Precio de compra o Costo.
Hallar la utilidad de un pantaln cuyo precio de costo es $40 y su utilidad es de 17% sobre el
precio.
DATOS
U= 0.17 PV= PC (U)
PV= 40 PV= 40 (0,17)
PC=? PV= 46,80
-
APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO.
Hallar el precio de la factura de un refrigerador cuyo precio de vista es $930 y se aplica un
descuento del 9% por la compra al contado.
DATOS.
PF=? PF= PV (1- d)
PV= 930 PF= 930 (1 0.09)
d= 0.09 PF= 930 (0.91)
PF= 846, 30
Hallar el precio de una factura de una cocina cuyo precio de lista es $930 y se ofrece un
descuento de 71
4% al contado.
DATOS.
PF=? PF= PV (1- d)
PV= 930 PF= 930 (0. 9275)
d= 0.0725 PF= 862,58
Hallar el precio de la factura de una computadora cuyo precio es de $1,650 y se ofrece
descuento de 2% y 11% respectivamente por su compra.
DATOS.
PF=? PF= PV (1- d) (1- d)
PV= 1,650 PF= 1,650 (0. 98) (0.89)
d= 0.02 y 0.11 PF= 1,439.13
Hallar el precio de la factura de venta de un equipo de sonido cuyo precio de lista es $700 y se
ofrece un descuento del 3% y se aplica el impuesto del 12%.
DATOS.
PF=? PF= PV (1- d) (1 + 12)
PV= 700 PF= 700 (1 0.03) (1 + 0.12)
d= 0.03 PF= 700 (0. 97) (1.12)
i= 0.12 PF= 760, 48
Hallar el precio de factura de un electrodomstico cuyo precio de lista es $190 y se ofrece un
descuento de 3%, 6% y se aplica impuestos del 5% y 17%.
-
DATOS.
PF=? PF= PV (1- d) (1 + 12)
PV= 190 PF= 190 (1 0.09) (1 + 0.22)
d= 0.03 y 0.06 PF= 190 (0. 91) (1.22)
i= 0.05 y 0.17 PF= 210,94
Hallar la Utilidad de un pantaln, si el precio de compra es de $30 y de desea vender en $45.
DATOS.
PC= 30 U= PV - PC
PV= 45 U= 45 - 30
U=? U= 15
A qu precio se debe marcar un vestido para su venta y si se compr en $190 y se desea ganar el
18% sobre el precio de compra.
DATOS.
PC= 190 PV= PC (1 + im)
PV=? PV= 190 (1.18)
U=0.18 PV= 224,20
A qu precio se debe marcar un calentador, cuyo precio de compra es de $75 y desea obtener
una utilidad del 20% sobre el precio de venta. Hallar tambin la utilidad con respecto al precio
de venta y al precio de compra.
DATOS.
PC= 75 PV= PC + U U= PV - PC
PV=? PV= 75 + 0.20 PV U= 93.75 - 75
U=0.20 PV 0.20 PV = 75 U= 18.75
0.80 PV = 75
PV = 75
0.80
PV = 93,75
Utilidad en funcin del PV Utilidad en funcin del PC
93.75 100% 75 100%
18.75 X= 18.75100
93.75 = 20 18.75 X =
18.75100
75
= 25
-
Hallar el precio de compra de un artculo que se vendi en $130 con una utilidad del 35% sobre
el precio de compra.
PC=? PV = PC + U U= PV - PC
PV= 130 130 = PC + 0.35 PC U= 130 3.71
U= 0.35% PC 130
35 = PC U = 126,29
PC= 3.71
Utilidad en funcin del PC
130 100%
126,29 X = 126.29100
130 = 97.15
CLCULO DE n e i
CLCULO DE i
( + ) =
+ (
)
+
(1 + i)21 =5225
56
(1 + i) = (5225
56)
121
= ,
( + ) +
+
= (
)
(1 + i)4 = 23676,68
(1 + i) = (23676,68)14
= ,
( + ) +
+
= + ( , ) + (
)
(1 + i)6 = 738,15
-
(1 + i) = (738,15)1
6
= , %
( + ) +
= (
)
+
(2 + i)15 =10639
588
(2 + i) = (10639
588)
1
15
i = 78,71
CLCULO DE n
( +
)
=
+
( )
(1 +3
2)
n
=53
3
n log5
2= log
53
3
n =log
533
log52
= ,
(
)
+ +
=
+
(
)
(3
2)
n
= 32446,54
n =log 32446,54
log32
= ,
(
)
=
(
)
-(
)
= ,
-
n = log 343,75
log ( )
No tiene solucin., no hay log
PROGRESIONES ARITMTICAS
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. Progresin Aritmtica Creciente o Ascendente
6, 11, 16, 21, 26, 31
30, 28, 24, 20. Progresin Aritmtica Decreciente o Descendente.
CLCULO DE LA DIFERENCIA
Es la seleccin de dos trminos consecutivos de la progresin y resta el segundo menos el
primero
5, 2 12, 8
d= 2-5 d= 8-12
d=3 d= - 4
,
,
, ,
d =4
3 7
d = 17
3
,
,
,
d =9
5 8
d = 32
5
,
, , , ,
d=3
,
,
,
-
d = 9
20
CLCULO DEL LTIMO O ENESIMO TRMINO
6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. Es una progresin
3, 5, 7, 11, 15, 19..No es una progresin
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, a1 + 5d, a1 + 6d
1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t
Primer trmino ms diferencia
37t = a1 + 36d
193t = a1 + 192d
589t = a1 + 588d
Para hallar el ltimo trmino aplicamos.
1. = + ( )
Primer trmino
Ultimo termino
Nmero total de trminos
Diferencia
CLCULO DE LA SUMA DE TRMINOS DE LA PROGRESIN ARITMTICA
Para sumar los trminos de una progresin aritmtica deducimos la siguiente frmula.
s = ( a1 + d) + ( a1 + 2d) + . . . + ( an 2d) + ( an d) + an (1)
Reordenando tenemos
s = an + ( an 2d) + ( an d) + . . . +( a1 + d) + ( a1 + 2d) a1 (1)
Sumando miembros a miembros (1+ 2) tenemos:
2s = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + + (a1 + an) + (a1 + an) +
2s = n (a1 + an)
Despejando tenemos
2. =
( + )
Sustituyendo la frmula del ltimo trmino en esta ecuacin tenemos:
3. =
[ + ( )]
-
Hallar el trmino 49 y la suma de la progresin siguiente.
6, 13
DATOS:
a1 =6 = + ( ) =
( + )
an = = 6 + (49 1)7 S =49
2(6 + 342)
n = 49 = 6 + (48)7 =8,526
d = 7 =
S =
Hallar el trmino 153 y la suma de la progresin siguiente:
50, 60
DATOS:
a1 =50 = + ( ) =
( + )
an = = 50 + (153 1)10 S =153
2(50 + 1570)
n = 153 = =123,930
d = 10
S =
Halar el trmino 39 y la suma de la progresin siguiente:
,
DATOS:
a1 =7
4 = + ( ) =
( + )
an = =7
4+ (39 1) (
23
20) S =
39
2(
7
4+ (
))
n = 39 =
=
d = 23
20
S =
Hallar el trmino 85 de la suma y la progresin siguiente:
,
-
DATOS:
a1 =1
2 = + ( ) =
( + )
an = =1
2+ (85 1) (
1
10) S =
85
2(
1
2+
89
10)
n = 85 =
=
d =1
10
S =
Hallar el trmino 35 de la suma y la progresin siguiente:
,
DATOS:
a1 =1
5 = + ( ) =
( + )
an = =1
5+ (35 1) (
27
40) S =
35
2(
1
5+
463
20)
n = 35 =
=
,
d =27
40
S =
Una persona adquiere una computadora por lo que se compromete a pagar el primer mes
$40 el segundo mes $ 48 el tercer mes $ 56 as sucesivamente. Hallar el precio total del
computador si los pagos lo hicieron durante un ao y medio.
40, 48, 56,
DATOS:
a1 = 40 = + ( ) =
( + )
an = = 40 + (18 1)8 S =18
2(40 + 176)
n = 18 = 176 =
d = 8
S =
Interpolar cuatro medios aritmticos entre 7 y 32.
7, 12, 17, 22, 27, 32
-
DATOS
a1 = 7 = + ( ) =
( + )
an = 32 32 = 7 + (6 1)d S =6
2(7 + 32)
n = 6 32 7 = 5d =
d = =
S =
PROGRESIONES GEOMTRICAS
Es una serie de nmeros ordenados, tal que cada trmino posterior al primero se obtiene
multiplicando o dividiendo un nmero fijo llamado razn de la progresin.
EJEMPLO
4, 12, 36, 108
7, -12, 63, -189.. LAS TRES SON PROGRESIONES CRECIENTES
6, 24, 61, 384..
81, 23, 9, 3, 1, 1/3 ,1/9, 1/27 ES UNA PROGRESIN DECRECIENTE
La razn es el segundo trmino dividido por el primero
36, 108 63, -21 96, 384 27, 9
r =180
36= 3 r =
21
63=
1
3 r =
384
96= 4 r =
9
27=
1
3
Es una progresin creciente cuando la razn es un nmero entero.
Es una progresin decreciente cuando la razn es una fraccin.
CLCULO DEL ENSIMO O LTIMO TRMINO Y LA SUMATORIA
Para hallar el ltimo trmino aplicamos
= ()
Primer trmino
ltimo o ensimo trmino
Nmero total de trminos
Razn
-
Suma
SUMA DE LOS TRMINOS.- Para sumar los trminos de una progresin geomtrica
deducimos la siguiente formula.
s = a1 + a1r + a1r1+a1r
2 + a1r3 + a1r
4 + () +
() ()
s = a1 + a1r + a1r1+a1r
2 + a1r3 + a1r
4 + () ()
S =a1anr
1r Utilizo cuando no conozco el an
S =a1a1r
n
1r Utilizo cuando no conozco el a1
Hallar el trmino 39 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica
7, 28, 112
DATOS
a1 = 7 = () =
an = an = 7(4)(391) S =
77(4)39
14
n =39 = , = ,
r = 4
S =
Hallar el trmino 54 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica.
7, 28
DATOS
a1 = 7 = () =
an = an = 7(4)(541) S =
77(4)54
14
n =54 = , = ,
r = 4
S =
Hallar el trmino 62 de la siguiente progresin
-
34,
5
7,
DATOS
a1 =3
4 =
() =
an = an =3
4(
20
21)
(621) S =
3
4
3
4(
21
20)
62
120
21
n = 62 = . = ,
r =20
21
S =
DATOS
a1 = = () =
an = 620 620 = (5)(n1) 2.300 =
620(5)
15
n = 620 =6100(5)n
5 9200 + 3100 = a1
r = 5 3100 = 6100(5)n =
S = 2.300 3100
6100= 5n
log 31
61= n log 5
No existe esta progresin.
Una maquina tiene un costo de $ 3.5000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del
4% del valor que tiene al principio del ao determine el costo de la mquina al final del
dcimo cuarto ao de uso.
DATOS
C = 3.500 = ( ) = ()
an = a1 = 3.500(1 0.04) an = 3.360(0,96)(141)
n = 14 = . = . ,
d = 0.04
Determine el valor de una maquina al cabo de 20 aos de uso si su costo inicial fue de
20.000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del % del precio que tuvo al
principio del ao.
DATOS
-
C = 20.000 = ( ) = ()
an = a1 = 20.000(1 0.0325) an = 19.350(0,9675)(201)
n = 20 = . = ,
PROGRESIONES ARMNICAS
Es el reciproco de la progresin aritmtica
5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68 ARITMTICA
1/5 ; 1/12 ; 1/19 ; 1/26 ; 1/33 ;1/40 ; 1/47 ; 1/54 ; 1/61 ; 1/68ARMNICA
Hallar el trmino 17 y la suma de los 17 primeros trminos de la progresin siguiente.
3, 11, 19, 27, 35
DATOS
a1 = 3 = + ( ) =
( + )
an = an = 131 S =17
2(3 + 131)
n = an = 17 = .
d = 8
S =
an =1
131 Progresin armnica
=1
1.139 Progresin armnica
1
3,
1
11,
1
19,
1
27,
1
35
INTERS SIMPLE
Banco tasa pasiva tasa de retorno
Usuario tasa activa tasa de inters
i = Tasa de inters
=
(el tiempo es un ao)
Calcular la tasa de inters de un capital $ 230 que genera un inters de 35.
-
Datos
= 230
= 35
=I
C =
35
230 = 15.217%
Calcular la tasa de inters de un capital $ 13,600 que genere un inters de 235
= 13,600
= 235
=I
C =
235
13,600 = 1.727%
Calcular la tasa de inters de un capital $ 21,980 que genere un inters de 5,320
= 21,980
= 5,320
=I
C =
5,320
21,980 = 24.204%
= . .
= Interes
= tasa de interes
= Capital
= Tiempo
Calcular el inters de un capital de $ 920 colocado con una tasa de inters del 4% durante
2 aos.
DATOS I = C(i)(t)
C = 920 I = 920(0,04)(2)
I = I = 73,60
i = 0.04
t = 2
Calcular el inters de un capital de $ 23.570 colocado con una tasa de inters del %
durante 1 aos y 6 meses.
DATOS I = C(i)(t)
-
C = 23.570 I = 23.570(641)(1,5)
I = I = 2209,69
i = 641
t = 1,5
Calcular el inters de un capital de $ 13.100 colocado con una tasa de inters del %
durante 13 meses.
DATOS I = C(i)(t)
C = 1938,58 I = 1938,58(0,1367)(1,083)
I = I = 287
i = 0,1367
t = 1,083
Calcular el inters de un capital de $ 9.550 colocado con una tasa de inters de 7 %
durante 8 meses.
DATOS I = C(i)(t)
C = 9.550 I = 9.550(0,07) (2
3)
I = I = 445,67
i = 0,07
t =2
3
Calcular el inters de un capital de $ 2.200 colocado con una tasa de inters de 4%
durante 170 das.
DATOS I = C(i)(t)
C = 2.200 I = 2.200(0,04) (17
3)
I = I = 498,67
i = 0,04
t =17
3
TIPOS DE INTERS SIMPLE
1. Inters simple exacto
Cuando se utiliza ao calendario 365 o 366
-
2. Inters simple ordinario
Cuando uso el ao comercial 360 das o todos los meses tienen 30 das.
CALCULO DE TIEMPO
1.- Tiempo exacto
2.- Tiempo aproximado
Fecha Final
- Fecha Inicial
Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de Agosto del 2006 hasta el 31 de Diciembre del
2007.
TIEMPO APROXIMADO
2007 12 31
2006 08 30
1 4 1
481 das
TIEMPO EXACTO
265
- 242
+ 365
488 das
Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de Mayo del 2011 hasta el 25 de Febrero del
siguiente ao.
TIEMPO APROXIMADO
2012 02 25
2011 05 30
2011 14 25
2011 05 30
2011 13 55
2011 05 30
0 8 25
265 das
-
TIEMPO EXACTO
56
- 150
+ 365
271 das
Hallar el tiempo que transcurre desde el 15 de Septiembre del 2006 hasta el 02 de Mayo
del 2009.
TIEMPO APROXIMADO
2009 05 02
2006 09 15
2008 17 02
2006 09 15
2008 16 32
2006 09 15
2 7 17
947 das
Se aumenta da porque el ao 2008 es bisiesto.
TIEMPO EXACTO
122
- 258
- 136
+1095
959 das
Se aumenta da porque el ao 2008 es bisiesto.
Hallar el inters de una cantidad de $ 3,200 colocados al 3% desde el 7 de Noviembre del
2001 hasta 15 de Abril del siguiente ao.
DATOS
= 3,200
= 0.3
TIEMPO APROXIMADO
2002 04 15
2001 11 7
2001 16 15
2001 11 7
0 5 8
-
158 das
TIEMPO EXACTO
105
- 311
+ 365
159 das
Inters Simple Exacto con Tiempo Aproximado Inters Simple Ordinario con Tiempo Aproximado
3,200(0.03) (158
365) = 41.57
3,200(0.03) (158
360) = 42.13
Inters Simple Exacto con Tiempo Exacto Inters Simple Ordinario con Tiempo Exacto
3,200(0.03) (159
365) = 41.82
3,200(0.03) (159
360) = 42.40
Hallar el inters simple de una capital de $ 5,600 colocados a una tasa de 7% desde el 3 de
Mayo del 2010 hasta 15 de Abril del 2012 en sus dos formas.
DATOS
= 5,600
= 0.07
TIEMPO APROXIMADO
2012 04 15
2010 05 3
2011 16 15
2010 05 3
1 11 12
703 das
Se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto
TIEMPO EXACTO
105
- 123
+ 365
713 das
Se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto
-
Inters Simple Exacto con Tiempo Aproximado Inters Simple Ordinario con Tiempo Aproximado
5,600(0.07) (703
365) = 755.00
5,600(0.07) (703
360) = 765.49
Inters Simple Exacto con Tiempo Exacto Inters Simple Ordinario con Tiempo Exacto
5,600(0.07) (713
365) = 765.74
5,600(0.07) (713
360) = 776.38
Hallar el inters simple en sus dos formas de un capital de $ 8,300 colocados con una tasa
de 12% desde el 30 de Septiembre del 2011 hasta el 5 de Junio del siguiente ao.
DATOS
= 8,300
= 0.12
TIEMPO APROXIMADO
2012 06 05
2011 09 30
2011 16 05
2011 09 30
2011 16 35
2011 09 30
0 8 5
246 das Es 247 das se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto.
TIEMPO EXACTO
156
- 273
+ 365
248 das Es 249 das se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto.
Inters Simple Exacto con Tiempo Aproximado Inters Simple Ordinario con Tiempo Aproximado
8,300(0.12) (246
365) = 671.28
8,300(0.12) (246
360) = 680.60
Inters Simple Exacto con Tiempo Exacto Inters Simple Ordinario con Tiempo Exacto
-
8,300(0.12) (249
365) = 679.46
8,300(0.12) (249
360) = 688.90
MONTO
= +
= + . .
= ( . . )
= Monto = Capital = tasa de interes = tiempo
Hallar el monto de un capital $ 5,300 colocado con una tasa del 13% anual durante 7
meses.
DATOS = ( + )
C = 5,300 M = 5.300 (1 + (0.13) (7
12))
i = 0.13 M = 5,701.92
t =7
12
Determinar el monto de un capital de $6,400 colocados a una tasa del 5% desde 5 Abril
hasta 1 de Noviembre del mismo ao.
DATOS 305 = ( + )
C = 6,400 -95 M = 6,400 (1 + (0.09) (210
360))
i = 0.09 210 das M = 7,736
t = 210 dias
Determinar el monto de un capital $ 8,200 colocados con una tasa del 13% semestral
durante 135 das.
DATOS = ( + )
C = 8,200 M = 8,200 (1 + (0.13) (153
180))
i = 0.13semest M = 8,999.50
t = 153 dias
-
Hallar el monto del capital del $13,000 con una tasa del 20% trimestral colocado desde el 5
de Febrero hasta el 1 de Diciembre.
DATOS 335 = ( + )
C = 13,000 -35 M = 6,400 (1 + (0.09) (210
360))
i = 0.20 trims 290 das M = 7,736
t =
Hallar el monto de un capital de $1,500 colocado al 2% mensual desde el 7 de Abril del
2011 hasta el 20 de Febrero del mismo ao.
DATOS 51 = ( + )
C = 1,500 -97 M = 1,500 (1 + (0.02) (319
30))
i = 0.02 Mensual 365 M = 1,819
t = 319 das
Hallar el monto de un capital de $4.200 con una tasa de 1% diario desde el 29 de Marzo
hasta el 31 de Diciembre del mismo ao.
DATOS 365 M = C(1 + i t)
C = 4,200 -88 M = 4,200(1 + (0.01)277)
i = 0.01 diario 277dias M = 15,834
t =
Hallar el monto de un capital de $9,300 colocado con una tasa de 11% durante 7 meses.
DATOS M = C(1 + i t)
C = 9,300 M = 9,300 (1 + (0.11) (7
12))
i = 0.11 M = 986.75
t = 7 meses
CLCULO DEL VALOR ACTUAL
M = C(1 + i t)
=
( + )
= ( + )
= Capital
-
= Monto
= Tasa de interes
= tiempo q esta en aos
GRAFICA DE TIEMPO Y VALOR
Valor nominal Valor Presente Valor final Monto
Fecha de inscripcin Fecha de Negociacin Fecha de Vencimiento
Hallar el valor actual, el da de hoy de un documento de $15.000 colocado durante 300 das
con un tasa de 7% anual.
DATOS
C = 15,000 14,173.22 i = 0,07 15,000
i = 0.07 anual 0 300 das
t = 300 dias =
(+)
c =15,000
(1+(0.07)(300
360))
= , .
En el problema anterior determine el valor actual si el tiempo es 60 das antes de
vencimiento
14,173.22 14,827.02
60 das
=
(+)
c =15,000
(1+(0.07)(60
360))
= , .
Una persona firma un documento de 9,300 con una tasa del 11% desde 30 de marzo hasta
5 de diciembre del mismo ao determine el valor actual de ese documento el 25 de
septiembre si se aplica una tasa del 19% semestral.
9,300 14,827.02
30-03
89 das
25-09
268 das
05-12
339 das
i = 0.11
-
= ( + ())
M = 9,300 [1 + 0,11 (250
360)]
M = 10,010.42
Un documento por $15.000 se firma el 12 de marzo con una tasa del 15% semestral desde
su suscripcin hasta el 1 de noviembre del mismo ao. Determine el valor actual del
documento el 7 de julio sin la tasa de inters es del 3% mensual.
15,000
t = 305 71 = 234
t = 305 188 = 117 = ( + ())
M = 15000 [1 + 0,15 (234
180)]
M = 17925
El 7 de febrero se suscribe 1 documento por $13.500 con una tasa del 17% trimestral hasta
el 20 de diciembre del mismo ao. Determinar el valor actual de ese documento 20 das
antes de su vencimiento si se reconoce una tasa del % diario.
13,500
t = 354 38 = 316
t = 354 20 = 334
= ( + ())
M = 13500 [1 + 0,17 (316
90)]
M = 21.558
=
+ ()
= 10.010,42
[1 + 0.19(71
180 )]
= 9,312.50
=
+ ()
= 17925
[1 + 0,03(11730 )]
= 16.047,45
7-07
188 das
01-11
305 das
i = 0.15
i= 0.03
07-02
38 das
20 das
i =0.0125 20-12
354 das
i = 0.17
=
+ ()
= 21.558
[1 + 0,0125(20 )]
= 17.246,40
12-03
71 das
-
CLCULO DE LA TASA DE INTERS
= . . = ( + . )
=
. =
.
A que tasa de inters se debe colocar un capital de $ 8,300 para que genere un inters de
$ 45 durante 7 meses.
DATOS
C = 8,300 i =45
8,300(7
12)
I = 45 i = 00.09294%
t = 7
Hallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $ 5,200 desde el 5 de
Enero hasta el 3 de Diciembre del mismo ao para obtener el triple.
DATOS
C = 5,200 i =15,600 5,200
5,200( 332
180)
I = 45 i = 108.4337%
t = 332 d
M = 15,600
A que tasa de inters trimestral se debe colocar un capital de $ 8,000 para que nos
produzca
veces ms desde el 6 de Abril hasta el 9 de Mayo del mismo ao.
DATOS
C = 8,000 i =14,000 8,000
8,000( 33
90)
I = i = 204.5455%
t = 33 d
M = 14,000
Hallar a que tasa de inters de un capital de $ 6,900 que se convierte en 13,700 en 8 meses.
DATOS
C = 6,900 i =13,700 6,900
6,900( 8
12)
I = i = 147.8261%
t = 8
M = 13,700
-
CLCULO DE TIEMPO
=
=
En qu tiempo tiene un capital de $ 2800 genera $ 65 al 7 %
Datos:
C= $ 2800
I= 65
i= 0.07
En qu tiempo tiene un capital de $ 7,000 gana $ 130 con una tasa del 11 %
Datos:
C= $ 7,000
I= 130
i= 0.11
En qu tiempo tiene un capital de $ 4,500 gana $ 135 con una tasa del 0,5 %
Datos:
C= $ 7,000
I= 130
i= 0.005
En qu tiempo tiene un capital de $ 3900 se convierte en $ 11200 con una tasa del 17 %
semestral
Datos:
C= $ 3,900
i= 0.17
M= 11,200
En qu tiempo un capital de $ 15,000 se convierte en $ 27,000 con una tasa del 13%
semestral
= 65
2800 0.07
t= 0.331632 aos 3 meses 29 das 9 horas
t= 119 das
=
130
7,000 0.11
t= 0.168831168 aos 2meses 0 das 18 horas
t= 61 das
= 135
4500 0.005
t= 6 meses
= 11,200 3,900
3,900 0.17
t= 11 meses 66 meses 2 das
t= 1,982 das
-
Datos:
C= $ 15,000
i= 0.13
M= $ 27,000
CLCULO DE SALDOS DEUDORES
Algunas instituciones y casas comerciales que trabajan con crditos utilizan uno de los dos
mtodos.
Acumulacin de intereses o mtodo de lagarto
Intereses sobre saldos deudores
PROBLEMAS
Una cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo de $ 14.000 con un tasa del 2%
mensual para aos. Determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.
MTODO DEL LAGARTO
DATOS = ( + ) =
#
C = 14.000 M = 14.000(1 + (0,02 42)) VCM = 25.760
42
t =42 meses M =25.760 VCM = 613,33
i = 0,02 =
I = 25.760 14.000
I = 1.760
MTODO DE SALDOS DEUDORES
=
# = ( ) = +
VCMSI = 14.000
42 I1 = 14.000(0,02 1) C1 = 333,33 + 280
VCMSI = 333,33 I1 = 280 C1 = 613,33
= 27,000 15,000
15,000 0.13
t= 6.1538 semestres
t= 5 meses
t= 16 das
-
= ( ) = + = , + ()(, )
I2 = 13.66.67(0,02 1) C2 = 333,33 + 273,23 U = 339,86
I2 = 273,23 C2 = 606,66
=
(, + , ) =
# = . , .
S = 20.016,99 VCM =20.016,99
42 I = 6.016,99
VCM = 476,60 i =6.016,99
(14.00042)
i = 1,0233%
Una agencia de autos vende automviles en $20.000 con una cuota inicial del 30% y el
resto a 40 meses plazos con una tasa del 13%. Determine el valor de la cuota mensual por
los dos mtodos.
MTODO DEL LAGARTO
DATOS = ( + ) =
#
= 14.000 M = 14.000 (1 + (0,13 40
12)) VCM =
20.066,67
40
=40 meses M =20.066,67 VCM = 501,67
= 0,13 Anual =
I = 20.066,67 14.000
I = 6.606,67
MTODO DE SALDOS DEUDORES
=
# = ( ) = +
VCMSI = 14.000
40 I1 = 14.000 (0,13
1
12) C1 = 350 + 151,67
VCMSI = 350 I1 = 151,67 C1 = 501,67
= ( ) = + = , +
()(, )
-
I2 = 13.650 (0,13 1
12) C2 = 350 + 147,88 U = 353,86
I2 = 147,88 C2 = 497,88
=
(, + , ) =
# = . , .
S = 17.110,60 VCM =17.110,60
40 I = 3.110,6
VCM = 427,77 i =3.110,6
(14.00040)
i = 0.5555%
DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE
=
El 7 de diciembre se firm un documento de $ 3.600 a 190 das plazo. Hallar el descuento
racional de ese documento si se descuenta el 5 de Abril del siguiente ao con una tasa del
3% mensual.
341 13.500 3.600
-190 341dias 95das i=0,03 166das
531 =
(+) =
365 C =3.600
(1+(0.0371
30))
Dr = 3.600 3.361,34
166 C =3.361,34 Dr = 238,66
COMPROBACIN
= ( )
I = 3.361,34 (0.03 (71
30))
I = 238.66
Determine el descuento racial de un pagare de $ 4.800 firmados el 6 de Octubre del 200
con una tasa del 17% desde su suscripcin hasta el 4 de Abril del 2011 si se descuenta el 29
de Noviembre del 2010 con una tasa del 22% semestral.
279 4.800 = , 3.600
-94 279--2009 333das i=0,03 94--2010
-
730 = ( + ) =
(+)
545 das M = 4.800 (1 + 0,17 (545
360)) C =
6.035,33
(1+0,22(126
180))
M = 6.035,33 C = 5.229,92
= COMPROBACIN
Dr = 6.035,33 5.229,92 I = 5.229,92(0,22) (126
180)
Dr = 805,41 I = 805,41
El 7 de Enero se firma un pagare por $5.800 con una tasa del 22% trimestral este
documento se tiene que pagar el 29 de Diciembre del mismo ao. Hallar el descuento
racional si se descuenta 20 das antes de su vencimiento con una tasa de 0,01%.
365 5.800 = ,
-7 7 enero 20 das i=0,0001 29 diciembre
356 Das 7 365
= ( + ) =
(+)
M = 5.800 (1 + 0,22 (356
90)) C =
10.847,29
(1+0,0001(20
30))
M = 10.847,29 C = 10.846,57
= COMPROBACIN
Dr = 10.847,29 10.846,57 I = 10.846,57(0.0001) (20
30)
Dr =0,72 I = 0,72
DESCUENTO BANCARIO
El descuento bancario se calcula de la siguiente manera
= = ( )
=
-
=
=
=
Hallar el descuento bancario de un banco, aplica a un cliente que descuenta un pagare de
$7.900 el da de hoy a 120 das plazo consideran una tasa del 13%.
7.900 7.900
0 d=0,13 120 das
Db = 7.900(0,13) (120
360)
Db = 432,33
Determinar el descuento bancario de un documento $ 8.900 firmado el 7 de Febrero a 220
das plazo con una tasa de inters del 11% si se descuenta el primero de Mayo del mismo
ao con una tasa del 17% trimestral.
8.900 i = 0,11
7 febrero 1 mayo 220 das
38 121 258
= ( + ) =
M = 8.900 (1 + 0,11 (220
360)) Mb = 9.498,28(0,17) (
137
90)
M = 9.498,28 Mb = 2.457,94
= ( ) =
Cb = 9.498,28 (1 0,17 (137
90)) D = 2.457,94 7.040,34
Cb = 7.040,34 D = 2.457,94
-
DESCUENTO SIMPLE
= =
= = ( )
=
()
El 7 de Octubre se firma un documento de $ 5.800 con una tasa de 13% a 310 das plazo.
Hallar el valor efectivo que se recibe, si se descuenta este documento el 5 de Febrero del
siguiente ao con una tasa del 19% trimestral.
280 5.800 = ,
-225 7 Octubre 15 Febrero 29 Diciembre
365 280 36 i=0,19 225
310das
M = 5.800 (1 + 0,13 (310
360)) Cb = 6.445,28 (1 0,19 (
189
90))
M = 6.445,28 Cb = 3.876.02
= COMPROBACIN
Db = 6.445,28 3.876.02 =
Db = 2.573,26 Db = 6.445,28(0,19) (189
90)
Db = 2.573,26
Cuanto debe solicitar Margarita en el Banco de Pichincha para obtener $7.300 con una
tasa del 15% para dentro de 130 das plazo.
=
() =
7.300
(10,15(130
360))
= 7.718,06
Relacin entre la tasa de inters (i) y la tasa de descuento
1. La tasa de inters simple se utiliza en el descuento racional o matemtico y se aplica
generalmente sobre el capital.
2. La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario y generalmente se aplica en el
monto
-
Hallar el descuento racional y el descuento bancario de un pagare de $8.000 a 290 das
plazo si se descuenta 55 das antes de su vencimiento con una tasa del 11% trimestral.
800 = ,
0 55 290
i = 0,11
=
(+) = ( ) =
C =800
(1+0,11(55
90))
Cb = 800 (1 0,11 (55
90)) Cb = 800(0,11) (
55
90)
C = 749,60 Cb = 746,22 Cb = 53,78
La relacin entre las tasas queda establecida de la siguiente forma.
= ( + ) =
()
=
() =
(+)
A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 22% durante 140 das.
=
() =
0,22
(10,22(140
360))
= 24,0583%
A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 25% durante 8 meses.
i =0,25
(10,25(8
12))
= 3%
A que tasa de descuento equivale una tasa de 33% durante 230 das.
d =0,33
(1+0,33(230
360))
= 27,2540%
A que tasa de descuento equivale una tasa de 30% durante 8 meses.
d =0,30
(1+0,30(8
12))
= 25%
Una persona realiza el descuento de un pagare a 220 das plazo por $8.700. 40 das antes
de la fecha de vencimiento con una tasa del descuento del 11% ese mismo da el Banco de
Pichincha redescuento el documento en el Banco Internacional con una tasa del 7%.
Determine el dinero que recibe la persona y el dinero que recibe el Banco del Pichincha.
Cb = 8.700(1 + 0,11) (40
360) Cb = 8.700(1 0,07) (
40
360)
-
Cb = 8.593,67 Cb = 8.632,34
Recibe el persona Recibe el banco
UNIDAD N=2
ECUACIONES DE VALOR
= ( + ) =
(+)
=
(+) = ( )
Fecha Montos F .F valor actual
Las Ecuaciones de Valor se utiliza para resolver problemas de matemtica financiera donde se
remplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias
fechas de referencia por un valor o varios valores previo acuerdo ante acreedor y deudor.
Reemplazar un conjunto de valores, deudas, obligaciones para un solo valor.
Comparacin de oferta para comprar y vender.
Para calcular el moto de una serie de depsitos a corto plazo.
Para calcular el capital de una serie de depsitos d cort plazo.
Una empresa tiene las siguientes obligaciones de $15.000 a 60 das plazo, $20.000 a 130
das plazo, $30.000 a 250 das plazo, $35.000 a 300 das plazo. La empresa desea remplazar
todas estas obligaciones considerando una tasa del 15% a los 330 das plazo.
15.000 20.000 30.000 35.000 X
0 60 130 250 300 310
= + + +
t1 = 270 das X = 15.000 (1 + 0,15 (270
360)) + 20.000 (1 + 0,15 (
200
360)) +
t2 = 200 das 30.000 (1 + 0,15 (80
360)) + 35.000 (1 + 0,15 (
30
360))
t3 = 80 das X = 104.796,67
t4 = 30 das
2 3 4
1 =0,15
-
En el problema anterior determine el valor de pago si lo hacemos el da de hoy.
X
15.000 20.000 30.000 35.000
0 60 130 250 300
F .F
= + + +
X =15.000
(1+0,15(60
360))
+20.000
(1+0,15(130
360))
+30.000
(1+0,15(250
360))
+35.000
(1+0,15(300
360))
X = 91.887,40
En el problema numero 1 hallar el valor de cada pago si la empresa realiza dos pagos
iguales a los 200 y 350 das plazo, tomado como fecha focal a los 200 das.
X
15.000 20.000 30.000 35.000 X
0 60 130 200 250 300 350
F .F
= + + +
X = 15.000 (1 + 0,15 (140
360)) + 20.000 (1 + 0,15 (
70
360)) +
30.000
(1+0,15(30
360))
+35.000
(1+0,15(100
360))
X
(1+0,15(150
360))
X = 99.446,09 0,9411X
X =99.446,09
1,9411
X = 51.231,82
Una persona debe $2.600 a 90 das plazo con una tasa del 1,5% mensual; $4.000 a 140 das
plazo con una tasa del 6 %trimestral; $7.000 a 220 das plazo con una tasa del 9%
semestral; $11.000 a 300 das plazo con una tasa del 17% esta persona desea remplazar
todas estas deudas por una solo pago a los 200 das plazo con una tasa de descuento del
11%. Hallar el valor de dicho pago.
M1 = 2.600 (1 + 0,015 (90
30)) =2.717
M2 = 4.000 (1 + 0,06 (140
90)) =54.373,33
2
3 4
1
=0,10
2 3 1
1 2
-
M3 = 7.000 (1 + 0,09 (220
180)) =7.770
M4 = 11.000 (1 + 0,17 (300
360)) =12.558,33
X
2.717 4.373,33 7.770 12.558,33
0 40 60 63 65 200
X = M1 + M2 + C1 + C2 F .F
X =2.717
(10,11(110
360))
+4.373,33
(10,11(60
360))
+ 7.770 (1 0,11 (20
360)) + 12.558,33 (1 0,11 (
100
360))
X =27.163,62
Una persona desea vender su terreno y recibe tres ofertas $2.000 al contado y 2.000 a 1
ao plazo; la segunda 1.500 al contado y 2 letras de 1250 a los 7 y 11 meses plazos; tercero
600 al contado con una letra de 400 a 2 meses plazos y 2 letras de 1500 cada una a los 5 y 9
meses plazo respectivamente. Determine cual oferta le conviene al vendedor si se recarga
una tasa del 2% mensual.
Primera oferta
X X = 2.000 +2.000
(1+0,02(12))
2.000 2.000 X = 3.612,90
0 12 meses
F.F
Segunda oferta
X X = 2.500 +1.250
(1+0,02(7))+
1.250
(1+0,02(11))
2.500 1.250 1.250 X = 3.621,08
0 7 11meses
F.F
Tercera oferta
X
600 400 1.500 1.500
0 2 meses 5 meses 9 meses
F.F X = 600 +400
(1+0,02(2))+
1.500
(1+0,02(5))+
1.500
(1+0,02(9))
2 1
1 2
-
X = 3.619,44
Desde el punto de vista del vendedor le conviene la segunda oferta
Desde el punto de vista del comprador le conviene la primera oferta
Hallar el monto de una serie de depsitos de $ 450 que se hacen durante 4 meses con una
tasa del 7%. M
450 450 450 450
1 2 3 4
X = 450 (1 + 0,07 (3
12)) + 450 (1 + 0,07 (
2
12)) + 450 (1 + 0,07 (
1
12)) + 450
X = 1.815,75
Si el problema anterior se utiliza una tasa anticipada y los meses por anticipado cual es el
monto.
450 450 450 450
0 1 2 3 4
X = 450 (1 + 0,07 (4
12)) + 450 (1 + 0,07 (
3
12)) + 450 (1 + 0,07 (
2
12))
+ (1 + 0,07 (1
12))
X = 1.826,25
Determinar el valor de la deuda original si Jessica deposita cada mes durante 5 meses con
una tasa del 11%
X 350 350 350 350 350
0 1 2 3 4 5
X =350
(1+0,11(5
12))
+350
(1+0,11(4
12))
+350
(1+0,11(3
12))
+350
(1+0,11(2
12))
+350
(1+0,11(1
12))
X = 1.703,43
-
CUENTAS DE AHORRO
La seorita Avils tiene una cuenta de ahorro en la cual realiza las siguientes
transacciones:
2l 10-01 depositas 1500 para abrir su cuenta
El 13-02 deposita 500 el 5-03 retira 800
El 10-04 retira 500 el 9-05 deposita 600.
Cuanto tendr en su cuenta si se aplica una tasa de inters de 8% al final del primer
semestre.
Depsitos (+) Retiro (-)
I1 = 1500(0,08) (17
360) I1 = 800(0,08) (
117
360)
I1 = 57 I1 = 20,80
I2 = 500(0,08) (137
360) I1 = 500(0,08) (
81
360)
I1 = 15,22 I1 = 9
I3 = 600(0,08) (52
360) IC = I1 + I2
I1 = 6,93 TC = 20,80 + 9
TA = I1 + I2 + I3 IL = TA TC = ,
TA = 57 + 15,22 + 6,93 IL = 79,15 29,80 CC =800+500
= , IL = 49,35 CC =1.300
CA = 1.500 + 500 + 600
CA = 2.600
CL = 2.600 1.300 M = 1.300 + 49,35
CL = 1.300 M = 1.349,35
-
FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO INTERES
+ -
10-Enero 1.500 1.500 57
13-Febrero 500 2.000 15,22
05-Marzo 800 1.200 28,8
10-Abril 500 700 9
09-Mayo 600 1.300 6,93
30-Junio 4,35 1.349,35 79,15 29,8
La seorita XX posee una cuenta de ahorro con $200 el 30-06 y realiza las siguientes
transacciones,
04-07 deposita $600,
El 09-08 retira $700,
El 20-09 retira $300,
El 20 -10 deposita $150,
El 20-01 retira $200.
Liquide esta cuenta al 31 -12 con una tasa del 9%.
FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO INTERES
+ -
30-Junio 2.000 2.000 92,00
04-Julio 600 2.600 27,00
09-Agosto 700 1.900 25,20
20-Septiembre 300 1.600 7,65
20-Octubre 150 1.750 270,00
20-Enero 200 1.550 0,55
31-Diciembre 88,30 1.638,30 121,70 33,40
Una persona tiene una cuenta de ahorros en lo que realiza las siguientes transacciones:
1.600 deposita el 3-01 para abrir su cuenta.
12-02 retira $600
4-03 deposita 200
15-04 retira 500
2-06 deposita 900
5-07 retira 300
9-09 retira 100
29-10 retira 400
La cuenta se liquida semestralmente para el primer semestre se reconoce con una tasa del
7% y la segunda semestre con una tasa del 5% cuanto tendr esta persona el 31-12.
FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO INTERES
+ -
03-Enero 1.600 1.600 55,37
12-Febrero 600 1.000 16,10
04-Marzo 200 1.200 4,59
-
15-Mayo 500 700 4,47
02-Junio 900 1.600 4,90
30-Junio 44,33 1.644,30 64,86 20,57
30-Junio 1.644,30 42,02
05-Julio 300 1.344,30 7,76
09-Septiembre 100 1.244,30 1,57
29-Octubre 900 2.144,30 7,88
23-Diciembre 400 1.744,30 0,44
40,43 1.784.73 49,90 9,47
INTERS COMPUESTO
El inters simple se utiliza a corto plazo y se calcula una sola vez
El inters compuesto se utiliza a largo plazo y se utiliza dependiendo los perodo s
Hallar el inters simple t el inters compuesto de un capital de $10000 colocados al
17% durante 5 perodos.
INTERS SIMPLE
= 10000(1 + 0.17(5))
= 18500
= 18500 1000
I = 8500
i =d
m
n = m. t
INTERS COMPUESTO
= 1000(1 + 0,17(1))
= 11.700
= 1170(1 + 0,17(1))
= 13.689
= 13689(1 + 0,17(1))
= 16.016,13
= 16.016,13(1 + 0,17(1))
= 18.738,87
= 18.738,87(1 + 0,17(1))
= 21,924.48
= 21,924.48(1 + 0,17(1))
= 11,924.48
VARIABLES
=
= ()
i= tasa de inters
j= tasa nominal
m= la convertibilidad en 1 ao
n= total de periodos
-
Determine el nmero de perodo s de convertibilidad (n) y la tasa de inters (i) durante 11
aos 13% convertible semestralmente.
i =0.13
2
i = 0,065
i = 6,50% Semestres
n = 2(11)
n = 22
Hallar (i), (n) durante 7 aos con una tasa del 11% capitalizable quimestralmente
i =0.14
2,4
i = 4,58%
n = 2,4(7)
n = 16,8 quimestres
Hallar (i), (n) durante 5 aos con una tasa del 6,5% capitalizable trimestralmente
i =0.065
4
i = 1,63%
n = 4(5)
n = 20 trimestres
Hallar i, n de un capital colocado a inters compuesto durante 12 aos y 7, meses con una
tasa del 20% convertible cuatrimestral.
i =0.20
6,67
i = 2,99%
n = 3(12)
n = 37 cuatrimestres
Hallar i,n colocado con una tasa de inters compuesta durante 4 aos 10 meses con una
tasa del 9% compuesto bimensual
i =0.09
6
i = 1.5%
n = 6(4)
n = 29 bimensuales
MONTO COMPUESTO
= ( + )
= ( +
).
Una empresa obtiene un prstamo de $ 3500 a 8 aos plazo con una tasa del 17%
capitalizable mensualmente hallar el inters compuesto
-
c = 3500
j = 0.17
m = 2
t = 8
M = 35000 + (1 +0.17
2)(2(8))
M = 129.105,24
I= M C
I= 94.105,24
Una empresa tiene un prstamo $25000 a 15 aos plazo con una tasa del 19% capitalizable
quimestralmente
M = 25000 + (1 +0.19
2.4)(36)
M = 38.8177,38
I= M C
I = 388177 25000
I= 363171,38
CONVERTIBILIDAD CONTNUA O INSTANTNEA
M = C (1 + i)t
Determine el monto de un capital de $ 25000 a inters compuesto durante 15 aos y 9
meses si la tasa de inters es
a) Tasa 7% efectivo
i= 0,07
n= 15,75
M = 2500(1,007)(15,75)
M = 72566,22
b) Tasa 7 % compuesta quimestralmente
i= 0,029
n= 37,8 quimestres
M = 2500(1,02916)(37,8)
M = 74095,79
-
c) 7% compuesto cuatrimestral
i= 0,0233
n= 47,25
M = 2500(1,02333)(47,25)
M = 74.333,08
d) 7% compuesto trimestral
i= 0,0175
n= 63
M = 2500(1,0175)(63)
M = 74.577,59
e) 7 % bimensual
i= 0,01167
n= 94,50
M = 2500(1,01167)(94,5)
M = 74.836,49
f) 7 % compuesto mensual
i= 0,00583
n= 45,3
M = 2500(1,0583)(189)
M = 75.004,36
g) 7% compuesto diariamente
i= 0,071
n= 5745
M = 2500(1,000194)(5745)
M = 76.195,14
h) 6% compuesto instantneamente
i= 0,007
n= 15,75
-
M = 2500(2,7182)(0,07.15,75)
M = 75.289,65
Determine el monto de un capital de$ 39000 a 9 aos 7 meses si la tasa es:
a) Tasa 9% efectivo
i= 0,09
n= 9,58
M = 39000(1,09)(9,58)
M = 89.045,19
b) Tasa 11 % semestral
i= 0,0055
n= 19,17
M = 3900(1,055)(19,17)
M = 108846.45
c) 13% compuesto quimestral
i= 0,05416
n= 23
M = 3900(1,033)(18,20)
M = 7.949.98
d) 12% compuesto cuatrimestral
i= 0,04
n= 28,75
M = 3900(1,033)(22,75)
M = 8,162.95
e) 19 % trimestral
i= 0,0475
n= 38,33
M = 3900(1,0475)(38,33)
M = 10,539.54
f) 11 % compuesto bimensual
-
i= 0,1833
n= 57,5
M = 3900(1,1833)(57,5)
M = 62.232,80
g) 13% compuesto mensual
i= 0,0183
n= 115
M = 3900(1,0183)(115)
M = 92.363,85
h) 18% convertible diariamente
i= 0,0005
n= 3495
M = 3900(1,0005)(3495)
M = 22.377.14
i) 9% instantneamente
i= 0,09
n= 9,58
M = 3900(2,7182)(0,099,58) M = 92,363.85
MONTO COMPUESTO CON PERODO FRACCIONARIO
Cuanto tiempo de plazo no coincide con el perodo de convertibilidad se utiliza este
mtodo
Determine n en 4 aos 11 meses si se convierte semestral.
n =4(12) + 11
6
=59
6
= 9 + 5
6
Determine 12 en 9 aos 3 meses si se convierte quimestral.
n =9(12) + 3
5
-
=111
5
= 22 + 1
5
Determine n en 20 aos 8 meses si se convierte cuatrimestral
n =20(12) + 8
4 n = 62
=248
5
Determine n en 7 aos 11 meses si se convierte trimestralmente
n =7(12) + 11
3
=95
3
= 31 + 2
3
Hallar n en 11 aos 9 meses convertible bimensualmente
n =11(12) + 9
2
=141
2
= 70 + 1
2
CLCULO DEL CAPITAL CON PERIODO FRACCIONARIO
Existen dos mtodos que son:
1. Mtodo matemtico exacto
2. Mtodo comercial o practico
EJERCICIOS EN CLASE
Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 aos es $5.400halle el valor actual
a los 3 aos 4 meses de la fecha de suscripcin considerando una tasa del 9% compuesto
semestralmente.
5.400
3 a. 4m. 7
t = 3 a. 8 m.
= 13 (12) + 8
6
= 44
6
-
= 7 1
3
= 0.045
FORMA MATEMTICA
= 5.400 (1,045)(44
6 )
= 3.910, 28
FORMA COMERCIAL
= 5.400 (1,045)(7) ( 1 + 0,045 (1
3)) (1)
= 3.909,43
De $8.200 a 9 aos plazo con una tasa del 13% compuesta cuatrimestralmente determine
el valor actual de ese documento 2 aos 7 meses de su suscripcin si se aplica una tasa del
15% compuesta trimestralmente.
8.200 i = 0.413
2 a. 7m. 9a
t = 6 a. 5 m.
= 8.200 (1,0433)27
= 25.755,05
= 6 (12) + 5
3
= 77
3
= 25 2
3
= 0.0375
FORMA MATEMTICA
= 25.755,05 (1,0375)(17
3 )
= 10.011,54
FORMA COMERCIAL
= 25.755,05 (1,0375)(25) ( 1 + 0,0375 (2
3)) (1)
= 10.010,04
-
El da de hoy se firma un pagare de $9.300 para 7 aos y 7 meses plazo con una tasa del
20% compuesta semestralmente determinar el valor actual de este documento 2 aos 9
meses (antes de su vencimiento) con una tasa del 10% convertible quimestralmente.
9.300 i = 0.10 sem 37.633,59
0 2 a. 9m. 7a 4m
t = 6 a. 5 m.
= 7 (12) + 4
6
= 44
3
= 9.300 (1,10)(44
3 )
= 37.633,59
= 2 (12) + 9
5
= 33
5
= 6 3
5
= 0.0416
FORMA MATEMTICA
= 37.633,59 (1,0416)(33
5 )
= 28.757,37
FORMA COMERCIAL
= 37.633,59 (1,0416)(6) ( 1 + 0,0416 (3
5)) (1)
= 28.751,66
Despus de dos aos de la fecha de suscripcin se negocia un documento de $5.000 con
vencimiento en 7 aos y una tasa de inters del 12% convertible semestralmente desde su
suscripcin.
a) Con una tasa del 10% compuesta trimestralmente.
b) Con una tasa del 12% compuesta semestralmente
c) Con una tasa del 3% efectiva
-
Determine si la negociacin fue con premio, con castigo, o a la par.
5.000 i = 0.06
0 2 a. 7a
t = 5 a i = 0,025
= 5.000 (1,06)(14)
= 11.304,52
= 13 (12) + 8
6
= 5 (4)
= 20
= 0.06
= 0.03
Opcin a
= 11.304,52 (1,025)(20)
= 6.898,82 Negocia con premio
Opcin b
= 11.304,52 (1,06)(10)
= 6.312,38 Negocia a la par
Opcin c
= 11.304,52 (1,03)(5)
= 6.751,38 Negocia con premio
ECUACIONES DE VALOR
= (1 + )()
= (1 + )(1)
Una empresa tiene las siguientes obligaciones
$800 a 12 meses plazo
$1.500 a 18 meses plazo
$3.000 a 2 aos plazo
$4000 a 30 meses plazo
La empresa desea reemplazar todas estas deudas el da de hoy con una tasa del 11%
convertible semestralmente.
800 1.300 3.000 4.000
FF 12M 18M 24M 30M
-
= 0,055
= 1 + 2 + 3 + 4
= (1 + )()
= 800 (1,055 )(4) + 1.500 (1,055 )(4) + 3000 (1,055 )(4) + 4000 (1,055 )(5)
= 7.478,37
En el ejercicio anterior determnese el valor de pago si se realiza a los 35 meses el pago con
una tasa de 15% convertible trimestralmente.
800 1.300 3.000 4.000
12M 18M 24M 30M 35 M
F F
= 0,0375
1 = 23
2 = 17
3 = 11
4 = 5
= + + +
= ( + )()
= 800 (1,0375 )(23
3) + 1.500 (1,0375 )(
17
3) + 3000 (1,0375 )(
11
3) + 4000 (1,0375 )(
5
3)
= 10.595,50
En el problema 1 determine el valor de cada pago si se realizan 2 pagos iguales a los 15 y
22 meses respectivamente considerando una tasa del 8% convertible cuatrimestralmente
si la fecha focal es de 15m.
800 1.300 3.000 4.000
12M 15 M 18M 22M 24M 30M
F F
= 0,0266
1 =3
4
2 =3
4
3 =7
4
4 =9
4
4 =15
4
= 1 + 2 + 3 + 4
-
= (1 + )()
= 800 (1,0266 )(3
4) + 1.500 (1,0375 )(
3
4) + 3000 (1,0375 )(
9
4) + 4000 (1,0375 )(
15
4)
= (1,0266)7
4
= 8739,57 0,9550
1,9550 = 8739,57
=8739,57
1,9550
= 4470,37
El da de hoy se firma un documento por $ 5.000 a 7 aos plazo con una tasa del 11%
compuesta semestralmente si se realizan pagos de $500, a los dos aos $ 700 a los 3 aos
$900 a los 5 aos con una tasa del 14% compuesta trimestralmente determine el valor de
pago para saldar dicha cuenta.
5000 500 700 900 10.580,46
0 2a 3 a 5 a 7 a
= 0,035
= (1 + )()
= 5.000 (1,055)(14)
= 10.580,46
10.580,46 = 1 + 2 + 3 +
10.580,46 = 500 (1,035 )(20) + 700 (1,035 )(16) + 900 (1,035 )(8) +
10.580,46 = 3393,81 +
10.580,46 3393,81 =
= 7.186,65
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