estadística 2010 maestría en finanzas universidad del cema profesor: alberto landro asistente:...

Estadística2010

Maestría en FinanzasUniversidad del CEMA

Profesor: Alberto Landro

Asistente: Julián R. Siri

Clase final

1. Predicción en series cronológicas

2. No - Estacionariedad

Usualmente, el criterio de aproximación utilizado para predecir es el del error medio cuadrático, según el cual la función elegida debe ser un estimador insesgado y tal que minimice la expresión correspondiente a la varianza del error de la predicción para l períodos (e(l,t)):

Siendo el predictor definido como la esperanza matemática de condicionada por el conjunto de realizaciones


,f t l

2,2

1, e f , ,...,t lt l t t t nl t E Y Y Y Y

,f t lt lY

Para que se cumpla la condición de varianza mínima del error de predicción, el predictor debe ser de la forma:

Este resultado es aplicable sólo si se conoce la función de probabilidades conjunta de la variable multidimensional , o si se cuenta con una representación para que involucre un número finito de coeficientes, a partir de la cual los valores esperados condicionados pueden ser calculados en forma recursiva.


,f ,...,t lt l t t nE Y Y Y

, ,...,t l t t nY Y Y

tY

Teniendo en cuenta que:

Y que,

Se puede concluir que el valor esperado condicionado es lineal en

:


1 1

,..., ,..., ,..., ,...,p q

t l t t n i t l i t t n t l t t n j t l i t t ni j

E Y Y Y E Y Y Y E Y Y Y Y

0 para 0,...,

para 0t j t t nt j

jE Y Y

j

, ,...,t l t t nY Y Y

,0f ...t l

t n t na Y a Y

• Suponiendo un conjunto infinito de realizaciones del proceso se puede escribir (este resultado constituye la aproximación de Kolmogorov):

•Donde: –i) a(B) denota la función generatriz del predictor;

–ii) e(l,t) –que involucra a shocks futuros- representa la parte no-predecible de (o error de la predicción con origen en el punto t);

–iii) representa la parte predecible de .


,1e , a e , f , ,...l t

t l t t tY l t B Y l t Y Y

tY

tY ,f t l

,f t l

tY

• A partir de estos resultados y suponiendo una distribución Normal de los residuos, se puede construir el siguiente intervalo de confiabilidad:

•El error de predicción para el período siguiente al de la última observación (e(1,t)) debe ser incorrelacionado con los residuos. El no cumplimiento de esta condición significaría que el error de predicción podría ser predicho por los residuos y, en consecuencia,

resultaría mejor predictor de que .


1efef ,2,

,2,

tllt

lttllt zYzp

tt ,1ef 1,

1tY 1,f t

Aún en el caso en que los errores de predicción óptimos para un período sean incorrelacionados, los errores de predicción para períodos mayores serán, en general, correlacionados. Luego, dado un conjunto de información disponible al momento t, se puede asegurar que:


1ff1

0

22

,1

0

22

,l

jj

ltlt

l

jj

lt bzYbzp

• Hasta aquí trabajamos con los siguientes supuestos:– Estructura de es aditiva.– Varianzas constantes– Variables normalmente distribuidas.

• Sin embargo, los procesos pueden presentar comportamientos no-estacionarios en los valores medios o en las varianzas.

• Por lo tanto, es necesario estabilizar las series antes de intentar su modelización.

t t 1E Y Y ,...

2. No-Estacionariedad

• La eliminación de la tendencia en una serie empírica deberá realizarse de acuerdo con el proceso estocástico que le dio origen:– Si la serie proviene de un proceso estacionario en torno a una

tendencia, deberá ajustarse la función de tiempo que corresponda y quitar la tendencia así ajustada a la serie original. La serie residual mostrará un comportamiento ruido blanco

– Si la serie proviene de un proceso estacionario en diferencias, la metodología apropiada será la diferenciación de la serie.


• Sin embargo, para todo esto, lo importante es, como primera fase de la investigación, detectar la naturaleza del proceso generador de la serie.

• Es aquí donde entra en juego el problema de las “raíces unitarias”, abordado y modelizado por Dickey y Fuller en los años ´70 y ´80.


• Tienen por objeto contrastar el carácter de no estacionariedad de una serie. Supongamos el siguiente proceso generador de datos:

• Si se desea contrastar para , puede estimarse la ecuación y utiliza el estadístico

• Para muestras pequeñas, puede utilizarse la distribución t de Student, aún cuando la estimación de es levemente sesgada hacia abajo.

2.1. Tests de Raíz Unitaria

y 2t t 1 t 0 t uy y u ; y 0 u IID 0;

N 0;1

1 0H : 1

• Caso de los AR(1):– Dado un proceso AR(1) con , como el orden de

autorregresividad es conocido, el coeficiente puede ser estimado por MCO. En consecuencia, este estimador debería permitir testear la hipótesis nula , contra la alternativa

2,0: NWNt

1

11 11


• Caso de los AR(1):– Pero, bajo el supuesto que la hipótesis nula es verdadera,

admite una representación MA no-estacionaria de la forma:

A partir de la cual se puede concluir que la varianza del proceso será infinita.

tY

0jjttY


• Caso de los AR(1):– Una aparente solución a este problema es utilizar una forma

equivalente del test anterior que se obtiene a partir de una expresión de la representación AR(1) anterior en términos de las diferencias primeras de la forma:

ttttt YYYY 111 1


• Caso de los AR(1):– Sin embargo, el estadístico convencional para contrastar la

hipótesis nula , contra la alternativa, , es de la forma:

1: 10 H 01: 11 H

n

ttY

T

2

21

1

1

1

ˆ1ˆ

ˆˆ

1ˆ


• Caso de los AR(1):– Donde,

Es el estimador consistente de , obtenida de aplicar MCO.

– Dado que cuando el estadístico T no converge en-distribución a la función normal, resulta conveniente expresar el estadístico T de la siguiente forma:

n

ttt YY

n2

2

112 ˆ

2

1ˆ

2

n

tt

n

tttn

tt

Yn

Yn

Yn

n

2

212

21

2

211

1

1ˆ

1

1

1

11ˆ

ˆ1

11


• Caso de los AR(1):– Dickey y Fuller, basaron su test en el estadístico:

– Asimismo, demostraron que la definición de la zona crítica para testear la hipótesis nula depende, además del tamaño de la muestra, de la forma de la ecuación autorregresiva, y definieron tres clases de valores críticos ( ) para ser utilizados, respectivamente, en el test según que la ecuación autorregresiva:

• I) no incluya término independiente ni término lineal;

• II) incluya término independiente pero no término lineal;

• III) incluya ambos términos.

1

1

ˆˆ

1ˆ

T

y ,


• Caso de los AR(1):– Suponiendo que el estimador es positivo, se trata de un test de una cola, la

hipótesis nula de no-estacionariedad no deberá ser aceptada si el valor del estadístico:

– En los casos en que la representación incluya componentes determinísticos, el test para detectar la presencia de raíces unitarias se denomina Dickey-Fuller aumentado.

• Si el proceso es tal que admite una representación de la forma:

Entonces el correspondiente estadístico del test es tal que converge a un cociente entre una variable chi-cuadrado de 1 grado de libertad y una distribución no estándar.

1

1

ˆˆ

1ˆT

ttt YaY 110


• Caso de los AR(1):– Si la representación del proceso puede estar afectada por una tendencia

estacionaria, entonces será necesario incluir en ésta tantos regresores determinísticos como componentes determinísticos involucre dicha tendencia. En el caso particular de una hipótesis alternativa que suponga la presencia de una tendencia estacionaria lineal, será:

– El valor del estadístico T debería ser contrastado con el valor crítico .

– D&F diseñaron, además, tres estadísticos para testear en forma conjunta la significatividad de los coeficientes de la ecuación autorregresiva. Éstos están definidos de la siguiente forma:

ttt YtaaY 1110 1

3,2,1 ~

ˆ1

ˆˆ1

,

)(

2

)(

22

i

kn

r

knt

iSRtt

iSRtt

CRtt

i


• Caso de los AR(1):– Donde:

• I) denota la SCR de

• II) denota la SCR de

• III) denota la SCR de

• IV) denota la SCR de

• Y r denota el número de restricciones, n el número de observaciones y k el número de coeficientes incluidos en la representación sin restricciones.

CRt 2

)1(

2ˆSRt

)2(

2ˆSRt

)3(

2ˆSRt

ttt YY 11 1

ttt YaY 1*10 1

ttt YtaaY 1*110 1

ttt YtaY 1*11 1


• Caso de los AR(1):– El estadístico se utiliza para testear la hipótesis:

– El estadístico se utiliza para testear la hipótesis:

– El estadístico se utiliza para testear la hipótesis:

• D-F generaron también los estadísticos y para contrastar, respectivamente, las hipótesis de significatividad del término tendencia y del término independiente bajo el supuesto que la hipótesis es verdadera. Sus definiciones son:

101: 100 aH

2

301: 1100 aaH

01: 110 aH

011


• Caso de los AR(1):

Donde denota la SCR de y denota la SCR de:

Y

Donde denota la SCR de y denota la SCR de:

CRt 2

SRt 2

CRt 2

1110 1ˆˆˆ tt YtaaY

taYt 1ˆ

SRtt

SRtt

CRtt

kn

r

2

22

ˆ1

ˆˆ1

0aYt

SRt 2

1110 1ˆ tt YtaaY

SRtt

SRtt

CRtt

kn

Yr

2

22

ˆ1

ˆ1


• Caso de los AR(1):– Perron propuso la siguiente secuencia de tests:

a) Partiendo de: se contrasta la hipótesis contra la alternativa (valor crítico: ). Si se rechaza la hipótesis nula, la secuencia se detiene.

b) Si se acepta la H0 del punto a), entonces, se testea con respecto a la alternativa (se utiliza el estadístico ).La decisión sobre aceptación o rechazo puede ser reforzada testeando (valor crítico: )

c) Si se rechaza la última hipótesis nula de b), se contrasta contra la alternativa (valor crítico el que resulte de las distribuciones “t” o Normal). Si se rechaza la H0, se detiene la secuencia.

d) Si se acepta la hipótesis nula del punto b), entonces, utilizando la representación:

Se contrasta la hipótesis contra (valor crítico ).

3

ttt YtaaY 1110 1

ttt YaY 110 1

01: 10 H

01/0: 110 aH

01: 10 H

01: 11 H

01/0: 111 aH 01: 110 aH

01: 10 H01: 11 H

01: 11 H


• Caso de los AR(1):e) Si se acepta la hipótesis nula de d), entonces, utilizando la misma representación, se

testea la hipótesis con respecto a la alternativa (el valor crítico es ). La decisión sobre la aceptación o rechazo de esta hipótesis nula puede ser reforzada testeando (el valor crítico es ).

f) Si se rechaza la hipótesis nula del punto e), se contrasta la hipótesis contra la alternativa (el valor crítico será de las distribuciones “t” o Normal). Si se rechaza la hipótesis nula, se puede concluir que no posee raíces unitarias.

g) Si se acepta la hipótesis del punto e), entonces se contrasta la hipótesis contra la alternativa (el valor crítico está dado por ). Si se rechaza la hipótesis nula se puede concluir que no posee raíces unitarias.

0 0 1: 0 / 1 0H a

1 0 1: 0 / 1 0H a

0 0 1: 1 0H a 10 1: 1 0H

1 1: 1 0H tY

0 0 1: 1 0H a 0 1: 1 0H 1 1: 1 0H

tY


Me pueden escribir a:

[email protected]

Las presentaciones estarán colgadas en:

www.cema.edu.ar/u/jrs06

FIN

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