maestría en transporte estadística

Maestría en Transporte Estadística

Capítulo 1

Objetivos

• ¿Cómo se determinan las magnitudes para planificación de transporte, operación de transporte, etc? (el problema de la estimación, el problema de la verificación de hipótesis)

Objetivos

• ¿Cómo se determina la relación entre una variable dependiente y una o mas variables regresoras? (el problema de regresión lineal)

Objetivos

• ¿Cómo tratar problemas que se apartan de los supuestos de la regresión lineal? (el problema de las transformaciones, ponderaciones, autocorrelación, etc)

Objetivos

• ¿Cómo se analizan variables dicotómicas? (Modelos Logit, probit, etc)

• ¿Cómo se analizan tablas de clasificación? (el problema de estimación en tablas de contingencia)

Objetivos

• ¿Eso es todo lo que hay que decir? (Resumen de series de tiempo y tópicos avanzados de estadística. Conceptos de simulación)

Variables Aleatorias

• Concepto de Variable Numérica– Concepto de realización– X [-;]; ó X [0;]; ó X N

• Concepto de Variable Aleatoria– X [-;]; ó X [0;]; ó X N, con algunas restricciones

• Concepto de realización• Concepto de Evento y Variable Aleatoria

Conceptos de probabilidad

• Eventos: Espacio y eventos– Variables aleatorias asociadas a eventos

• Concepto de probabilidad– Sea una evento A con un valor x de la variable asociada X• P(A) = P(x)

Funciones de ProbabilidadFunciones de Densidad

• Funciones de probabilidad• Funciones de densidad de probabilidad• Funciones de probabilidad acumulada• Funciones de densidad acumulada

Funciones de ProbabilidadFunciones de Densidad

Descripción de Variables Aleatorias

• Medidas descriptivas centrales– Valor esperado o Media– Mediana– Moda

• Medidas descriptivas de dispersión– Varianza (desviación estándar)– Rango

Descripción de Variables Aleatorias

Descripción de Variables Aleatorias

• Momentos• Kurtosis (Curtosis) y Asimetría• Otros

– Cuantiles y Percentiles

Algunas funciones de probabilidad

• Binomial– X {0, 1, 2, 3, ..., n}

Algunas funciones de probabilidad

• Binomial– X {0, 1, 2, 3, ..., n}– Media =np (p:proporción)– Varianza 2=np(1-p)– Coeficiente de Asimetría (1-2p)/(np(1-p))1/2

– Curtosis relativa 3+(1-6p(1-p))/(np(1-p))

Algunas funciones de probabilidad

• Poisson– X {0, 1, 2, 3, ...}

Algunas funciones de probabilidad

• Poisson– X {0, 1, 2, 3, ...}– Media = – Varianza 2= – Coeficiente de Asimetría 1/ 1/2

– Curtosis relativa 3+1/

Algunas funciones de probabilidad

• Geométrica• Hipergeométrica• Binomial negativa

Algunas funciones de distribución

• Normal– X [-;]

Algunas funciones de distribución

• Normal– X [-;]– Media -<<– Varianza 2>0– Coeficiente de Asimetría 0– Curtosis relativa 3

• Normal

• Normal

Algunas funciones de distribución

• Uniforme– X [a;b]

Algunas funciones de distribución

• Uniforme– X [a;b]– Media (a+b)/2– Varianza (b-a)2/12– Coeficiente de Asimetría 0– Curtosis relativa 9/5

Algunas funciones de distribución

• Gamma• f(x) = {(x)K-1e-x} /(K)

• Exponencial (negativa)

• Weibull• t• F

Algunas funciones de distribución

• Pearson Tipo III (Gamma, Erlang, Exponencial)

En forma genérica es Gamma, si k es entero se denomina de Erlang, y degenera en exponencial si k=1

MODELO MATEMATICO GENERALIZADO

•Si = 0 tenemos distribución gammaf (t) = [/(K)][t]K-1e-t

•Si además K = entero positivo tenemos distribución Erlangf (t) = [ / (K – 1) !] ( t )K-1 e-t

•Si además K = 1 tenemos distribución exponencial f (t) = e-t

•Si K = 1 y = 0 entonces = 1 / t*f (t) = e-t/t* ; exponencial•Si K = 1 y 0 entonces = 1 / (t* - )•f (t) = e-(t-)/(t*-) ; exponencial desplazada

Interrogante

• ¿Porque la distribución de Gauss o Normal es tan famosa?

• Ley de los grandes números: Teorema central del límite.

Maestría en Transporte¡Otra vez Estadística!

Capítulo 1Clase 2

Funciones de Probabilidad Conjunta

• Probabilidad conjunta• Probabilidad marginal• Probabilidad condicional• Eventos independientes

Funciones de Probabilidad Conjunta

Funciones de Probabilidad Conjunta

Probabilidad condicional

Funciones de Probabilidad Conjunta

Variables Independientes

Concepto de muestra

• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras i.i.d.– Significado– Independiente– Aleatoria (probabilidad igual a todas las posibles muestras)

– Idénticamente distribuidas • Distribución “idéntica” significa forma de la distribución.

• No implica igualdad de parámetros

Concepto de muestra

• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras i.i.d.

Xn

X

X

...

2

1

5.3

...

6.1

0.3

1.3

...

6.1

8.2Muestras posibles

¿Significa X1, X2, ..., Xn tienen la “misma” distribución? Depende...

Etc...

Concepto de muestra

Descripción de datos muestrales

• Medidas descriptivas• Promedio o media• Mediana• Varianza muestral• DE• Rango intercuartílico• MAD (MAD/0,675)• Deciles

Descripción de datos muestrales

CONTROL

1.61.41.21.0.8.6.4

EX

P

50

40

30

20

10

0

Descripción de datos muestrales

30N =

CONTROL

1

EX

P

60

50

40

30

20

10

0

-10

3

Descripción de datos muestrales

EXP

50.045.040.035.030.025.020.015.010.05.00.0

7

6

5

4

3

2

1

0

Std. Dev = 14.24

Mean = 16.8

N = 30.00

Descripción de datos muestrales

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

Valores observados

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Dis

trib

uci

ón

em

pír

ica

Distribución empírica

Descripción de datos muestrales

Exponential P-P Plot of EXP

Observed Cum Prob

1.00.75.50.250.00

Exp

ect

ed

Cu

m P

rob

1.00

.75

.50

.25

0.00

Exponential Q-Q Plot of EXP

Observed Value

706050403020100-10

Exp

ect

ed

Exp

on

en

tial V

alu

e

70

60

50

40

30

20

10

0

-10

Descripción de datos muestrales

30N =

CONTROL

1

95

% C

I E

XP

24

22

20

18

16

14

12

10

Descripción de datos

muestrales

EXP Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf

6.00 0 . 001144 4.00 0 . 5666 8.00 1 . 01111233 3.00 1 . 559 2.00 2 . 02 1.00 2 . 8 1.00 3 . 3 1.00 3 . 8 3.00 4 . 024 1.00 Extremes (>=49)

Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s)

Distribuciones de Muestreo

• Concepto de “estadística”– Función de X– Ejemplo ¯X ¯ = (1/N) X [1,1,1,...,1]’– ¯X ¯ = fc(X)– ¯X ¯ es v.a.– ¿Cual es la distribución de ¯X ¯?

Distribuciones de Muestreo

• Suma de Variables Aleatorias• Diferencia de VA

Y ~N(aiXi, aii2)

Distribuciones de Muestreo

• Suma de cuadrados de variables aleatorias

• sea Xi~N(, 2) i=1, 2,...,n• sea Zi= (Xi- )/ • sea Y = Zi2

• Entonces Y~n2

Distribuciones de Muestreo

• Suma de cuadrados de variables aleatorias

• sea X~ n2

• sea Z~N(0,1) • sea T=Z/(X/n)• Entonces Y~tn

Distribuciones de Muestreo

• Suma de cuadrados de variables aleatorias

• sea X~ n2

• sea Z~ m2

• sea T=(X/n)/(Z/m)

• Entonces Y~Fn,m

Distribución de la Media

Distribución de la Media

Distribución de S2

Distribución de S2 (Chi2)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 20 40 60

3

5

10

20

Distribución t (Student)

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

-4 -2 0 2 4

Normal

1

2

3

20

Distribución F (Snedecor)

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.5 1 1.5 2 2.5

v1=10-v2=10

v1=20-v2=10

v1=10-v2=20

v1=30-v2=30