la trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y...

Trigonometría

Trigonometría

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo.

Un poquito de historia

Trigonometría es una palabra de etimología griega. Se compone de:

Trigonon.- que significa triángulo y Metria.- que significa medición.

Entonces Trigonometría significa etimológicamente, medida de triángulos.

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Importancia de la Trigonometría

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo: algún lado, algún ángulo, podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo: algún lado, algún ángulo, podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P.

Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA

SEMIRRECTA SEMIRRECTA

El punto P es el origen de cada una de las semirrectas.

P

Definimos semirrecta como:

La porción de recta limitada por un punto

SEMIRECTA

Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen (vértice)

ÁNGULO

Vértice

Lado

Lado

ANGULO: Es la abertura formada por dos semirectas (lados) que parten de un punto común llamado vértice

Vértice

Este es el ángulo AOB

Este es el mismo ángulo AOB sin importar si se prolongan más allá las rectas que lo forman.

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Medida de ángulos

Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)

Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)

Radianes (En la calculadora MODE RAD)

Ángulo completo

Ángulo llano

Ángulo recto

Un grado

Un minuto

SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”

CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s

RADIANES 2 /2

SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)

o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1

'o 601 "' 601 "o 36001

1vuelta=o360

EQUIVALENCIAS

Hay 360 ángulos como este entre dos divisiones consecutivas

Este ángulo, en particular, se dice que mide 1º (un grado), y que corresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden construir en la circunferencia.

Dividamos el perímetro de una circunferencia en 360 partes iguales...

GRADOS SEXAGESIMALES

SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)

g1 GRADO : MINUTO : m1 SEGUNDO :

s1

g m1 100 m s1 100

1vuelta=g400

EQUIVALENCIAS

SISTEMA RADIAL(SISTEMA CIRCULAR)

UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.

.. 1rad

1vuelta 2 rad o ' ''1rad 57 17 45

R

R

R)

EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.

A todo esto, ¿qué es el número p? ¿cuánto vale?

p = 3.141592653 (aproximadamente, faltan decimales)

0 1 2 3 4p

GRADO

MINUTO

SEGUNDO

60

60

MULTIPLICAR

DIVIDIR

34º 25’ 48’’

Esta medida está expresada en FORMA COMPLEJA, porque está expresada en distintas unidades.

Estas otras medidas también están expresadas en FORMA COMPLEJA.

14º 42’ 27’ 54’’

12.543”

Esta medida está expresada en FORMA INCOMPLEJA, porque está expresada en una sola unidad.

Estas otras medidas también están expresadas en FORMA INCOMPLEJA.

23º 543’

PASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJO

Vamos a expresar 425’ en forma compleja

425’ 6005 7

425’ =

son gradosson minutos

7º 5’

Vamos a expresar 64.252” en forma compleja

64252 ” 6010 4 05 7

0 20

560

174 0 705

2

son gradosson minutos

son segundos

64.252” = 17º 50’ 52”

PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO

Vamos a expresar 12º 48’ 54” en incomplejo de segundos

12º a segundos 12º . 60 . 60 = 43.200 “

48’ a segundos 48’ . 60 = 2.880 “

54” a segundos 54” = 54 “

46.134 “

Luego 12º 48’ 54” = 46.134”

Equivalencia de ciertos ángulo

¿Cómo es la conversión de grados a radianes?

360º = 2 p radianes

si esta igualdad la dividimos por 360 nos queda que

360 x 1º = 2 p radianes

1º =360

2p radianes180

p radianes=

Y por supuesto

1 radián = 180p

grados

Sabemos que

1º180

p radianes= = 0,01745 radianes

Por lo tanto si un ángulo mide 37º su conversión a radianes es de:

37º = 37 x 0.001745 radianes = 0,6457 radianes

1 radián = 180p

grados= 57,295 grados

Por lo tanto si un ángulo mide 1,5 radianes su conversión a grados es

1,5 radianes = 1,5 x 57,295 = 85.94 grados = 85,94º

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Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 210º

S. centesimal 50g 60g 100g

Radianes 2π/3 5π/6

S.sexagesimal 140º 240º

S. centesimal 350g 90g 25g

Radianes 7π/8 3

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Ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º

S. centesimal 66g 66m

66s 50g 133g 33m

33s 60g 233g 33m

33s 100g 166g 66m

66s

Radianes

S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14”

S. centesimal 155g 55m

55s 350g 175g 90g 266g 66m

66s 25g 190g 98m

59s

Radianes 3

3

4

10

36

7

2

3

26

5

8

718

144

720

93

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CLASIFICACIÓN

DE LOS

ÁNGULOS

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOEL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.

SENTIDO DE GIRO HORARIO

SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

OA : LADO INICIAL

)O

A

B

<

)<

POSITIVO

)<

NEGATIVO

OB : LADO FINALO: VÉRTICE

ÁNGULO AGUDO

Mide más de 0º y menos de 90º

ÁNGULO RECTO

Ángulo que mide 90º. Se simboliza, en la figura, con un pequeño cuadrado donde están ubicados los 90º

Se dice que las líneas son perpendiculares.

ÁNGULO OBTUSO

Mide más de 90º y menos de 180º

ÁNGULO LLANO

Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos

El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.

ÁNGULO COMPLETO

Mide 360º

RELACIONES

ENTRE

ÁNGULOS

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Son los que suma 90º

ab

a + b = 90º

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Son los que suma 180º

ab

a + b = 180º

ÁNGULOS CONSECUTIVOS

Son los que tienen el vértice y un lado comunes.

1

2

El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos

ÁNGULOS ADYACENTES

Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta.

1

2

El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180º

ÁNGULOS ADYACENTES

Son los que tienen un lado común y el otro lado sobre una misma recta

Suman 180º

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

ab

Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo

a = b

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Ángulos Correspondientes

< 1 y < 5

< 2 y < 6

< 3 y < 7

< 4 y < 8

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Ángulos Alternos Internos

< 3 y < 6

< 4 y < 5

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Ángulos Alternos Externos

< 1 y < 8

< 2 y < 7

180º

90º

Suma de ángulos

AOB + BOC =

COB + BOA =

DOA = BOC

DOB = AOC

120º ?

? ?

???

?

Resolver

Si a = b/2 ¿cuánto valen los otros ángulos?

ab

? ?

???

?