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DERIVADAS Y GRAFICAS
MATE 3013
Extremos relativos
La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un
intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) ≥ f(x) para toda
x entre r y s.
Si además, f(c) ≥ f(x) para toda x en en el domino de f,
entonces c es un máximo absoluto. El máximo absoluto
puede ocurrir en el interior del dominio o, si el dominio es
un intervalo cerrado, en las fronteras del intervalo.
Extremos relativos
f tiene un mínimo relativo en el valor c si hay un intervalo
(r, s) que contiene c, en el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre
r y s. El mínimo relativo ocurren en el interior del
dominio.
Un extremo relativo,
significa un máximo relativo
o un mínimo relativo. Los
extremos relativos ocurren
en el interior del dominio.
Si además, f(c) ≤ f(x) para toda x en en el domino de f,
entonces c es un mínimo absoluto. El mínimo
absoluto puede ocurrir en el interior del dominio o, si
el dominio es un intervalo cerrado, en las fronteras del
intervalo.
Ejemplo:
Para f(x)=3x4 - 4x3 con dominio (-1, ∞) y cuya
grafica se muestra, determine:
ninguno
ninguno
minimo relativo y absoluto
ninguno
El ejemplo no contiene
un máximo absoluto
Identificar puntos extremos relativos
Si f es continua en su dominio y diferenciable en cada
punto de su dominio, entonces sus extremos relativos
ocurren en los puntos críticos:
a) valores de x en el dominio con f'(x) = 0.
Para determinar puntos críticos, haga que f'(x) = 0 y
despeje para x.
b) valores de x en el dominio donde f'(x) no está
definida, pero f(x) sí está definida.
Los extremos absolutos pueden ocurrir en los puntos
críticos o , si el dominio es un intervalo cerrado, en las
fronteras del intervalo.
Ejemplo: Para con dominio (-1,∞), identifique los puntos
críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos, máximos
absolutos, mínimos absolutos, o ninguno.
Solución: Determinar la derivada, y resolver
f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.)
𝑑
𝑑𝑥2𝑥2 − 𝑥4 = 4x − 4𝑥3
4x − 4𝑥3 = 0
4x(1 − 𝑥2) = 0
4x = 0 1 − 𝑥2 = 0
x = 0 (1 + 𝑥)(1 − 𝑥) = 0
𝑥 = 1 𝑥 = −1
-1
1
0
Ejemplo: Para 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟓 con dominio (-1,∞), identifique los
puntos críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos,
máximos absolutos, mínimos absolutos, o ninguno.
Solución: Determinar la derivada, y resolver
f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.)
𝑑
𝑑𝑥𝑥4 − 4𝑥3 + 5 = 4𝑥3 − 12𝑥2
4𝑥3 − 12𝑥2 = 0
4𝑥2(x − 3) = 0
4𝑥2 = 0 𝑥 − 3 = 0
x = 0 𝑥 = 3
0
3
Funciones crecientes y decrecientes
Se dice que y = f(x) es una función creciente sobre un intervalo de x si f(x)
crece al incrementarse x. (La gráfica sube, se izquierda a derecha.)
Se dice que y = f(x) es una función decreciente sobre un intervalo de x si
f(x) decrece al incrementarse x. (La gráfica baja, se izquierda a derecha.)
Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces 𝑓′(𝑥) > 0.
Si 𝑓′(𝑥) > 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función
creciente sobre tal intervalo.
Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces 𝑓′(𝑥) < 0.
Si 𝑓′ 𝑥 < 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función
decreciente sobre tal intervalo.
Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o
decrece:
Funciones crecientes y decrecientes
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 3
Solución:
1) determinar la derivada de x
𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 1
2) determinar para cuales valores f ‘(x) es negativo o positivo
3 𝑥2 − 1 > 0
(𝑥2 − 1) > 0
(x − 1)(x + 1) > 0
Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o
decrece: (continuación)
Funciones crecientes y decrecientes
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥
Ejemplo 1: Dado la función de costo
y la relación de demanda determine los
intervalos en los cuales la función de ingreso es
creciente.
Aplicaciones C 𝑥 = 500 + 20𝑥
𝑅 𝑥 = 𝑥𝑝 = 𝑥 100 − 𝑥 = 100 𝑥 − 𝑥2
𝑝 = 100 − 𝑥
𝑅′ 𝑥 = 100 − 2𝑥
100 − 2𝑥 > 0
−2𝑥 > −100
𝑥 < 50
La función de ingreso es creciente cuando 𝑥 < 50.
Los extremos locales de una función ocurren
solamente en los puntos críticos (puntos donde la
derivada es cero o no existe.
Pero no todos los puntos críticos corresponden a
mínimos o máximos locales.
Extremos locales y la derivada
Condiciones para que existan extremos locales
Usar la primera derivada para demostrar que 𝑓 𝑥
tiene un mínimo o un máximo relativo en c.
1) 𝑓′(𝑥) cambia de signo alrededor de c. • Si 𝑓′(𝑥) cambia de negativo a positivo entonces c
corresponde a un mínimo local
• Si 𝑓′(𝑥) cambia de positivo a negativo entonces c corresponde a un máximo local
• Si 𝑓′(𝑥) NO cambia cambia de signo, c no corresponde a un extremo local
Ejemplo
Use la primera derivada para determinar si x = 1 es un
mínimo local de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2
punto crítico
3) Determinar si hay
cambio de signo en
𝑓′(𝑥) alrededor de x=1.
𝑓′ 0.5 = 4(0.5)3−4(0.5) = -1.5
𝑓′ 2 = 4(2)3−4(2) = 24 Como 𝑓′ 𝑥 , cambia de negativo
a positivo alrededor de x=1, es
un mínimo local
Solución:
1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥
2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0
4𝑥3 − 4𝑥 = 0
4𝑥 𝑥2 − 1 = 0
4𝑥 = 0 𝑥2 − 1 = 0
x = 0 x = 1, x = -1
Considerar la función
Su primera derivada, f , es
Como f es una función, también la podemos derivar.
La derivada de f representa la razón de cambio de las
pendientes de las rectas tangentes de f .
También podemos pensar que la derivada de f indica la
razón a la cual cambia f (x)
y f (x) x5 3x4 x.
y f (x) 5x4 12x3 1.
La Segunda Derivada
Usamos la notación f para la derivada de f .
O sea,
Llamamos f , la segunda derivada f.
Para
la segunda derivada es
f (x) d
dxf (x)
y f (x) x5 3x4 x,
y f (x) 20x3 36x2 .
La segunda derivada
Podríamos continuar de esta manera,
• la tercera derivada
• la cuarta derivada
• la quinta derivada
Cuando la notación prima se vuelve muy larga,
abreviamos 𝑓′′′(𝑥), usando un valor en paréntesis
como sigue
fn( ) x( )
Derivadas de orden mayor
Determinar la derivada indicada para
y f (x) x5 3x4 x,
Derivadas de orden mayor
Notación de Leibniz para la segunda derivada de la
función y = f(x) es
que se lee “la segunda derivada d y con respecto a x.”
Nota: no se deben confundir los 2 que aparecen en la
notación con exponentes.
Notación de Leibniz
Para 𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥 + 50𝑥4 −1
𝑥 determine
Notación de Leibniz – Ejercicio
2𝑒𝑥 + 200𝑥3 + 𝑥−2
2𝑒𝑥 + 600𝑥2 − 2𝑥−3
2𝑒𝑥 + 1200𝑥 + 6𝑥−4
2𝑒𝑥 + 1200 − 24𝑥−5
2𝑒𝑥 + 120𝑥−6
Ejemplo: Se muestra la gráfica de
𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)23 −3(1 − 𝑥) con dominio (0, ∞).
Determine los valores de x donde hay puntos
críticos
Solución:
a)Determinar la derivada, y resolver f '(x) =
0 para x. 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)
23 −3(1 − 𝑥)
𝑓′ 𝑥 = 2
3𝑥 − 1 −1
3 − 3(−1)
2
3 𝑥 − 13 + 3 = 0
𝑓′(𝑥) =2
3 𝑥 − 13 + 3
2
3 𝑥 − 13 = −3
2 = −9 𝑥 − 13
−2
9= 𝑥 − 1
3
−8
729= 𝑥 − 1
−8
729+ 1 = 𝑥
𝑥 =721
729≈ 0.989
b)Determinar donde f '(x)
no existe, pero f(x) sí
está definida.
Note que para 𝑓′(𝑥) =
2
3 𝑥 − 13 + 3
f '(1) no existe pero
f(1)=0 (sí está definido).
Por lo tanto, x=1 es un
punto crítico también.
punto crítico
Ejemplo
Use la primera derivada para determinar si
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒2𝑥 tiene un valor extremo en [-1,0].
Si existe, determine el valor y
clasifícalo.
punto crítico
Solución:
1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 ′𝑒2𝑥 + 𝑥(𝑒2𝑥)′(2𝑥)′
𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥
2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥 = 0
𝑒2𝑥(1 + 2𝑥) = 0
𝑒2𝑥 = 0 1 + 2𝑥 = 0
x = NO existe 2x = -1
x = −1
2
3) Determinar si hay cambio de
signo en 𝑓′(𝑥) alrededor de
x = −1
2 .
𝑓′ −1 = 𝑒2(−1) + 2 −1 𝑒2 −1 = 𝑒−2 − 2𝑒−2 ≈ −0.135
𝑓′ 0 = 𝑒2(0) + 2 0 𝑒2 0
= 1
Como 𝑓′ 𝑥 , cambia de negativo a
positivo alrededor de x= −1
2, es un
mínimo, mínimo absoluto.
Condiciones para que existan extremos locales
Usar la segunda derivada para demostrar que 𝑓 𝑥
tiene un máximo o mínimo local
2) Si c es un punto crítico de 𝒇 𝒙 y 𝒇′′ 𝒄 > 0 ,
entonces 𝑓 𝑥 tiene un mínimo en c.
Si c es un punto crítico de 𝒇 𝒙 y 𝒇′′ 𝒄 < 𝟎 ,
entonces 𝑓 𝑥 tiene un máximo en c.
Nota: 𝒇′′ 𝒙 es la segunda derivada de 𝑓 𝑥 con
respecto a x; o sea la derivada de la derivada.
Ejemplo
Use la segunda derivada para determinar si x = -1 es un
mínimo local de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2
punto crítico
3) Determinar 𝑓′′(𝑥) 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2 − 4
𝑓′′ −1 = 12(−1)2−4
= 8 Como 𝑓′′ 𝑥 , es positiva, f(𝑥) tiene un mínimo.
Solución:
1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥
2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0
4𝑥3 − 4𝑥 = 0
4𝑥 𝑥2 − 1 = 0
4𝑥 = 0 𝑥2 − 1 = 0
x = 0 x = 1, x = -1
Concavidad
𝒇′′ 𝒄 > 0
𝒇′′ 𝒄 < 𝟎
Concavidad
Punto de inflexión: punto donde la gráfica cambia de
concavidad.
Condiciones para que exista un punto de inflexión.
c es un punto de inflexión si se cumple que:
1. 𝑓′′ 𝑥 = 0
2. 𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de c.
Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función
que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es
cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo.
1.
Solución:
𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de 0.
Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se
indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia
arriba y dónde lo es hacia abajo.
1.
Solución:
𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de -2.
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