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4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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Ejercicios de Logaritmos
1.- Calcula los logaritmos que se indican: a) log2 32 b) log5 625 c) log 1000
d) log3 81 e) ln e3 f) log 105
g) ln ex h) log2 64
i) log3 729 j) log2 128
2.- Halla los logaritmos siguientes:
a) log2 (1/8) b) log2 (1/2) c) log2 (1/32) d) log3 (1/3) e) log3 (1/9)
f) log3 (1/81) g) log5 (1/5) h) log5 125 i) log5 25 j) 8 log7 7
k) 3 log32 2 l) 5 log3 7 m) 3 log1/81 9 n) 25 log25 5 o) 9 log9 81
3.- Empleando la calculadora, halla:
a) log 8 b) log 3 c) log 121
d) log 5’74 e) log 3’15 f) log 102’31
g) ln 4’15 h) ln 3`19 i) ln 103
4.- Calcula x en las siguientes expresiones:
a) logx 32 = 5 b) logx 36 = 2 c) logx 81 = 2
d) logx 49 = 2 e) logx 5 = 1/2 f) logx 1/16 = -4
g) logx 5 = -1/2 h) logx 32 = 5/2 i) logx 0’01 = -2
j) logx 4 = -1/2 k) logx 216 = 3 l) logx 64 = 3
5.- Resuelve:
a) log2 16 = x b) log 10000 = x
c) log3 27 = x d) loga x = 0
e) log9 x = 2 f) log16 4 = x
g) x3log 39 =
6.- Resuelve:
a) logx 0’0001 = - 4 b) log2 1/32 = x c) logx 10 = 1/3
d) ( ) x33log 23 =
e) log 1 = x
f) x81log3 =
g) log2 (log2 28) = x
h) x5log5 = i) log5 625 = x
7.- Calcula x:
a) 2xlog3 −= b) 2xlog 25'0 =
c) 5
3
1 9logx =
d) x5
1log125 =
e) 32
6
6log
3x =
f) 48 2logx =
g) 7log31
log8logx 4932 −+=
h) 2log3logx 1681 +=
8.- Sabiendo que log 5 = 0’6989, calcula el valor de log 2.
9.- Expresa los siguientes logaritmos en función de log 2:
a) log 64 b) log 1/16
c) log 5 d) log 0’32 e) 3
532
log
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10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, calcula: a) log 4 b) log 5 c) log 6 d) log 9 e) log 18 f) log 30 g) log 48 h) log 72 i) log 16
j) log 250 k) log 40 l) log 20 m) log 32 n) log 0’3 o) log 0’48 p) 3 40log
q) 948
log
r) 5
18log
s) log 0’072
t) 84
30'
log
u) 381'log
v) 53 090
1
'log
w) 4
329
log
x) 59
log
y) 2
38
log
z) 3
45
log
11.- Halla:
a)
⋅⋅1282
2644
33
2log
b)
⋅⋅⋅−
−
22
13
3 381
393log
c)
⋅⋅
− 1010
1000101
3
'
'log
d)
⋅⋅−
12525
6255 2
5log
12.- Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:
a) log 3 b) log2 e
c) log3 5 d) log 5
e) log5 25
13.- Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:
a) 10 3 ≤≤ xlog b) 41 2 ≤≤ xlog c) 32 ≤≤ xln
d) 01 2 ≤≤− xlog e) 12 ≤≤− xln f) 20 << xlog
g) 21 2 <≤ xln h) 320 ≤< xlog
14.- ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?
15.- Prueba que ln 10 · log e = 1
16.- Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3, ¿cómo son los logaritmos de los
números mayores que 1?
17.- Si se multiplica un número por 8, ¿qué variación experimenta su logaritmo en base 2?
18.- Resuelve: a) xlog =93
b) 381 −=
xlog
c) 52 =xlog
d) xlog =
93
3
e) 25 −=xlog
f) xe
ln =
2
1
g) xlog =
33
9
h) xlog =821
i) 843 =xlog
j) 52 loglogxlog =+
k) xlog =521 2
l) 21 =−xlog
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19.- Determina los intervalos en los que puede variar x: a) 20 3 ≤< xlog b) 30 2 << xlog
c) 210 <≤ xlog d) 121 4 ≤≤ xlog
e) 21 3 <<− xlog f) 232 2 ≤≤− xlog
20.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
⋅⋅
832
264 3
2log
b) 315
2
1010
101000−
−
⋅⋅
log
c)
⋅⋅
−42
33
ee
eeln
d)
⋅⋅
23381
327log
e)
⋅⋅
225 255
125625log
f)
⋅⋅
2428
216log
21.- Resuelve:
a) xlog =327
b) xlog =32 32
c) 21
7 =xlog
d) 381
3 =x
log
e) 25
32 =xlog
f) 01000
=xlog
g) xlog =749
h) 242 −=x
log
i) 281 =xlog
j) 193 −=x
log
k) 2100
5 =x
log
l) 29 =x
log
22.- Halla el valor de:
a) 1000
100101000 log'loglog +− b)
71
7 loglog +
23.- Sabiendo que log5 N = h, determina en función de h el logaritmo en base 5 de N/125.
24.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log A + log B = 0?
Razona la respuesta.
25.- ¿Qué relación hay entre los números A y B si se verifica que log B = log A + log 5? Razona la respuesta.
26.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de bloga
logb
a 11 + .
27.- Si loga N = 2 y loga (32 · N) = 5, ¿cuánto vale a?¿Qué propiedad usas? Razónalo.
28.- Halla, sin usar la calculadora, el valor de los siguientes logaritmos: a) 322log
b) 8131log
c) 625
15log
d) 1621log
e) 180'log
f) 5
1
51 25
1
log
g) 3010 10−
'log
h) 7491log
29.- Averigua el valor de x en los siguientes casos: a) 25 =xlog b) 102 =xlog
c) 1010 'logx = d) 01 =xlog
e) 1422 += xlog x
f) 221
31 =xlog
g) xlog ' 26250080 =
h) 40010 −='logx
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30.- Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: a) 530010 5log'log ⋅−=
b) 2
ylogxlogyxlog
+=⋅
c) ( ) ( ) ( )22 nmlognmlognmlog −=−++
d)
−+=−ab
ba
logablog)ba(log 22
e)
−++=−+
+ 1ba
log)ba(log)ba(log1ba
log
31.- Calcula x sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771:
a) 522
=x
b) 910 1 =+x
c) 31
1010
1010 =+−
−
−
xx
xx
d) 5023 =+x
32.- Halla: a) log3 7 en las bases 2, ½, 10 y e. b) log2 5 en las bases 3, 10, e y 5.
33.- Calcula log2 0’0625.
34.- Calcula el valor de loga N, sabiendo que log3 N = 7 y log3 a = 2.
35.- Simplifica: 375 753 logloglog ⋅⋅
36.- Calcula x:
a) alogxlogalogalog aaa 22 23 =⋅⋅ b) 2232 =⋅ logxlog
c) 3132 22 =−−+ )x(log)x(log
d) 31
42 −=+ xlogxlog
37.- Calcula el valor de la expresión: 21
22 logblog
blog bb −+
38.- El logaritmo de un cierto número en base 3 es 1/2. Halla dicho número.
39.- El logaritmo de una cierta base del número 81 es -4. Calcula la base.
40.- Si se multiplica el número n por 36, su logaritmo en cierta base aumenta en dos
unidades. ¿Cuál es la base? ¿Y si el logaritmo disminuyese en dos unidades?
41.- Encuentra la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 48 excede al logaritmo de 6 en 3 unidades.
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y que log 3 = 0’4771, averigua, sin calculadora:
a) 8log b) 15log c) 12log
d) 3 162log
e) 180'log f) 0020'log g) 06250'log h) 540'log
i) 30)
'log
j) 5
43
845196
54000270
'
'log
⋅⋅
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43.- Expresa en función de log 2 la expresión numérica: 3
3
12520
160320
⋅⋅ ''
log
44.- Expresa en función de log 3 la expresión numérica: 243
300810 2 ⋅'log
45.- Sabiendo que log 16 = 1’2041, calcula log 250.
46.- Sabiendo que log 8 = 0’9030, calcula log 500.
47.- Realiza las siguientes operaciones:
a) ( ) ( )6464 ++− loglog
b) ( ) ( )1121221
1121221 +⋅+−⋅ loglog
c) ( ) ( ) 33227227 logloglog ⋅−++−
48.- Transforma las siguientes expresiones algebraicas en logarítmicas:
a) 3 qpnm
x = b) 52
352
pm
cbax = c) 3 2
ed
cba
x =
49.- Transforma las siguientes expresiones logarítmicas en algebraicas:
a) xlogxlogAlog 32 −= b) 242 −+−= nlogmlogBlog
c) )dlogclog()bloga(logClog +−+= 221
32
d) xlogxlog
Dlog 335 −=
e) 232 += xlog
Elog
Problemas de Logaritmos
50.- Al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de tal modo que en cada punto es, aproximadamente, 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. Si la presión al nivel del mar es 1 atmósfera: a) ¿Qué presión habrá a 10 km de altura? b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea 0’1215 atm?
51.- Los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 524.288 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
52.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, …, 131.072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
53.- Los números 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
54.- Los números 2, 6, 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
4º ESO – Matemáticas Académicas Ejercicios y problemas de Logaritmos
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55.- Los números 18, 54, 162, …, 9.565.938 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?
56.- Un tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en una hora. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 16.777.216 bacterias?
57.- Otro tipo de bacteria puede reproducirse partiéndose por la mitad en tan solo 37 minutos. ¿Cuánto tiempo ha pasado si tenemos una colonia de 2.097.152 bacterias?
58.- Calcula el capital final que obtengo si invierto 20.000 € durante 7 años al 5% de interés compuesto. ¿Cuál ha sido mi beneficio?
59.- Calcula el dinero que invertí hace 6 años al 4% de interés acumulado si ahora saco del banco 126.531’90 €.
60.- Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2.500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1.977’12 € de beneficio.
61.- Calcula el interés acumulado al que tengo que tener invertidos 240.000 durante 7 años para obtener capital final de 349.123 €.
62.- Una matrioska es un souvenir típico de Rusia, y consiste en una muñeca que contiene en su interior otra de igual forma pero algo más pequeña, y así sucesivamente. El volumen de cada muñeca es 2/3 el de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa 31’6 cm3?
63.- ¿Cuántos años hace que se invirtió 1.000.000 de euros al 4’5% de interés acumulado, si actualmente se han convertido en 1.302.260 euros?
64.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido 500.000 euros si transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’50 euros.
65.- Una piscina pierda la mitad de su volumen de agua cada semana. Si en un momento dado almacenaba 80.000 litros ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede reducido a sólo 312’5 litros?
66.- La población de cierta aldea se triplica cada año. Si hoy tiene 6.561.000 habitantes ¿Cuántos años hace que sólo vivían 1000 personas?
67.- El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo ¿Cuántos granos habrá que poner en el último escaque? ¿En qué escaque habrá que colocar 4.194.304 granos de trigo?
68.- Cierto banco da un interés del 10% del dinero que dejas durante todo un año. Cada año, se acumulan los intereses del año anterior al dinero que había. Si puse 1.000 euros, dentro de cuántos años habrá 4.177’25 euros?
69.- Cierto país reduce a la mitad el número de coches contaminantes cada 15 años. Si ahora hay 7.000.000 de esos coches ¿dentro de cuántos años habrá sólo 6.836 coches contaminantes?
70.- La extensión de zona desértica se triplica en cierta comarca cada 5 años. Si hoy existen 40 hectáreas desérticas ¿dentro de cuantos años ocupara toda la comarca que tiene 29.160 hectáreas de superficie?
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