matemÁtica bÁsica cero sesión n°6 expresiones algebraicas y polinomios departamento de ciencias

MATEMÁTICA BÁSICA CEROMATEMÁTICA BÁSICA CERO

Sesión N°6

EXPRESIONES ALGEBRAICAS y POLINOMIOS

Departamento de Ciencias

En Arquitectura e ingeniera:Para determinar la transferencia de calor a través de una ventana, debida a la diferencia de temperatura entre la masa de atmósfera fuera y dentro de la casa, se usa la siguiente expresión algebraica:

Donde: T= diferencia de temperatura,A= área de la ventana y h = coeficiente de transferencia de calor

( )H T hA T

El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras y números de forma combinada, es decir expresiones algebraicas.

El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras y números de forma combinada, es decir expresiones algebraicas.

EXPRESIÓN QUE REPRESENTA A LA FUERZA DE

ATRACCION GRAVITACIONAL

EXPRESIÓN QUE REPRESENTA A LA FUERZA DE

ATRACCION GRAVITACIONAL

2. ¿ Qué es un término algebraico o expresión algebraica? 2. ¿ Qué es un término algebraico o expresión algebraica?

1. ¿Qué es una constante? ¿Qué es una variable? 1. ¿Qué es una constante? ¿Qué es una variable?

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

4. ¿Para qué me sirven las expresiones algebraicas y los polinomios?

4. ¿Para qué me sirven las expresiones algebraicas y los polinomios?

3. ¿ Qué es un polinomio ?3. ¿ Qué es un polinomio ?

Juan, un ingeniero civil, necesita saber el presupuesto para sedimentar un terreno de forma cuadrangular, como muestra la figura. Si se sabe que el metro cuadrado para sedimentar dicho terreno tiene un costo de 40 soles. ¿Cuánto sería el presupuesto para sedimentar todo el terreno?

Juan, un ingeniero civil, necesita saber el presupuesto para sedimentar un terreno de forma cuadrangular, como muestra la figura. Si se sabe que el metro cuadrado para sedimentar dicho terreno tiene un costo de 40 soles. ¿Cuánto sería el presupuesto para sedimentar todo el terreno?

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LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante identifica y resuelve situaciones de contexto real que comprenden en uso de expresiones algebraicas y operaciones con polinomios en forma individual y/o grupal.

CONTENIDOS

1. TÉRMINO ALGEBRAICO2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA3. CLASIFICACION DE LAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS4. POLINOMIO5. PROBLEMAS6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

7

Es una expresión algebraica que sólo contiene productos, cocientes, potencias de variables y constantes numéricas.

coeficiente

variables:exponentes

parte literal

x ; y2/137);( yxyxE

1. TÉRMINO ALGEBRAICO

Ejemplo

Diga si las siguientes EA son semejantes o no.

Son semejantes

No son semejantes

Son semejantes

No son semejantes

yxyxE 28);( yxyxF 27);(

2);( abbaA babaB 25,2);(

yxyxP 37);( 3);( yxyxQ

18);( xzzxM 15);( xyzxN

Dos o más términos son semejantes, si tienen la misma parte literal y con los mismos exponentes.

1.2. TÉRMINOS SEMEJANTES

2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA

10

Una expresión algebraica es un conjunto finito de números (coeficientes) y letras (variables) con exponentes racionales unidos entre sí por operaciones aritméticas.

Una expresión algebraica es un conjunto finito de números (coeficientes) y letras (variables) con exponentes racionales unidos entre sí por operaciones aritméticas.

Ejemplo Identifique cuáles son expresiones algebraicas.

122 3( ; ) 3 4E x y x y x

( ; ) 2xF x y yx

Sí es una E.A.

No es una E.A, porque la variable “x” aparece como exponente.

2 3( ; )G x y x xy No es una E.A, porque la variable “y” tiene como exponente un número irracional

1

3E(x;y) x 2x y

4 5E(x;y) 3 x y y 3 2( ; ) 4 4 E x y y x

12

Una expresión algebraica es racional entera cuando la variable está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia es un número natural.

Una expresión algebraica es racional entera cuando la variable está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia es un número natural.

Ejemplo: Ejemplo:

542 3 yyxx

13

Una expresión algebraica racional es fraccionaria cuando la variable aparece en algún denominador es decir es un entero negativo).

Una expresión algebraica racional es fraccionaria cuando la variable aparece en algún denominador es decir es un entero negativo).

Ejemplo: Ejemplo:

31 2 yxx

14

Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación.

Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación.

Ejemplo: Ejemplo:

yxx 2

3. CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

15

Expresión algebraica de un solo término. Ejemplo:

Expresión algebraica de un solo término. Ejemplo: 2

3

1x

16

Expresión algebraica con dos términos. Ejemplo:

Expresión algebraica con dos términos. Ejemplo: 3

21 x

17

Expresión algebraica con tres términos. Ejemplo:

Expresión algebraica con tres términos. Ejemplo: 3532 xx

18

Expresión algebraica de cuatro o más términos, además los exponentes de la variables son números naturales .Ejemplo:

Expresión algebraica de cuatro o más términos, además los exponentes de la variables son números naturales .Ejemplo: 543 74

3

23 xxxx

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4. POLINOMIO

Un polinomio es una expresión algebraica, cuyos exponentes de las variables son números naturales

yxyxyxyxP 27354 823),(

87823),( 527354 xyyxyxyxyxP

87823)( 234 xxxxxP

20

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números. Ejemplo:

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números. Ejemplo:

22P(1)

7(1)4(1)8(1)3(1)P(1)

:Entonces

1 xque Asumir

:Resolución

P(1) Halle

7x4x8x3xP(x):Si

543

543

4. POLINOMIO

21

El grado relativo de un polinomio con respecto a una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable.Ejemplo:

El grado relativo de un polinomio con respecto a una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable.Ejemplo:

7GR(y)

8GR(x)

:Entonces

y7,5xy0,5xy)P(x, 6873

22

El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables.

El grado absoluto de un polinomio es el mayor grado absoluto de sus términos.

Ejemplo:

El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables.

El grado absoluto de un polinomio es el mayor grado absoluto de sus términos.

Ejemplo:

14GA

y7,5xy0,5xy)P(x, 6873

Ejemplo

Determine el grado de los siguientes polinomios:

5

2

1

4

3

…

…

…

2

5

2

1

4

4

–3

4

5

–3

–3

24

Un polinomio es ordenado respecto de una variable, cuando los exponentes de dicha variable están en orden creciente o decreciente.

Un polinomio es ordenado respecto de una variable, cuando los exponentes de dicha variable están en orden creciente o decreciente.

Ejemplo: Ejemplo:

yxyxyxyxP 27354 823),(

25

Un polinomio es completo con respecto a una variable, cuando sus términos tienen todos los exponentes, desde el mayor hasta cero

Un polinomio es completo con respecto a una variable, cuando sus términos tienen todos los exponentes, desde el mayor hasta cero

Ejemplo: Ejemplo:

87823),( 527354 xyyxyxyxyxP

26

Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos tienen igual grado absoluto.

Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos tienen igual grado absoluto.

Ejemplo: Ejemplo: 98637254 87823),( yxyyxyxyxyxP

27

Dos polinomios son idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Se denota:

Dos polinomios son idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Se denota:

)()( xQxP

28

Son aquellos polinomios cuyos coeficientes son todos iguales a cero.

Son aquellos polinomios cuyos coeficientes son todos iguales a cero.

OPERACIONES CON POLINOMIOSOPERACIONES CON POLINOMIOS

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

SustracciónPropiedad distributiva del signo y reducción a términos semejantes

AdiciónReducción a términos semejantes

MultiplicaciónPropiedad distributiva Leyes de exponentesLeyes de los Signos.

División Algoritmo de la división Leyes de exponentesLeyes de los Signos.

Adición y sustracción de polinomios

Sean y2( ) 6 5 3P x x x xxxQ 629)( 2

Determine ( ) 2 ( )P x Q x

Solución:2 2( ) 2 ( ) (6 5 3) 2(9 2 6 )P x Q x x x x x

2 26 5 3 18 4 12x x x x 2(6 4) (5 12) 3 18x x

210 17 21x x

Ejemplo

4. OPERCIONES CON POLINOMIO

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

Para multiplicar un monomio por otro, multiplicamos los factores numéricos y a continuación multiplicamos los factores variables.

Ejemplos: 1) Multiplique: 2 3 5 5 2(3x y z )(9x y ) 7 5 527x y z

12 10 15 15 12 51(15x y z )( x y z )

5

27 22 203x y z2) Multiplique:

3 2 2 36 5x y x y xy

3) Efectúe: 2 2(2 )(3 )x y x y xy

2 22x y 3xy2 23x y

MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS

2 2(2 )(3 )x y x y xy 36x y3 2 2 36 5x y x y xy

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Nota: Propiedad distributiva

d. Efectúe:

Solución:

Ejemplo

2 2(2 )(3 )x y x y xy

2 22x y 3xy2 23x y

DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

Para dividir dos polinomios se puede utilizar los siguientes métodos:

16x4 + 0x3 – 12x2 + 8x + 14 2x2 + 3x – 1

8x2

– 24x3 – 4x2

(16x4) (2x2) = 8x2(–24x3) (2x2) = – 12x

–12x

+ 24x3 + 36x2 –12x

32x2 – 4x(32x2) (2x2) = 16

+16

– 32x2 – 48x +16–52x + 30

+ 8x

Polinomio Resto

Polinomio Cociente

+ 14

– 16x4 – 24x3 + 8x2

DIVISIÓN CLÁSICA:

MÉTODO DE RUFFINI:MÉTODO DE RUFFINI:

Se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax+ b

Pasos a seguir:

Ordenar el polinomio en forma creciente completando con ceros términos que falta.

Se escribe los coeficientes del dividendo en forma horizontal.Se iguala a cero el divisor y despejar la variable x. Es decir x=-b/a.

El numero obtenido en el paso anterior ubicar a la izquierda.

Utilizado cuando el divisor es de la forma x + a.

2 0 2 – 3

– 2

2

Divida (2x3 + 2x – 3) entre (x + 2)

– 4

– 4

8

10

– 20

– 23

Cociente

q(x) = 2x2 – 4x +10

Resto

r(x) = – 23

0

2

2x

x

Ejemplo 5:

http://www.youtube.com/watch?v=nfoAh84mdqsMétodo de Horner

MÉTODO DE RUFFINI:MÉTODO DE RUFFINI:

Juan, un ingeniero civil, necesita saber el presupuesto para sedimentar un terreno de forma cuadrangular, como muestra la figura. Si se sabe que el metro cuadrado para sedimentar dicho terreno tiene un costo de 40 soles. ¿Cuánto sería el presupuesto para sedimentar todo el terreno?

Juan, un ingeniero civil, necesita saber el presupuesto para sedimentar un terreno de forma cuadrangular, como muestra la figura. Si se sabe que el metro cuadrado para sedimentar dicho terreno tiene un costo de 40 soles. ¿Cuánto sería el presupuesto para sedimentar todo el terreno?

2. PROBLEMA 1

2. SOLUCIÓN

PROBLEMA 2

En el país de las Matemáticas existen 3 tipos de monedas: las del tipo “A” que valen “2x – y” cada una, las del tipo “B” que valen “3z – x” cada una y las del tipo “C” valen “5y – z” cada una. Si Juan tiene 3 monedas tipo A, 4 monedas tipo B y 5 monedas tipo C, ¿cuánto dinero tiene?

De los datos:

2x - y2x - y 3z - x3z - x 5y - z5y - z

Tipo ATipo A Tipo BTipo B Tipo CTipo C Juan posee:3 del tipo A 4 del tipo B 5 del tipo C

De los datos:

2x - y2x - y 3z - x3z - x 5y - z5y - z

Tipo ATipo A Tipo BTipo B Tipo CTipo C Juan posee:3 del tipo A 4 del tipo B 5 del tipo C

Entonces:Dinero = 3(2x-y) + 4(3z-x) + 5(5y-z)Dinero = 3(2x-y) + 4(3z-x) + 5(5y-z)Dinero = 6x - 3y + 12z - 4x + 25y - 5z

Dinero = 2x + 22y + 7z

Juan posee en total: 2x + 22y + 7z

Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será: c(p) = 0,4p + 1 partes por millón cuando la población sea “p” miles. Se estima que en “t” años la población de la comunidad será: p(t) = 8+0,2t2 miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.

PROBLEMA 3

SOLUCIÓN: c(p) = 0,4p + 1 y p(t) = 8+0,2t2

c(p) = 0,4(8+0,2t2) + 1 c(p) = 3,2 + 0,08t2 + 1

Finalmente tenemos: c(t) = 0,08t2 + 4,2

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AURELIO BALDOR. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. PATRIA. PAG. 40 – 78.

SALVADOR TIMOTEO. ALGEBRA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 45 – 72.

SULLIVAN.ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. 7°EDICIÓN. ED. PATRIA. PAG. 40 – 78.

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