matemática básica para economistas ma99

Matemática Básica para Economistas MA99

Tema: Función ExponencialFunción Logarítmica

UNIDAD 6

Clase 14.2

Fragmento del discurso del ex Presidente del Consejo de Ministros, Pedro Pablo Kuczynski, en la presentación del Presupuesto de la República del año 2006:

“El manejo adecuado de la economía ha permitido otras mejoras:Se ha generado un incremento importante en los niveles de crédito provenientes de las cajas municipales y las EDIPYMES, hacia el sector de las micro y pequeñas empresas, alrededor de 200% del crecimiento en el periodo 2001-2004.Además, los créditos de consumo y los créditos hipotecarios han aumentado respectivamente en 43 y 29% en el mismo periodo.Sobre este último tema hay que destacar que las colocaciones del Fondo MiVivienda han mostrado un crecimiento exponencial, alcanzando un nivel que se ve reflejado en el mayor dinamismo del sector construcción”

Comportamiento Exponencial:

DefiniciónDefinición

La función f definida por: 1y 0 , b bbxf x

Se llama función exponencial con base b.

GráficaGráfica 2xxf

x 2x

-2 ¼-1 ½0 11 22 43 8

x

f(x)

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

GráficaGráfica

21 x

xf

x (½)x

-3 8-2 4-1 20 11 ½2 ¼

x

f(x)

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

-3

En general:

xbxf

2121 Si xx bbxx 21

21 Si xx bbxx

Si b > 1

x

f(x)

x

f(x)

Si 0 < b < 1

,0fRan

RfDom

Función exponencial natural:Función exponencial natural:

Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828…

x ex

-2 0.14-1 0.370 11 2.722 7.393 20.01

x

f(x)

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números:a. 1000 ?b. 0,001 ?c. -1000 ?d. 50 ?

Pregunta de reflexión

Función Logarítmica: IntroducciónFunción Logarítmica: Introducción

y = log x significa 10y = x

Logaritmo común (en base 10)

Ejemplos:log 1=

log 0,01 = log 10 =

0, Porque 100=1-2, Porque 10-2=0,01½ , Porque 101/2 = 10

y = ln x significa ey = x

Logaritmo natural común (base e)Logaritmo natural común (base e)

Ejemplos:ln 1=

ln 10 =

ln ek =

0, Porque e0=12,3025… Porque e2,3025…=10k , Porque ek = k

y = loga x significa ay = x

Logaritmo en base “a”Logaritmo en base “a”

donde a: base y: exponente

Forma exponencial logarítmica

•32 = 9 •4-3 = 1/64•(1/5)-2 = 25•103 = 1000•e0 = 1

•log3 9 = 2

•log4 (1/64) = -3

•log1/5 25 = -2•log 1000 = 3•ln 1 = 0

La función logaritmo de base a, donde a > 0 y a 1, se define como:

Función logaritmo

f(x) = logax

Observación:1. Si x1 x2 , entonces loga x1 loga x2

2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2

1/2 1/2 1 2 41 2 4

22

111/21/2

00

-1-1

-2-2

y = 2x

y = log 2x

x y1/4 -21/2 -11 02 14 2

...

.

Gráficas de y = 2x, y = log2 x

Gráficas de y = ex, y = lnx

x

y

x

y

.1/2 1/2 1 2 41 2 4

22

111/21/2

00

-1-1

-2-2

y = (1/2)x

y = log1/2x

x y1/4 21/2 11 02 -14 -2

..

.

Gráfica de y = log1/2 x

1 b1 b

bb

11

y = bx

y = log bx

De la gráfica:loga1 = 0logaa = 1loga0 no definido

logax < 0 si x<1logax > 0 si x>1Es creciente

Gráfica de y = logax para a >1

Función ExponencialFunción Exponencial

1. Graficar: y = e-x

2. Graficar: y = ex+2

3. Graficar: y = ex + 3

4. La población proyectada P de una ciudad está dada por: teP 05.0000,100

Donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.

Función LogarítmicaFunción Logarítmica

Graficar las siguientes funciones, indicando su dominio y rango:

1. y = ln(x-3)2. y = ln(-x)3. y = ln(x+1) – 24. y = -ln(x+3) + 1