la-vane

Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales y

forman el mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El

conjunto de los nmeros complejos se designa con la notacin , siendo el conjunto de los nmeros reales se cumple que

( est estrictamente contenido en ). Los nmeros complejos incluyen

todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo nmero

complejo puede representarse como la suma de un nmero real y

un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria,

que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra, anlisis,

as como de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable

compleja, ecuaciones diferenciales, facilitacin de clculo de integrales, en

aerodinmica, hidrodinmica y electromagnetismo entre otras de gran

importancia. Adems los nmeros complejos se utilizan por doquier en

matemticas, en muchos campos de la fsica (notoriamente en la mecnica

cuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y

las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

electromagnticas y la corriente elctrica.

En matemticas, estos nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se

consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo

contiene a los nmeros reales y los imaginarios puros. Una propiedad

importante que caracteriza a los nmeros complejos es el teorema

fundamental del lgebra pero que se demuestra an en un curso de

variable compleja , que afirma que cualquier ecuacin algebraica de

grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los anlogos

del clculo diferencial e integral con nmeros complejos reciben el nombre

de variable compleja o anlisis complejo.

El primero en usar los nmeros complejos fue el matemtico

italiano Girolamo Cardano (15011576) quien los us en la frmula para

resolver las ecuaciones cbicas. El trmino nmero complejo fue

introducido por el gran matemtico alemn Carl Friedrich Gauss (1777

1855) cuyo trabajo fue de importancia bsica en lgebra, teora de los

nmeros, ecuaciones diferenciales, geometra diferencial, anlisis

complejo, anlisis numrico y mecnica terica, tambin abri el camino

para el uso general y sistemtico de los nmeros complejos.

Se define cada nmero complejo z como un par ordenado de nmeros

reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte

real de z, se denota ; el segundo elemento b se define

como parte imaginaria de z, se denota . Luego en el conjunto

de los nmeros complejos, se definen tres operaciones y la relacin de

igualdad:

Suma

Producto por escalar

Multiplicacin

Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las

siguientes:

Resta

Divisin

Al nmero se denomina nmero complejo real y como entre el

conjunto de estos y el conjunto de los nmeros reales se establece un

isomorfismo, se asume que todo nmero real es un nmero complejo. Al

nmero complejo se denomina nmero imaginario puro. Puesto

que se dice que un nmero complejo es la suma de

un nmero real con un nmero imaginario puro.