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SEMANA 1MATEMATICA I
Cuadernillo de trabajo
Logica proposicional
1 Empleando las leyes de la logica proposicional, sim-plifique:
r ∧ [p→ (q ∨ r)]
A) r B) p C) qD) r → p E) p ∨ q
2 Sabiendo que p → (∼ r ∨ s) es falsa. Indique cualesson verdaderas:
I. t→ (p ∨ s)
II. p↔ r
III. ∼ s↔ t
IV. r → p
A) I y II D) I, II, III y IVB) II y III E) I, II y IVC) I, II y III
3 Si:
p⊗ q ≡ {p ∨ [(r → p) ∧ p]} ∧ {q ∧ (p↔∼ p)}
Simplificar
[(p⊗ q)⊗ (q ⊗ p)]⊗ [p⊗ (p⊗ q)]
A) p D) TautologıaB) q E) ContradiccionC) p ∨ q
4 Se define el operador logico (#)
p q p#qV V VV F VF V FF F V
Simplificar (p#q)#p
A) ∼ p B) ∼ q C) p ∨ qD) p ∧ q E) Tautologıa
5 Indique verdadero (V) o falso (F) segun corresponda;para que p y q sean proposiciones logicas
I. p→∼ q ≡∼ (p ∧ q)
II. p→ (p∨ ∼ q) es una tautologıa
III. ∼ p→ (p∧ ∼ q) ≡ p
A) VVV B) VFV C) FVVD) VFF E) FVF
6 Si la proposicionM = [(p∧ ∼ q)↔ (r → s)]→ [∼ s→ r]es falso, simplifique:E = [t ∨ (p ∧ q)]↔ [(r → s) ∧ p]
A) V B) F C) rD) t E) p
7 Definimos el operador # mediante la tabla, determineel valor de verdad de las siguientes afirmaciones
p q p#qV V VV F FF V FF F V
I. p#p es una tautologıa
II. ∼ p#p es una tautologıa
III. p#q ≡∼ (q#p)
A) VVV B) VVF C) VFFD) FFF E) VFV
8 Si # es un operador logico definido porp#q ≡ [∼ (p ∨ q)]→ (∼ q ∧ p),entonces al simplificar la formula logica[(∼ (∼ p#q)→ p)#((p#q)# ∼ p)]→ p se obtiene
A) q → p B) q ∨ p C) ∼ q ∨ pD) p E) p→ q
9 Simplifique la siguiente formula logica
[(p∆q)∆(q∆p)] ∆ [p∆(q∆p)]
A) p B) q C) ∼ qD) p∆q E) ∼ p
1
Cuadernillo de trabajo–Semana 1
10 Simbolizar correctamente la siguiente proposicion:“Alonso es abogado o diplomatico y si es diplomatico,viaja casi siempre al extranjero”.
A) (p ∨ q) ∧ (r ∨ s)
B) (p ∧ q) ∨ (r → s)
C) (p ∨ q)→ (q ∧ r)
D) (p ∧ q) ∧ (r ∧ s)
E) (p ∨ q) ∧ (q → s)
11 Si m y n son numeros reales positivos, ademas se de-fine:
f(x) =
3m
n+ 1; Si x es proposicion verdadera
3n
m− 1; Si x es proposicion falsa
Hallar:
M =
√m
n+
√n
m
Sabiendo que f(q) + f(r) = 21Siendo:
q : 4 < 3↔ 1 = 0
r : −1 < 0→ (−1)2 < 0
A)1/3 B) 3 C) −3D) 1/7 E) 1
12 Si
a♠b ≡ (a→ b) ∨ [b∨ ∼ (a→ b)]
a♥b ≡ {a ∨ [b→ (a ∨ b)]} →∼ a
Simplificar{[(p♠q)♥r]♠(∼ p♠q)}♥{q♠(p∧ ∼ q)}
A) ∼ p B) V C) FD) p E) q
13 Si p es una proposicion logica, ademas definimos larelacion f por:
f(p) =
{1; si p es verdadera0; si p es falsa
Entonces, indica el valor de verdad de las siguientesproposiciones.
I) f((−1)0 = 1) = f(−10 = 1)
II) f(q) = f(∼ q)
III) f(3 6= 3) = f(5 > 1)
A)VFF B)FFV C)VVVD)FFF E)VFV
14 Si tenemos las siguientes proposiciones M y N :
M : Si Einstein dice la verdad, entonces la teorıa dela relatividad es exacta.
N : No es el caso que la teorıa de la relatividad nosea exacta y Einstein diga la verdad.
Luego se afirma.
I) M y N son equivalentes
II) M implica N
III) N implica M
A)Solo I B)Solo II C)Solo IIID)I y II E)I, II y III
15 Sean las proposiciones
I. p(x) : ∀x ∈ R, x0 = 1
II. q(y) : ∃y ∈ Z+/y2 ≤ 0
III. r(z) : ∀z ∈ R, z2 − 92 = (z + 3)(z − 3)
Indique el valor de verdad de:p↔ q, p→ r y r ∧ q
A) FFV B) FVV C) VVFD) VVV E) FFF
Conjuntos
16 A partir del conjunto M = {1; 2; 3}, indique la alter-nativa correcta
A) 2 6∈M D) {2} ∈MB) {1; 2} ∈M E) 1 6∈MC) {1} 6∈M
2
Cuadernillo de trabajo–Semana 1
17 Calcule la suma de los elementos de L.
L = {2x/x ∈ Z ∧ 3 < x < 7}
A) 30 B) 28 C) 32D) 26 E) 34
18 Los siguientes conjuntos son iguales.
A ={
5; 2a + 3; c2}
B = {b; 16; 2a + 1}
Calcule el valor de a + b + c. Considere que a; b y cson enteros positivos.
A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14
19 Dados los conjuntos
J = {x/x ∈ Z ∧ −3 < x < 3}K =
{x2/x ∈ Z ∧ −2 < x < 2
}L = {(x + 1) ∈ Z/− 1 ≤ x ≤ 0}M = {x ∈ Z/(x + 1)(x + 2) = 0}
indique la alternativa incorrecta.
A) K y M son disjuntos D) J ⊂ LB) K = L E) K ⊂ LC) M ⊂ J
20 Si A = {3; 5; {3} ; 7; 7; 3; 9; 9} ¿cuantas de las si-guientes proposiciones son correctas?
I. n(A) = 8
II. 3 ∈ A
III. {3} ∈ A
IV. {3; 5} ∈ A
V. 7 6∈ A
VI. {3; 3; 3} 6∈ A
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
21 Si
A ={x2 + 1/x ∈ Z ∧ −4 < x < 3
}B =
{(x2 + 1) ∈ Z/− 4 < x < 3
}calcule n(A) + n(B).
A) 9 B) 16 C) 20D) 24 E) 12
22 ¿Cual de las siguientes alternativas presenta un con-junto no vacio?
A) M = {x ∈ Z/3 < x < 4}B) L = {x/x 6= x}C) J = {}D) K = {∅}E) S =
{x ∈ R/x2 + 1 = 0
}23 Dado el conjunto B = {2; 4; {6}}, indique la secuen-
cia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. {2; 4} ∈ P (B)
II. {{6}} ∈ P (B)
III. B ∈ P (B)
IV. ∅ 6∈ P (B)
A) VVVF B) FFFF C) VVVVD) VFVF E) FVFV
24 Dados los conjuntos
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}A = {1; 2; 3; 4; 5}B = {4; 5; 6; 7; 8}C = {6; 7}
halle [(A ∩ C) ∪ (C ∩B)] ∪ Ac.
A) {6; 7}B) {8; 9; 0}C) {6; 7; 8; 9; 0}D) {1; 2; 3; 9; 0}E) {4; 5; 9; 0}
25 Se tiene los siguientes conjuntos.
J = {a + b; 0;m− n}K = {2m + n; 20}L = {5a + b; 24}
Si J es unitario y K = L, calcule el valor de m× n+a× b. considere que {m;n; a; b} ⊂ Z
A) 39 B) 48 C) 9D) 13 E) 15
3
Cuadernillo de trabajo–Semana 1
26 Se sabe que el conjunto A presenta 31 subconjuntospropios y el conjunto potencia de B tiene 8 elementos;ademas, A ∩B = ∅. Calcule n [P (A ∪B)].
A) 64 B) 128 C) 256D) 512 E) 1024
27 Se sabe que el conjunto A tiene 3 elementos mas queB y este tiene 112 subconjuntos menos que A. Si A yB son disjuntos, ¿cuantos elementos tiene A ∪B?
A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11
28 Segun el conjunto
A = {a; {b; c} ; d}
¿Cuantas afirmaciones son incorrectas?
I. {b; c} ⊂ A
II. {b; c} ∈ A
III. {{b; c}} ⊂ A
IV. c ∈ A
V. {c} ⊂ A
VI. {c} ∈ A
A) 4 B) 2 C) 1D) 3 E) 5
29 Si
A =
{3 |x| − 1
5∈ Z+/16 ≤ x2 ≤ 144
}B =
{x ∈ Z+/x > 4→ x = 6
}Calcular n [(A−B)× A]
A) 15 B) 5 C) 24D) 10 E) 12
30 ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son correctas?
I) Sean A y B conjuntos de un universo U . Si A ⊂B y B ⊂ A, entonces A = B.
II) Sean A,B ⊂ U , si A ⊂ B y B ⊂ C, entoncesA ⊂ C.
III) Sean A,B ⊂ U , si B ∈ P (A) y A ∈ P (B),entonces A = B.
A)Solo III B)Solo I C)I y IIID)I y II E)Todas
31 En una reunion a la cual asistieron 50 personas, 20bailan, 32 cantan y 4 no cantan ni bailan. ¿Cuantaspersonas cantan y bailan?
A) 10 B) 9 C) 8D) 7 E) 6
32 De 42 personas, 15 tienen reloj y 20 son mujeres. Si10 varones tienen reloj, ¿cuantas mujeres no tienen re-loj?
A) 15 B) 14 C) 13D) 12 E) 11
33 A cierta conferencia, asistieron 600 personas, de lascuales, 250 eran mujeres; 150, profesores y 170, doc-tores. Ademas, cada asistente tenıa solo una profesion:profesor, ingeniero o doctor, y habıa 80 mujeres inge-nieras. ¿Cuantos varones son profesores o doctores?
A) 140 B) 120 C) 100D) 190 E) 150
34 En una reunion, hay 2n personas, de las cuales algu-nos hablan ingles, italiano o frances; todos hablan porlo menos uno de estos idiomas; todos los que hablaningles hablan frances; ninguno que habla ingles hablaitaliano; hay n personas que hablan italiano, pero nofrances, y hay 2m personas que hablan solo frances.Calcule la cantidad de personas que hablan exacta-mente 2 idiomas.
A) n−m B) 2n−m C) n− 2mD) 2n− 3m E) n− 3m
35 Esteban vende ensalada de frutas, para lo cual utilizan frutas diferentes, ¿cuantos platos diferentes puedeobtener? Si en cada plato utiliza al menos dos frutasdiferentes.
A) 2n + 1 B) 2n − n C) 210D) 2n − n− 1 E) 2n − 1
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