lógica - cm0260 lógica proposicional: método de deducción
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Lógica - CM0260Lógica proposicional: Método de deducción
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Método de deducciónArgumento
𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶
Prueba formal de validez1 𝑃1
⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶
n+1 𝑆1⋮
n+m 𝑆𝑚donde:
cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por unargumento válido elemental yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
Notación: Hurley [2012] usa el símbolo ‘/’ y LogicCoach 11 usa elsímbolo ‘//’ en lugar del símbolo ‘/ ∴’.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 2/109
Método de deducciónArgumento
𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶
Prueba formal de validez1 𝑃1
⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶
n+1 𝑆1⋮
n+m 𝑆𝑚donde:
cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por unargumento válido elemental yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
Notación: Hurley [2012] usa el símbolo ‘/’ y LogicCoach 11 usa elsímbolo ‘//’ en lugar del símbolo ‘/ ∴’.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 3/109
Reglas de inferencia
1 Modus ponens (MP)𝑝 ⊃ 𝑞𝑝𝑞
2 Modus tollens (MT)𝑝 ⊃ 𝑞∼𝑞∼𝑝
3 Hypothetical syllogism (HS)𝑝 ⊃ 𝑞𝑞 ⊃ 𝑟𝑝 ⊃ 𝑟
4 Disjunctive syllogism (DS)
𝑝 ∨ 𝑞∼𝑝𝑞
5 Constructive dilemma (CD)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠
6 Simplification (Simp)
𝑝 ∧ 𝑞𝑝
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Reglas de inferencia
1 Modus ponens (MP)𝑝 ⊃ 𝑞𝑝𝑞
2 Modus tollens (MT)𝑝 ⊃ 𝑞∼𝑞∼𝑝
3 Hypothetical syllogism (HS)𝑝 ⊃ 𝑞𝑞 ⊃ 𝑟𝑝 ⊃ 𝑟
4 Disjunctive syllogism (DS)
𝑝 ∨ 𝑞∼𝑝𝑞
5 Constructive dilemma (CD)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠
6 Simplification (Simp)
𝑝 ∧ 𝑞𝑝
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Reglas de inferencia
1 Modus ponens (MP)𝑝 ⊃ 𝑞𝑝𝑞
2 Modus tollens (MT)𝑝 ⊃ 𝑞∼𝑞∼𝑝
3 Hypothetical syllogism (HS)𝑝 ⊃ 𝑞𝑞 ⊃ 𝑟𝑝 ⊃ 𝑟
4 Disjunctive syllogism (DS)
𝑝 ∨ 𝑞∼𝑝𝑞
5 Constructive dilemma (CD)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠
6 Simplification (Simp)
𝑝 ∧ 𝑞𝑝
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Reglas de inferencia
1 Modus ponens (MP)𝑝 ⊃ 𝑞𝑝𝑞
2 Modus tollens (MT)𝑝 ⊃ 𝑞∼𝑞∼𝑝
3 Hypothetical syllogism (HS)𝑝 ⊃ 𝑞𝑞 ⊃ 𝑟𝑝 ⊃ 𝑟
4 Disjunctive syllogism (DS)
𝑝 ∨ 𝑞∼𝑝𝑞
5 Constructive dilemma (CD)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠
6 Simplification (Simp)
𝑝 ∧ 𝑞𝑝
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Reglas de inferencia
1 Modus ponens (MP)𝑝 ⊃ 𝑞𝑝𝑞
2 Modus tollens (MT)𝑝 ⊃ 𝑞∼𝑞∼𝑝
3 Hypothetical syllogism (HS)𝑝 ⊃ 𝑞𝑞 ⊃ 𝑟𝑝 ⊃ 𝑟
4 Disjunctive syllogism (DS)
𝑝 ∨ 𝑞∼𝑝𝑞
5 Constructive dilemma (CD)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠
6 Simplification (Simp)
𝑝 ∧ 𝑞𝑝
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Reglas de inferencia
7 Conjunction (Conj)𝑝𝑞𝑝 ∧ 𝑞
8 Addition (Add)𝑝𝑝 ∨ 𝑞
Observación: Uso de instancias de las reglas de inferencia.
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Reglas de inferencia
7 Conjunction (Conj)𝑝𝑞𝑝 ∧ 𝑞
8 Addition (Add)𝑝𝑝 ∨ 𝑞
Observación: Uso de instancias de las reglas de inferencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 10/109
Reglas de inferencia
7 Conjunction (Conj)𝑝𝑞𝑝 ∧ 𝑞
8 Addition (Add)𝑝𝑝 ∨ 𝑞
Observación: Uso de instancias de las reglas de inferencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 11/109
Reglas de inferenciaSugerencias
Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52de Copi [1998].
Hurley [2012] en las págs. 385 y 395 ilustra algunos de los errorescomunes en el uso de las reglas de inferencia.
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Reglas de inferenciaSugerencias
Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52de Copi [1998].Hurley [2012] en las págs. 385 y 395 ilustra algunos de los errorescomunes en el uso de las reglas de inferencia.
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Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.2, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺)2 (𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻3 𝐸 /∴ 𝐻
4 𝐹 ∧ ∼𝐺 MP 1, 3
5 𝐹 Simp 4
6 𝐹 ∨ 𝐺 Add 5
7 𝐻 MP 2, 6
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Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.2, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺)2 (𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻3 𝐸 /∴ 𝐻4 𝐹 ∧ ∼𝐺 MP 1, 3
5 𝐹 Simp 4
6 𝐹 ∨ 𝐺 Add 5
7 𝐻 MP 2, 6
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Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐽 ⊃ 𝐾2 𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿)3 ∼𝐾 /∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾
4 ∼𝐽 MT 1, 4
5 𝐾 ∨ ∼𝐿 DS 2, 4
6 ∼𝐿 DS 5, 3
7 ∼𝐿 ∧ ∼𝐾 Conj 6, 3
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Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐽 ⊃ 𝐾2 𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿)3 ∼𝐾 /∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾4 ∼𝐽 MT 1, 4
5 𝐾 ∨ ∼𝐿 DS 2, 4
6 ∼𝐿 DS 5, 3
7 ∼𝐿 ∧ ∼𝐾 Conj 6, 3
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Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)2 ∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)]3 (𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹)]4 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺
5 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) Simp 46 ∼𝐴 MT 1, 57 (𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺) MP 2, 68 𝐷 ⊃ 𝐸 Simp 79 (∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹) DS 3, 5
10 ∼𝐴 ⊃ 𝐷 Simp 911 𝐷 MP 10, 612 𝐸 MP 8, 1113 𝐸 ∨ 𝐺 Add 12
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Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)2 ∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)]3 (𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹)]4 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺5 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) Simp 46 ∼𝐴 MT 1, 57 (𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺) MP 2, 68 𝐷 ⊃ 𝐸 Simp 79 (∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹) DS 3, 5
10 ∼𝐴 ⊃ 𝐷 Simp 911 𝐷 MP 10, 612 𝐸 MP 8, 1113 𝐸 ∨ 𝐺 Add 12
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Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾)2 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁)3 (𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻)4 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁
5 ∼𝐿 ∧ ∼𝑀 Simp 46 𝐾 ⊃ 𝑁 MP 2, 57 ∼𝐿 Simp 58 𝐻 ⊃ 𝐿 Simp 39 ∼𝐻 MT 8, 7
10 ∼𝐻 ∨ 𝐼 Add 911 𝐽 ⊃ 𝐾 MP 1, 1012 𝐽 ⊃ 𝑁 HS 11, 6
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Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾)2 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁)3 (𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻)4 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁5 ∼𝐿 ∧ ∼𝑀 Simp 46 𝐾 ⊃ 𝑁 MP 2, 57 ∼𝐿 Simp 58 𝐻 ⊃ 𝐿 Simp 39 ∼𝐻 MT 8, 7
10 ∼𝐻 ∨ 𝐼 Add 911 𝐽 ⊃ 𝐾 MP 1, 1012 𝐽 ⊃ 𝑁 HS 11, 6
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Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸)2 ((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻)3 (𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷4 𝐸 ⊃ ∼𝐺5 𝐵 /∴ 𝐻
6 𝐵 ∨ 𝐶 Add 57 𝐷 ∨ 𝐸 MP 1, 68 (𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 Add 79 𝐺 ∨ 𝐻 MP 2, 8
10 ∼𝐷 MP 3, 911 𝐸 DS 7, 1012 ∼𝐺 MP 4, 1113 𝐻 DS 9, 12
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 22/109
Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸)2 ((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻)3 (𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷4 𝐸 ⊃ ∼𝐺5 𝐵 /∴ 𝐻6 𝐵 ∨ 𝐶 Add 57 𝐷 ∨ 𝐸 MP 1, 68 (𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 Add 79 𝐺 ∨ 𝐻 MP 2, 8
10 ∼𝐷 MP 3, 911 𝐸 DS 7, 1012 ∼𝐺 MP 4, 1113 𝐻 DS 9, 12
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Regla de reemplazoMotivaciónConstruir una prueba formal de validez para el argumento
𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵
No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia.
Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es lógicamente equivalente a 𝑞.
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Regla de reemplazoMotivaciónConstruir una prueba formal de validez para el argumento
𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia.
Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es lógicamente equivalente a 𝑞.
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Regla de reemplazoMotivaciónConstruir una prueba formal de validez para el argumento
𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia.
Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es lógicamente equivalente a 𝑞.
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Regla de reemplazoRegla de reemplazoCualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes puedenreemplazar a la otra en donde ocurran.
9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟][𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]
12 Distribution (Dist) [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)][𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]
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Regla de reemplazoRegla de reemplazoCualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes puedenreemplazar a la otra en donde ocurran.
9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟][𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]
12 Distribution (Dist) [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)][𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]
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Regla de reemplazoRegla de reemplazoCualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes puedenreemplazar a la otra en donde ocurran.
9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟][𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]
12 Distribution (Dist) [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)][𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]
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Regla de reemplazoRegla de reemplazoCualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes puedenreemplazar a la otra en donde ocurran.
9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟][𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]
12 Distribution (Dist) [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)][𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]
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Regla de reemplazoRegla de reemplazoCualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes puedenreemplazar a la otra en donde ocurran.
9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟][𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]
12 Distribution (Dist) [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)][𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]
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Regla de reemplazo
(continuación)
13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)](𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)
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Regla de reemplazo
(continuación)
13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)](𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)
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Regla de reemplazo
(continuación)
13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)](𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)
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Regla de reemplazo
(continuación)
13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)](𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)
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Regla de reemplazo
(continuación)
13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)](𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)
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Regla de reemplazo
(continuación)
13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)](𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 37/109
Regla de reemplazoObservación: “La regla de reemplazo autoriza que expresiones lógicamenteequivalentes especificadas se reemplacen entre sí donde ocurran, aun endonde no constituyan renglones enteros de demostración. Pero las nueveprimeras reglas de inferencia sólo pueden usarse tomando como premisasrenglones enteros de una demostración.”1
1Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 59.Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 38/109
Regla de reemplazoEjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵2 𝐵 ∧ 𝐴 Com 1
3 𝐵 Simp 2
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 39/109
Pruebas formalesVerificación vs construcciónVerificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero cons-truirla no lo es.
ConvenciónEn cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o unaequivalencia lógica, pero no ambas.
SugerenciaAntes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 61 y 62de Copi [1998].
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 40/109
Pruebas formalesVerificación vs construcciónVerificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero cons-truirla no lo es.
ConvenciónEn cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o unaequivalencia lógica, pero no ambas.
SugerenciaAntes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 61 y 62de Copi [1998].
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 41/109
Pruebas formalesVerificación vs construcciónVerificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero cons-truirla no lo es.
ConvenciónEn cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o unaequivalencia lógica, pero no ambas.
SugerenciaAntes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 61 y 62de Copi [1998].
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 42/109
Pruebas formalesEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 62)La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado.Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa:
1 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄)2 𝑄 ⊃ 𝑂3 ∼𝑅 ⊃ 𝑃 /∴ 𝑅4 ∼𝑄 ∨ 𝑂5 𝑂 ∨ ∼𝑄6 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 )7 ∼𝑃 ∨ ∼𝑃8 ∼𝑃9 ∼∼𝑅
10 𝑅Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 43/109
Pruebas formales
Ejercicio (continuación)
1 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄)2 𝑄 ⊃ 𝑂3 ∼𝑅 ⊃ 𝑃 /∴ 𝑅4 ∼𝑄 ∨ 𝑂 Impl 25 𝑂 ∨ ∼𝑄 Com 46 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 ) Trans 17 ∼𝑃 ∨ ∼𝑃 CD 6, 48 ∼𝑃 Taut 79 ∼∼𝑅 MT 3, 8
10 𝑅 DN 9
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 44/109
Pruebas formalesEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 62)La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado.Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa:
1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷
3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷)4 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷)5 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷6 𝐶 ⊃ ∼𝐷7 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷8 ∼(𝐶 ∧ 𝐷)9 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)
10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 45/109
Pruebas formalesEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 62)La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado.Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa:
1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷)4 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷)5 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷6 𝐶 ⊃ ∼𝐷7 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷8 ∼(𝐶 ∧ 𝐷)9 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)
10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 46/109
Pruebas formales
Ejercicio (continuación)
1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷
3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷) Trans 14 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷) DN 35 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷 Exp 46 𝐶 ⊃ ∼𝐷 Taut 57 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷 Impl 68 ∼(𝐶 ∧ 𝐷) DM 79 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) Equiv 2
10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 DS 9, 8
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 47/109
Pruebas formales
Ejercicio (continuación)
1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷) Trans 14 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷) DN 35 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷 Exp 46 𝐶 ⊃ ∼𝐷 Taut 57 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷 Impl 68 ∼(𝐶 ∧ 𝐷) DM 79 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) Equiv 2
10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 DS 9, 8
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 48/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑁 ⊃ 𝑂 /∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0
2 ∼𝑁 ∨ 𝑂 Impl 13 (∼𝑁 ∨ 𝑂) ∨ ∼𝑃 Add 24 ∼𝑃 ∨ (∼𝑁 ∨ 𝑂) Com 35 (∼𝑃 ∨ ∼𝑁) ∨ 𝑂 Assoc. 46 ∼(𝑃 ∧ 𝑁) ∨ 𝑂 DM 57 ∼(𝑁 ∧ 𝑃) ∨ 𝑂 Com 68 (𝑁 ∧ 𝑃) ⊃ 0 Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 49/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑁 ⊃ 𝑂 /∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 02 ∼𝑁 ∨ 𝑂 Impl 13 (∼𝑁 ∨ 𝑂) ∨ ∼𝑃 Add 24 ∼𝑃 ∨ (∼𝑁 ∨ 𝑂) Com 35 (∼𝑃 ∨ ∼𝑁) ∨ 𝑂 Assoc. 46 ∼(𝑃 ∧ 𝑁) ∨ 𝑂 DM 57 ∼(𝑁 ∧ 𝑃) ∨ 𝑂 Com 68 (𝑁 ∧ 𝑃) ⊃ 0 Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 50/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆 /∴ 𝑄 ⊃ 𝑆
2 ∼(𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆 Impl 1
3 (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) ∨ 𝑆 DM 2
4 𝑆 ∨ (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) Com 3
5 (𝑆 ∨ ∼𝑄) ∧ (𝑆 ∨ ∼𝑅) Dist 4
6 𝑆 ∨ ∼𝑄 Simp 5
7 ∼𝑄 ∨ 𝑆 Com 6
8 𝑄 ⊃ 𝑆 Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 51/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆 /∴ 𝑄 ⊃ 𝑆2 ∼(𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆 Impl 1
3 (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) ∨ 𝑆 DM 2
4 𝑆 ∨ (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) Com 3
5 (𝑆 ∨ ∼𝑄) ∧ (𝑆 ∨ ∼𝑅) Dist 4
6 𝑆 ∨ ∼𝑄 Simp 5
7 ∼𝑄 ∨ 𝑆 Com 6
8 𝑄 ⊃ 𝑆 Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 52/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑇 ⊃ 𝑈
2 ∼𝑇 ∨ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) Impl 1
3 ∼𝑇 ∨ ∼(∼𝑈 ∨ 𝑉 ) Impl 2
4 ∼𝑇 ∨ (∼∼𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DM 3
5 ∼𝑇 ∨ (𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DN. 4
6 (∼𝑇 ∨ 𝑈) ∧ (∼𝑇 ∨ ∼𝑉 ) Dist 5
7 ∼𝑇 ∨ 𝑈 Simp 6
8 𝑇 ⊃ 𝑈 Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 53/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑇 ⊃ 𝑈2 ∼𝑇 ∨ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) Impl 1
3 ∼𝑇 ∨ ∼(∼𝑈 ∨ 𝑉 ) Impl 2
4 ∼𝑇 ∨ (∼∼𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DM 3
5 ∼𝑇 ∨ (𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DN. 4
6 (∼𝑇 ∨ 𝑈) ∧ (∼𝑇 ∨ ∼𝑉 ) Dist 5
7 ∼𝑇 ∨ 𝑈 Simp 6
8 𝑇 ⊃ 𝑈 Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 54/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
3 ∼𝐸 ∨ 𝐹 Impl 1
4 ∼𝐸 ∨ 𝐺 Impl 2
5 (∼𝐸 ∨ 𝐹) ∧ (∼𝐸 ∨ 𝐺) Conj 3, 4
6 ∼𝐸 ∨ (𝐹 ∧ 𝐺) Dist
7 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Impl 6
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 55/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)3 ∼𝐸 ∨ 𝐹 Impl 1
4 ∼𝐸 ∨ 𝐺 Impl 2
5 (∼𝐸 ∨ 𝐹) ∧ (∼𝐸 ∨ 𝐺) Conj 3, 4
6 ∼𝐸 ∨ (𝐹 ∧ 𝐺) Dist
7 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Impl 6
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 56/109
Nuevas reglas de demostración
Regla de demostración condicionalRegla de demostración indirecta
Observación: Copi [1998] presenta la regla de demostración condicionalgradualmente. En § 3.5 presenta una primera versión de la regla y en § 3.8presenta la versión general de la regla llamándola regla de demostracióncondicional reforzada. Nuestra presentación corresponde a la versióngeneral de la regla y ésta será la versión evaluada.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 57/109
Nuevas reglas de demostración
Regla de demostración condicionalRegla de demostración indirecta
Observación: Copi [1998] presenta la regla de demostración condicionalgradualmente. En § 3.5 presenta una primera versión de la regla y en § 3.8presenta la versión general de la regla llamándola regla de demostracióncondicional reforzada. Nuestra presentación corresponde a la versióngeneral de la regla y ésta será la versión evaluada.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 58/109
Regla de demostración condicionalIdeaAdicionar supuestos con alcance limitado.
Descarga de supuestosEs necesario descargar cada supuesto adicionado.
Regla de demostración condicional
𝐴 ACP
⋮𝐶
𝐴 ⊃ 𝐶 CP
CP: Conditional ProofACP: Assumption for Conditional Proof
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 59/109
Regla de demostración condicionalIdeaAdicionar supuestos con alcance limitado.
Descarga de supuestosEs necesario descargar cada supuesto adicionado.
Regla de demostración condicional
𝐴 ACP
⋮𝐶
𝐴 ⊃ 𝐶 CP
CP: Conditional ProofACP: Assumption for Conditional Proof
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 60/109
Regla de demostración condicionalIdeaAdicionar supuestos con alcance limitado.
Descarga de supuestosEs necesario descargar cada supuesto adicionado.
Regla de demostración condicional
𝐴 ACP
⋮𝐶
𝐴 ⊃ 𝐶 CP
CP: Conditional ProofACP: Assumption for Conditional Proof
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 61/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
3 𝐸 ACP
4 𝐹 MP 1, 3
5 𝐺 MP 2, 3
6 𝐹 ∧ 𝐺 Conj 4, 5
7 𝐸 ⊃ 𝐹 ∧ 𝐺 CP 3–6
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 62/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)3 𝐸 ACP
4 𝐹 MP 1, 3
5 𝐺 MP 2, 3
6 𝐹 ∧ 𝐺 Conj 4, 5
7 𝐸 ⊃ 𝐹 ∧ 𝐺 CP 3–6
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 63/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)3 𝐸 ACP
4 𝐹 MP 1, 3
5 𝐺 MP 2, 3
6 𝐹 ∧ 𝐺 Conj 4, 5
7 𝐸 ⊃ 𝐹 ∧ 𝐺 CP 3–6
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 64/109
Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], pág. 75)Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 dela pág. 65.1 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)
2 𝑇 ∧ 𝑀 ACP3 𝑇 ⊃ 𝐸 Simp 14 (𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸) Com 15 𝑀 ⊃ 𝐿 Simp 46 𝑇 Simp 27 𝑀 ∧ 𝑇 Com 28 𝑀 Simp 79 𝐸 MP 3, 6
10 𝐿 MP 5, 811 𝐸 ∧ 𝐿 Conj 9, 1012 (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) CP 2–11
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 65/109
Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], pág. 75)Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 dela pág. 65.1 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)2 𝑇 ∧ 𝑀 ACP
3 𝑇 ⊃ 𝐸 Simp 14 (𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸) Com 15 𝑀 ⊃ 𝐿 Simp 46 𝑇 Simp 27 𝑀 ∧ 𝑇 Com 28 𝑀 Simp 79 𝐸 MP 3, 6
10 𝐿 MP 5, 811 𝐸 ∧ 𝐿 Conj 9, 1012 (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) CP 2–11
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 66/109
Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], pág. 75)Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 dela pág. 65.1 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)2 𝑇 ∧ 𝑀 ACP3 𝑇 ⊃ 𝐸 Simp 14 (𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸) Com 15 𝑀 ⊃ 𝐿 Simp 46 𝑇 Simp 27 𝑀 ∧ 𝑇 Com 28 𝑀 Simp 79 𝐸 MP 3, 6
10 𝐿 MP 5, 811 𝐸 ∧ 𝐿 Conj 9, 1012 (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) CP 2–11
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 67/109
Regla de demostración condicionalLa regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8
10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 68/109
Regla de demostración condicionalLa regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)
3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8
10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 69/109
Regla de demostración condicionalLa regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP
4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8
10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 70/109
Regla de demostración condicionalLa regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP
5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8
10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 71/109
Regla de demostración condicionalLa regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8
10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 72/109
Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84)Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validezdel siguiente argumento:1 (𝐸 ∨ 𝐹) ⊃ 𝐺2 𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽) /∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼)
3 𝐸 ACP4 𝐸 ∨ 𝐹 Add 35 𝐺 MP 1, 46 𝐸 ⊃ 𝐺 CP 3–57 𝐻 ACP8 𝐼 ∧ 𝐽 MP 2, 79 𝐼 Simp 810 𝐻 ⊃ 𝐼 CP 7–911 (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼) Conj 6, 10
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 73/109
Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84)Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validezdel siguiente argumento:1 (𝐸 ∨ 𝐹) ⊃ 𝐺2 𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽) /∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼)3 𝐸 ACP4 𝐸 ∨ 𝐹 Add 35 𝐺 MP 1, 46 𝐸 ⊃ 𝐺 CP 3–57 𝐻 ACP8 𝐼 ∧ 𝐽 MP 2, 79 𝐼 Simp 810 𝐻 ⊃ 𝐼 CP 7–911 (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼) Conj 6, 10
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 74/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 4, pág. 84)Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validezdel siguiente argumento:
1 𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆)2 (𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈)3 (𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑄 ∨ 𝑉
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 75/109
Regla de demostración condicionalEjercicio (continuación)
1 𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆)2 (𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈)3 (𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 )
∴ 𝑄 ∨ 𝑉
4 ∼𝑄 ACP5 𝑅 ⊃ 𝑆 DS 1, 46 𝑅 ACP7 𝑆 MP 5, 68 𝑅 ∧ 𝑆 Conj 6, 79 𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆) CP 6-810 𝑇 ∨ 𝑈 MP 2, 911 𝑇 ⊃ 𝑄 Simp 312 ∼𝑇 MT 11, 413 𝑈 DS 10, 1214 (𝑈 ⊃ 𝑉 ) ∧ (𝑇 ⊃ 𝑄) Com 315 𝑈 ⊃ 𝑉 Simp 1416 𝑉 MP 15, 1317 ∼𝑄 ⊃ 𝑉 CP 4–1618 ∼∼𝑄 ∨ 𝑉 Impl 1719 𝑄 ∨ 𝑉 DN 18Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 76/109
Regla de demostración condicional y argumentos¿Por qué empleando la regla de demostración condicional, podemosdemostramos el argumento
{𝑃} /∴ 𝐴 ⊃ 𝐶
donde {𝑃} representa un conjunto de premisas, por medio de la prueba
{𝑃}𝐴 ACP
⋮𝐶
𝐴 ⊃ 𝐶 CP
?
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 77/109
Regla de demostración condicional y argumentosJustificación
𝑃𝐴∴ 𝐶
(𝑃 ∧ 𝐴) ⊃ 𝐶
𝑃 ⊃ (𝐴 ⊃ 𝐶)𝑃∴ 𝐴 ⊃ 𝐶
condicional asociado
Exportación
condicional asociado
CP
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 78/109
Regla de demostración condicionalMás poder de demostraciónLa regla de demostración condicional aumenta el conjunto de argumentosque podemos demostrar con nuestras reglas de inferencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 79/109
Regla de demostración indirectaPreliminaresA partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión.
EjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑝2 ∼𝑝 /∴ 𝑞3 𝑝 ∨ 𝑞 Add 1
4 𝑞 DS 3, 2
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 80/109
Regla de demostración indirectaPreliminaresA partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión.
EjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑝2 ∼𝑝 /∴ 𝑞
3 𝑝 ∨ 𝑞 Add 1
4 𝑞 DS 3, 2
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 81/109
Regla de demostración indirectaPreliminaresA partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión.
EjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑝2 ∼𝑝 /∴ 𝑞3 𝑝 ∨ 𝑞 Add 1
4 𝑞 DS 3, 2
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 82/109
Regla de demostración indirectaRegla de demostración indirecta
𝐶 AIP
⋮𝑞 ∧ ∼𝑞 (contradicción)
∼𝐶 IP
IP: Indirect ProofAIP: Assumption for Indirect Proof
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 83/109
Regla de demostración indirecta
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 78)Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumentoempleando la regla de demostración indirecta:
1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 84/109
Regla de demostración indirectaEjercicio (continuación)1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺
3 ∼𝐺 AIP4 ∼𝐺 ∨ 𝐻 Add 35 𝐷 ∧ 𝐹 MP 2, 46 𝐹 ∧ 𝐷 Com 57 𝐹 Simp 68 𝐷 Simp 59 𝐷 ∨ 𝐸 Add 8
10 𝐹 ⊃ 𝐺 MP 1, 911 ∼𝐹 MT 10, 312 𝐹 ∧ ∼𝐹 Conj 7, 1113 ∼∼𝐺 IP 3–1214 𝐺 DN 14
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 85/109
Regla de demostración indirectaEjercicio (continuación)1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺3 ∼𝐺 AIP
4 ∼𝐺 ∨ 𝐻 Add 35 𝐷 ∧ 𝐹 MP 2, 46 𝐹 ∧ 𝐷 Com 57 𝐹 Simp 68 𝐷 Simp 59 𝐷 ∨ 𝐸 Add 8
10 𝐹 ⊃ 𝐺 MP 1, 911 ∼𝐹 MT 10, 312 𝐹 ∧ ∼𝐹 Conj 7, 1113 ∼∼𝐺 IP 3–1214 𝐺 DN 14
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 86/109
Regla de demostración indirectaEjercicio (continuación)1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺3 ∼𝐺 AIP4 ∼𝐺 ∨ 𝐻 Add 35 𝐷 ∧ 𝐹 MP 2, 46 𝐹 ∧ 𝐷 Com 57 𝐹 Simp 68 𝐷 Simp 59 𝐷 ∨ 𝐸 Add 8
10 𝐹 ⊃ 𝐺 MP 1, 911 ∼𝐹 MT 10, 312 𝐹 ∧ ∼𝐹 Conj 7, 1113 ∼∼𝐺 IP 3–1214 𝐺 DN 14
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 87/109
Regla de demostración indirectaLas reglas de demostración condicional y demostración indirecta se puedenusar simultáneamente.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 88/109
Regla de demostración indirectaEjemplo (Hurley [2012], pág. 434)Demostrar el siguiente argumento.1 𝐿 ⊃ [∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂)] /∴ 𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃)2 ∼𝑁 ∧ 𝑃3 𝐿 ACP4 ∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂) MP 1,35 ∼𝑀 AIP6 𝑁 ∧ 𝑂 MP 4,57 𝑁 Simp 68 ∼𝑁 Simp 29 𝑁 ∧ ∼𝑁 Conj 7,8
10 ∼∼𝑀 IP 5-911 𝑀 DN 1012 𝑃 ∧ ∼𝑁 Com 213 𝑃 Simp 1214 𝑀 ∧ 𝑃 Conj 11, 1315 𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃) CP 3–14
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 89/109
Regla de demostración indirecta y argumentos¿Por qué empleando la regla de demostración indirecta, podemosdemostramos el argumento
{𝑃} /∴ 𝐶
por medio de la prueba
{𝑃}∼𝐶 AIP
⋮𝑞 ∧ ∼𝑞 (contradicción)
∼∼𝐶 IP
𝐶 DN
?Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 90/109
Regla de demostración indirecta y argumentosJustificación
𝑃∼𝐶∴ 𝐶⋮𝑞 ∧ ∼𝑞⋮𝐶
(𝑃 ∧ ∼𝐶) ⊃ 𝐶
𝑃 ⊃ (∼𝐶 ⊃ 𝐶)
𝑃 ⊃ (∼∼𝐶 ∨ 𝐶)
𝑃 ⊃ (𝐶 ∨ 𝐶)
𝑃 ⊃ 𝐶𝑃∴ 𝐶
condicional asociado
Exportación
Implicación material
Doble negación
Tautología
condicional asociado
IP
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 91/109
Demostración de tautologías
Tautología condicional (antecedente ⊃ consecuente)Prueba empleando la regla de demostración condicional:
𝐴 ACP
⋮𝐶
𝐴 ⊃ 𝐶 CP
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 92/109
Demostración de tautologías
Tautología bicondicional (𝐴 ≡ 𝐵)Prueba empleando la regla de demostración condicional:
𝐴 ACP⋮𝐵
m 𝐴 ⊃ 𝐵 CP𝐵 ACP⋮𝐴
n 𝐵 ⊃ 𝐴 CPn+1 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊃ 𝐴) Conj m,n
𝐴 ≡ 𝐵 Equiv n+1
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 93/109
Demostración de tautologías
Tautología (𝑇 )Prueba empleando la regla de demostración indirecta:
∼𝑇 AIP⋮𝑞 ∧ ∼𝑞 (contradicción)
n ∼∼𝑇 IP𝑇 DN n
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 94/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶).
1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) Impl 24 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) Impl 35 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) DM 46 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DM 57 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DN 68 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) DN 7⋮ ⋮
15 𝐵 ∧ ∼𝐵16 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] IP 1-1517 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶) DN 16
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 95/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶).1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) Impl 24 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) Impl 35 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) DM 46 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DM 57 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DN 68 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) DN 7⋮ ⋮
15 𝐵 ∧ ∼𝐵16 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] IP 1-1517 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶) DN 16
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 96/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶).
1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐴 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼∼𝐴 ∨ 𝐶) Impl 24 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) DM 35 ∼∼𝐴 ∧ [∼𝐵 ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶)] Assoc 46 ∼∼𝐴 ∧ [(∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) ∧ ∼𝐵] Com 57 ∼∼𝐴 ∧ [∼∼∼𝐴 ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵)] Assoc 68 (∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵) Assoc 79 ∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴 Simp 8
10 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] IP 1-911 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶) DN 10
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 97/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶).1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐴 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼∼𝐴 ∨ 𝐶) Impl 24 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) DM 35 ∼∼𝐴 ∧ [∼𝐵 ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶)] Assoc 46 ∼∼𝐴 ∧ [(∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) ∧ ∼𝐵] Com 57 ∼∼𝐴 ∧ [∼∼∼𝐴 ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵)] Assoc 68 (∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵) Assoc 79 ∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴 Simp 8
10 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] IP 1-911 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶) DN 10
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 98/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵).
1 ∼(𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)) AIP2 ∼𝐴 ∧ ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) DM 13 ∼𝐴 Simp 24 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼𝐴 Conm 25 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) Simp 46 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) Impl 57 ∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵 DM 68 ∼∼𝐴 Simp 79 𝐴 DN 8
10 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 3, 911 ∼∼[𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)] IP 1-1012 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵) DN 11
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 99/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵).1 ∼(𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)) AIP2 ∼𝐴 ∧ ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) DM 13 ∼𝐴 Simp 24 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼𝐴 Conm 25 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) Simp 46 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) Impl 57 ∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵 DM 68 ∼∼𝐴 Simp 79 𝐴 DN 8
10 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 3, 911 ∼∼[𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)] IP 1-1012 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵) DN 11
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 100/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostracióncondicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .
1 𝑃 ACP
2 ∼∼𝑃 DN 1
3 𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 CP 1-2
4 ∼∼𝑃 ACP
5 𝑃 DN 4
6 ∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 CP 4-5
7 (𝑃 ⊃ ∼∼𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃) Conj. 3, 6
8 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 Equiv 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 101/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostracióncondicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .
1 𝑃 ACP
2 ∼∼𝑃 DN 1
3 𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 CP 1-2
4 ∼∼𝑃 ACP
5 𝑃 DN 4
6 ∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 CP 4-5
7 (𝑃 ⊃ ∼∼𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 ) Conj. 3, 6
8 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 Equiv 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 102/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .
1 ∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃) AIP2 ∼[(𝑃 ⊃ ∼∼𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃)] Equiv 13 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃)] DN 24 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑃)] DN 35 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) ∨ ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) DM 46 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) Taut 57 ∼(∼𝑃 ∨ 𝑃) Impl 68 ∼∼𝑃 ∧ ∼𝑃 DM 79 𝑃 ∧ ∼𝑃 DN 8
10 ∼∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃) IP 1-911 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 DN 10
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 103/109
Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .1 ∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃) AIP2 ∼[(𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 )] Equiv 13 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃)] DN 24 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑃 )] DN 35 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) ∨ ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) DM 46 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) Taut 57 ∼(∼𝑃 ∨ 𝑃) Impl 68 ∼∼𝑃 ∧ ∼𝑃 DM 79 𝑃 ∧ ∼𝑃 DN 8
10 ∼∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃 ) IP 1-911 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 DN 10
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 104/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)].
1 (𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴) AIP2 𝐴 ⊃ ∼𝐴 Simp 13 (∼𝐴 ⊃ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊃ ∼𝐴) Com 14 ∼𝐴 ⊃ 𝐴 Simp 35 ∼𝐴 ∨ ∼𝐴 Impl 26 ∼𝐴 Taut 57 𝐴 MP 4, 68 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 7, 69 ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)] IP 1-8
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 105/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)].1 (𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴) AIP2 𝐴 ⊃ ∼𝐴 Simp 13 (∼𝐴 ⊃ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊃ ∼𝐴) Com 14 ∼𝐴 ⊃ 𝐴 Simp 35 ∼𝐴 ∨ ∼𝐴 Impl 26 ∼𝐴 Taut 57 𝐴 MP 4, 68 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 7, 69 ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)] IP 1-8
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 106/109
Reglas de demostración condicional e indirectaPregunta¿Por qué la regla de demostración indirecta es un caso particular de laregla de demostración condicional?
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 107/109
Método de deducción y tautologías
Teorema (Completeness (completitud))Toda tautología puede demostrarse por el método de deducción.
Teorema (Soundness (validez))Si un argumento es válido empleando el método de deducción, entonces sucondicional asociado es tautológico.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 108/109
Referencias
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 109/109
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