matemáticas para ciencias de la computación mcc3182 número cromático pregunta: ¿cuál es la...

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Número Cromático

• Pregunta: ¿Cuál es la cantidad mínima de colores que necesito para resolver el problema?

• ¿Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?

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Ciclos Simples Cn

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Grafo Completo Kn

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Wheel (Rueda) Wn

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• Un ciclo dispar necesita 3 colores.• Un grafo completo necesita exactamente n colores.• Wheel (rueda) pueden ser coloreados con 4 colores

Si el rim exterior esta incluido, entonces se pueden utilizar 3 colores

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• Un grafo es 2-coloreable ssi no existen ciclos impares.

• Un grafo completo Kn, requiere n colores.

• Si el máximo grado es dmax, entonces el grafo puede ser coloreado con (dmax+1) colores.

• Todo grafo planar puede ser coloreado con 4 colores.

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Coloreando con dmax colores• Hipótesis Inductiva

P(n)= es un grafo con n vértices y de grado máximo dmax , entonces el grafo puede ser coloreado con dmax+1 colores.

• Caso Base

• Paso Inductivo

-Dado un grafo con n+1 vértices, le sacamos 1 vértice.

-Recordamos que un grafo con n vértices es coloreable con dmax+1

-Agregamos nuevamente el vértice

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Isomorfismo de grafo, no geometría

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Isomorfismo de Grafos

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Isomorfismo de Grafos

• El isomorfismo es una relación de equivalencia entre los n vértices de un grafo.

• Se pueden testear algunas invariantes, pero es un problema complejo, ya que existen n! Mapeos.

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Topología, no geometría.

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Equivalencia de Grafos (Isomorfismo)

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Grafos Isomorficos

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Encontrando un Mapeo• No es fácil encontrar todos los posibles mapeos

(existen n! posibilidades).• Se puede testear las invariantes

-El mismo número de vértices y arcos.

-El mismo grado de distribución

-Preservación de ciclos, camino más largo, etc.

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Árboles

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Aplicaciones de Árboles

• Estructura de datos para ordenar y búsquedas.• Spanning Tree.• Árboles de Juego (árboles Alfa-Beta).• Códigos de Prefijos (codificación de Huffman)• Muchos algoritmos basados en árboles en el ramo

de estructura de datos y diseño de algoritmos.

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Definición: un árbol es un grafo simple conectado sin ciclos.

Ejercicio: Dibuje un árbol con 5 vértices

Pregunta: ¿Cuántos arcos debería de tener el árbol

3,4, o 5?.

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Otra DefiniciónDefinición 2: Un árbol es un grafo conectado con n vértices y n-1 arcos.

En efecto, un árbol es un pequeño grafo conectado con n vértices.

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Definiciones equivalentes de Árboles

• Es un grafo conectado sin ciclos• Es un grafo conectado donde |E|=|V|-1• Es un grafo donde removiendo algún arco, alguna

hoja queda desconectada.• Es un grafo donde existe un único y simple camino

entre dos vértices