mat021-guia funciones desarrollo
Post on 18-Jul-2015
271 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 1/20
Funciones/Mat-021 Página 1Eleazar Madariaga - UTFSM
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática
Matemática I (Mat-021)
Problemas Resueltos de Funciones
eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl _____________________________________________________________________________
Dificultad:
: Simple
: Intermedio
: Desafiante
: Nivel Certamen UTFSM
__________________________________
Problema nº 1:
Sea
la función definida por
. Determinar si
es
biyectiva, si no lo es, redefinirla para que lo sea.
Solución:
Para que la función sea biyectiva, debe ser inyectiva y epiyectiva.
Veamos si es inyectiva (o uno a uno)
Sea
Luego es uno a uno.
Veamos si es epiyectiva (o sobre)
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 2/20
Funciones/Mat-021 Página 2Eleazar Madariaga - UTFSM
Luego no es imagen de ningún entero ya que seria imagen de
no es biyectiva, por que no es sobre.
Para que sea biyectiva debe definirse sobre su rango y con eso
aseguramos que es sobre.
Rang
definida por es epiyectiva y
como era uno a uno, ahora podemos decir que es biyectiva.
Problema nº 2:
Sea ,
a) Determine el dominio de .
b) Determine el recorrido de .
c) ¿Es biyectiva? En caso negativo haga las restricciones necesarias paraque lo sea y defina .
Solución:
a) Dom ( )
b) Rec ( )
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 3/20
Funciones/Mat-021 Página 3Eleazar Madariaga - UTFSM
c) Sean en el Dom ( ) tales que , entonces
.
Aplicando (que es una función inyectiva), sigue que . Así, es
inyectiva.
Como Rec ( ) Cod ( ), sigue que no es epiyectiva.
Para obtener una función biyectiva a partir de la función , debemos
redefinir el dominio y el codominio de . Así, si ponemos , definida por
, resulta que es una
función biyectiva. Su inversa queda definida por:
,
Problema nº 3:
Determine el recorrido de la función , definida por
Solución:
Como
Sabemos que se cumple (propiedad del valor absoluto)
Entonces, obtenemos la siguiente inecuación
Que tiene como puntos críticos: y
Lo que necesitamos ahora es encontrar los intervalos que cumplan con la
inecuación y para ello construimos una tabla
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 4/20
Funciones/Mat-021 Página 4Eleazar Madariaga - UTFSM
- + + - - +
+ - +
Observando la tabla nos damos cuenta que la solución para este caso es Por lo tanto el recorrido es
Problema nº 4:
Hallar el dominio de cada una de las funciones siguientes:
a) b)
c)
Solución:
Observación: Es recomendable que el estudiante antes de resolver esta
clase de problemas analice detalladamente cada una de las funciones
involucradas (por separado) tanto su dominio como su recorrido.
a) Se debe tener que
Luego b) La función esta definida para
De donde
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 5/20
Funciones/Mat-021 Página 5Eleazar Madariaga - UTFSM
Luego c) Debe satisfacerse simultáneamente que
-
-
-
Lo que al intentar intersectar las soluciones, nos da como resultado el
conjunto vacio.
Problema nº 5:
Sea
a) Determine el dominio de
y demuestre que
es inyectiva.
b) Determine el recorrido de .
c) ¿Es invertible?, si es así, encuentre su inversa.
Solución:
a) La respuesta de cualquier novato en la materia seria que, como en la
primera rama
indetermina la función y en la segunda no hay
problema, entonces, su dominio es , pero como en estaobra se pretende que no cometa dichos errores, se recomienda que no solo
se fije en el valor que toma la función en cada rama si no que también
considere el dominio de la rama, es decir, lo dicho en un principio no es del
todo falso, lo que sucede es que , por lo tanto no se considera
esa indeterminación y así no hay problema para ningún . Para el caso de la inyectividad, primero se demostrara que cada rama esinyectiva y luego que toda la función lo es.
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 6/20
Funciones/Mat-021 Página 6Eleazar Madariaga - UTFSM
i) Sea
ii) Sea
Como y lo anterior nos queda iii) Sea
y
y
De modo que
Con los puntos i), ii) y ii) hemos demostrado la inyectividad de la función
completa.
b) El punto iii de a) nos dice que el recorrido de la función en la primera
rama es
y en la segunda rama
, es decir se demostró:
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 7/20
Funciones/Mat-021 Página 7Eleazar Madariaga - UTFSM
pero hay que hacer el proceso contrario para
finalizar la demostración, es decir: Primera rama:
Sea
Es decir, basta con tomar
Y vemos que
Segunda rama:
Sea
Es decir, basta con tomar
Y vemos que
Con lo anterior concluimos:
c) Si, ya que es inyectiva.
La función inversa esta dada por
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 8/20
Funciones/Mat-021 Página 8Eleazar Madariaga - UTFSM
Problema nº 6:
Sea
Demuestre si es inyectiva y si es así, encuentre su inversa.
Solución:
Notemos que en la primera rama, como
, entonces
Por lo que podemos redefinir la función como
Ahora, demostremos si hay o no inyectividad:
i) Sean
Esto ultimo se justifica, ya que, entonces los dos son del
mismo signo (imposible que se cumpla
)
ii) Sean
iii) Ahora tenemos que demostrar que si
Lo que a la vez equivale a demostrar que
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 9/20
Funciones/Mat-021 Página 9Eleazar Madariaga - UTFSM
Sea (primera rama)
Sea (segunda rama)
Vemos entonces que:
Luego, se puede concluir que la función es inyectiva, de modo que tiene
inversa.
Ahora debemos encontrarla:
Como
:
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 10/20
Funciones/Mat-021 Página 10Eleazar Madariaga - UTFSM
Esta inecuación tiene un solo punto crítico:
Elaboramos una tabla + + - +
- +
Entonces, la inversa es:
Problema nº 7:
Considere la función , definida por
Determine su función inversa, asumiendo que es inyectiva.
Solución:
Para obtener la función inversa, usamos que:
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 11/20
Funciones/Mat-021 Página 11Eleazar Madariaga - UTFSM
Así
Problema nº 8:
Si se detuviera de repente la contaminación del Lago Rapel, se ha estimado
que el nivel de contaminantes decrecería de acuerdo con la formula En la que se mide en años e es el nivel de contaminantes cuando se
detuvo la contaminación. ¿Cuántos años tomaría eliminar el 50% de los
contaminantes?
Solución:
Buscamos un tal que
Como , obtenemos la siguiente ecuación para
Aplicando logaritmo natural (
) obtenemos
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 12/20
Funciones/Mat-021 Página 12Eleazar Madariaga - UTFSM
Problema nº 9:
Determine todos los valores de tal que la función es una función
par en
, donde
Solución:
Se pide que Entonces
Por lo tanto, la función es par
Problema nº 10:
Se sabe que la población mundial en el año esta dada por una ecuación dela forma (Donde y son constantes que habría que determinar)
Además, se sabe que cada años la población mundial crece en un .
¿Cuántos años toma para duplicarse?
Solución:
Primero determinemos la constante , la cual corresponde a
Ya que en 20 años la población crece un 24%, se tiene
Que es lo mismo que (considerando la constante )
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 13/20
Funciones/Mat-021 Página 13Eleazar Madariaga - UTFSM
O sea
Sea el número de años que le toma a la población duplicarse, entonces
De donde
Aplicando logaritmos naturales a ambos lados
Problema nº 11:
Sea tal que a) Determine y muestre que no es sobreyectiva (epiyectiva).
b) Resuelva
Solución:
a) Debemos notar que la función se puede reescribir como
Luego
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 14/20
Funciones/Mat-021 Página 14Eleazar Madariaga - UTFSM
y
Como
se deduce que
no es sobreyectiva.
b)
Lo anterior nos dice que
Que es igual a resolver
Problema nº 12:
Demuestre que si , entonces la función real
Es invertible ( es invertible si y solo si existe si y solo si es
inyectiva).
Solución:
Para que
sea inyectiva es necesario que si
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 15/20
Funciones/Mat-021 Página 15Eleazar Madariaga - UTFSM
Pero como , entonces necesariamente:
Problema nº 13:
Sea
y
Es inyectiva?
Solución:
i) Sean
tales que
. Debemos demostrar que si
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 16/20
Funciones/Mat-021 Página 16Eleazar Madariaga - UTFSM
Como
De vemos que , por lo tanto , ello implica que
ii) Sean tales que . Debemos demostrar que si
iii) Sean tales que . Debemos demostrar que si
Por una parte, tenemos que:
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 17/20
Funciones/Mat-021 Página 17Eleazar Madariaga - UTFSM
Y por otra parte
Claramente, la intersección de los recorridos de las ramas es vacio. Así,
demostramos que si
Finalmente, tomando (i), (ii) y (iii), podemos concluir que es inyectiva.
Problema nº 14:
Demuestre que la función
, definida para todo , es creciente en los intervalos , y es
decreciente en los intervalos y .Solución:
Hay que tomar
en cada uno de los intervalos y probar que en
y en se tiene , mientras que en y en se tiene . Para ello, calculamos
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 18/20
Funciones/Mat-021 Página 18Eleazar Madariaga - UTFSM
Y vemos que el signo de
es el mismo que el de
CASO I:
En este caso, y por lo tanto
, por lo que y por lo tanto . O sea, la función es
creciente en el intervalo .CASO II:
En este caso, y por lo tanto , por lo que y por lo tanto . O sea, la función es
decreciente en el intervalo .CASO III:
En este caso, y por lo tanto
, por lo que
y por lo tanto
. O sea, la función es
decreciente en el intervalo .CASO IV:
En este caso, y por lo tanto
, por lo que y por lo tanto . O sea, la función es
creciente en el intervalo .
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 19/20
Funciones/Mat-021 Página 19Eleazar Madariaga - UTFSM
Problema nº 15:
a) Sea y dos funciones, tales que es
creciente en
y g es creciente en
.
Demuestre que es creciente en .b) Sea
Demuestre usando (a) que es creciente en el intervalo .Solución:
a) Debemos demostrar que, dados , tales que , se
tiene , o sea, que .Sean , , , y sean , .Como es creciente en y , tenemos , o sea,
.
Como , , y es creciente en , tenemos , o sea, que es lo que se quería
demostrar.
b) Haciendo la analogía con la parte (a), basta probar que la función
es creciente en y que es creciente en todo
R.
Hay que tomar y probar que . Para
ello calculamos:
5/16/2018 Mat021-Guia Funciones Desarrollo - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat021-guia-funciones-desarrollo 20/20
Funciones/Mat-021 Página 20Eleazar Madariaga - UTFSM
Vemos que el signo de depende de , que en el
intervalo es negativo, ya que siempre , de modo que se
cumple que , por lo tanto la función es creciente en
.
Ahora, veamos el comportamiento de , cuando tomamos
Vemos que el signo de
depende de
, el
cual debemos manipularlo un poco, si
, es:
El primer facto es positivo y el segundo factor es un trinomio cuadrático en
que es siempre positivo ( y coeficiente principal ).
Por lo tanto,
, así
que indica que
creciente en todo R.
Finalmente, se cumplen las hipótesis de la parte (a), por lo que es
creciente en .
top related