la normal teoria de probabilidades
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Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-1
Capítulo 6
La Distribución Normal
Estadística para Administración4a Edición
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-2
Objetivos de Aprendizaje
En este capítulo, usted aprenderá: A calcular probabilidades de la distribución
normal A interpretar los gráficos de probabilidad normal
para determinar si un grupo de datos se distribuye aproximadamente normal
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-3
Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones de Probabilidad
continua
Binomial
Poisson
Distribuciones de Probablidad
Distribuciones de probabilidad
discreta
Normal
C. 5 C. 6
Exponencial
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-4
Distribuciones de Probabilidad Continua
Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo (puede tomar un número incontable de valores), por ejemplo: Espesor de un elemento Tiempo requerido para completar una tarea Temperatura de una solución Altura, medida en centímetros
Estas variables pueden tomar cualquier valor, dependiendo solo de la habilidad de medir exactamente.
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-5
La Distribución Normal
Distribuciones de Probabilidad
Normal
Distribuciones de probabilidad
continuas
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-6
La Distribución Normal
‘Forma Acampanada’ Simétrica Media, Mediana y Moda
son Iguales
La ubicación se determina por la media, μ
El ancho se determina por la desviación estándar, σ
La variable aleatoria tiene un rango teórico infinito: - a +
Media = Mediana = Moda
X
f(X)
μ
σ
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-7
Variando los parámetros μ y σ, podemos obtener diferentes distribuciones de probabilidad Normal
Familias de Distribución Normal
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-8
Forma de la Distribución Normal
X
f(X)
μ
σ
Variando μ cambia la distribución a la izquierda o a la derecha.
Variando σ se amplía o se angosta el ancho.
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-9
Función de Densidad de Probabilidad de la Normal
La fórmula de la función de densidad para la distribución Normal es:
Donde e = la constante matemática 2.71828
π = la constante matemática 3.14159
μ = la media poblacional
σ = la desviación estándar poblacional
X = cualquier valor de la variable aleatoria continua
2μ)/σ](1/2)[(Xe2π
1f(X)
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-10
La Normal Estándar
Cualquier distribución normal (con cualquier combinación de media y desviación estándar) puede ser transformada en una distribución normal estándar (Z)
Para ello se necesita transformar las unidades de X en unidades de Z
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-11
Transformación a la Distribución Normal Estándar
Para Transformar X a la normal estándar (la distribución “Z”) se resta la media de X y se divide por su desviación estándar:
σ
μXZ
La distribución Z siempre tendrá media = 0 y desviación estándar = 1
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-12
La función de densidad de probabilidad de la Normal estándar
La fórmula para la función de densidad de probabilidad de la normal estándar es:
Donde e = la constante matemática aproximada por 2.71828
π = la constante matemática aproximada por 3.14159
Z = cualquier valor de la distribución normal estándar
2(1/2)Ze2π
1f(Z)
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-13
La Distribución Normal Estándar
También conocida como distribución “Z” Su media es 0 Su desviación estándar es 1
Z
f(Z)
0
1
Por encima de la media los valores de Z son positivos. Por debajo de la media los valores de Z son negativos.
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-14
Ejemplo
Si X está distribuida normalmente con media 100 y desviación estándar 50, el valor de Z para X = 200 es
Esto significa que X = 200 está a 2 desviaciones estándar por encima de la media 100 (2 incrementos de 50 unidades).
2.050
100200
σ
μXZ
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-15
Comparación de las unidades de X y Z
Z100
2.00200 X
Note que la distribución es la misma, solo la escala ha cambiado. Se puede expresar el problema en las unidades originales (X) o en unidades estandarizadas de (Z)
(μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-16
Probabilidades de la Normal
Probability is the area under thecurve!
a b X
f(X) P a X b( )≤
La Probabilidad es medida por el área bajo la curva
≤
P a X b( )<<=(Note que la probabilidad de cualquier valor individual es cero
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-17
f(X)
Xμ
Probabilidades como áreas bajo la curva
0.50.5
El area total bajo la curva es 1.0, y por ser simétrica, la mitad está por encima de la media y la otra mitad por debajo.
1.0)XP(
0.5)XP(μ 0.5μ)XP(
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-18
Regla empírica
μ ± 1σ contiene alrededor del 68% de los datos
f(X)
Xμ μ+1σμ-1σ
¿Qué se puede decir acerca de la distribución de los valores alrededor de la media? Hay algunas reglas generales:
σσ
68.26%
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-19
La regla empírica
μ ± 2σ contiene el 95% de las X’s
μ ± 3σ contiene el 99.7% de las X’s
xμ
2σ 2σ
xμ
3σ 3σ
95.44% 99.73%
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-20
La tabla de la Normal Estándar
La tabla de la Normal estándar acumulada en el texto guía (Tabla apéndice E.2) da la probabilidad de los menores que para un valor deseado de Z (es decir, desde menos infinito hasta Z)
Z0 2.00
0.9772Ejemplo:
P(Z < 2.00) = 0.9772
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-21
La tabla Normal Estándar
El valor dentro de la tabla da la probabilidad de Z = hasta el valor deseado de Z
.9772
2.0P(Z < 2.00) = 0.9772
La fila da el valor de Z con su primer punto decimal
La columna da el valor del segundo punto decimal para Z
2.0
.
.
.
Z 0.00 0.01 0.02 …
0.0
0.1
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-22
Procedimiento general para encontrar probabilidades
Dibuje la curva normal para el problema en términos de X
Transforme los valores de X a valores de Z
Use la tabla de la Normal Estándar
Para encontrar P(a < X < b) donde X está distribuida normalmente:
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-23
Ejemplo
Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0
Encuentre P(X < 8.6)
X
8.6
8.0
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-24
Entonces:
Z0.12 0X8.6 8
μ = 8 σ = 10
μ = 0σ = 1
Ejemplo
0.125.0
8.08.6
σ
μXZ
P(X < 8.6) P(Z < 0.12)
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-25
Z
0.12
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Ejemplo
.5478.02
0.1 .5478
Una porción de la tabla Normal Estándar
0.00
= P(Z < 0.12)P(X < 8.6)
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-26
Cálculo de probabilidades de cola superior
Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.
Encuentre P(X > 8.6)
X
8.6
8.0
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-27
P(X > 8.6)…
Z
0.12
0Z
0.12
0.5478
0
1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
Probabilidades cola superior
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-28
Probabilidades entre dos valores
Si X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0. Encuentre P(8 < X < 8.6)
P(8 < X < 8.6)
= P(0 < Z < 0.12)
Z0.12 0
X8.6 8
05
88
σ
μXZ
0.125
88.6
σ
μXZ
Calcule los valores Z:
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-29
Z
0.12
Probabilidades entre 2 valores
0.0478
0.00
= P(0 < Z < 0.12)P(8 < X < 8.6)
= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)= 0.5478 - .5000 = 0.0478
0.5000
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
.02
0.1 .5478
Porción de la Tabla Normal Estándar
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-30
Si X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.
Encuentre P(7.4 < X < 8)
X
7.48.0
Probabilidades de cola inferior
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-31
Probabilidades de cola inferior
P(7.4 < X < 8)…
X7.4 8.0
P(7.4 < X < 8)
= P(-0.12 < Z < 0)
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12)
= 0.5000 - 0.4522 = 0.0478
0.0478
0.4522
Z-0.12 0
La Normal es simétrica, luego la probabilidad es la misma que para P(0 < Z < 0.12)
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-32
Pasos para encontrar el valor de X para una probabilidad conocida:1. Encuentre el valor de Z para la probabilidad conocida
2. Convierta a unidades de X usando la fórmula:
Cálculo del valor de X para una probabilidad conocida
ZσμX
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-33
Ejemplo
Si X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.
Encuentre el valor de X tal que solo el 20% de todos los valores estan por debajo de él
X? 8.0
0.2000
Z? 0
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-34
Ejemplo - continuación
El 20% es el área en la cola inferior que le corresponde un valor de Z de -0.84Z .03
-0.9 .1762 .1736
.2033
-0.7 .2327 .2296
.04
-0.8 .2005
Porción de la tabla Normal Estándar
.05
.1711
.1977
.2266
…
…
…
…X? 8.0
0.2000
Z-0.84 0
1. Encuentre el valor Z para la probabilidad conocida
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-35
2. Convierta a unidades de X usando la fórmula:
Ejemplo - continuación
80.3
0.5)84.0(0.8
ZσμX
Luego el 20% de los valores de la distribución con media 8.0 y desviación estándar 5.0 son menores que 3.80
X3.80 8.0
0.2000
Z-0.84 0
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-36
Evaluación de Normalidad
No todas las variables aleatorias continuas se distribuyen normal
Por lo cual es importante evaluar para un grupo de datos que tanto se aproximan a una distribución normal
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-37
Evaluación de Normalidad
Construya gráficas o diagramas Para tamaños pequeños o moderados de grupos de
datos, haga diagramas de tallos y hojas o construya gráficas de caja y bigotes y mire si muestran simetría
Para tamaños grandes de grupos de datos, haga histogramas de frecuencias y observe si lucen con forma acampanada
Calcule medidas descriptivas resumidas La media, mediana y moda tienen valores similares? El rango intercuartil es aproximadamente 1.33 σ? El rango de los datos es aproximadamente 6 σ?
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-38
Evaluando Normalidad en datos
Observe la distribución de los datos Aproximadamente 2/3 de los datos “caen” dentro
del intervalo de? Aproximadamente el 80% de los datos “caen”
dentro del intervalo de? Aproximadamente el 95% de los datos “caen”
dentro del intervalo de? Evalúe un gráfico de probabilidad normal
Luce el gráfico aproximadamente como una línea recta con pendiente positiva?
1
28.1
2
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-39
Gráfico de Probabilidad Normal
Gráfico de probabilidad normal Organice los datos en un arreglo ordenado
Encuentre sus valores correspondientes a los
cuantiles de la normal estándar
Grafique los pares de puntos en el eje de
coordenadas así: el valor observado en el eje vertical
y el cuantil de la normal estándar correspondiente en
el eje horizontal
Evalúe si el gráfico presenta evidencia de linealidad
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-40
Un gráfico de probabilidad normal para unos datos que provienen de una distribución normal debería ser approximadamente una línea recta:
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
Gráfico de probabilidad normal
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-41
Gráficos de probabilidad normal
Sesgada a la izq. Sesgada a la der.
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
Gráficos que no sean aproximadamente una línea recta, indican desviaciones de la distribución normal
Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-42
Resumen del capítulo
Se presentó la distribución normal como una distribución
importante dentro de las distribuciones de variables
aleatorias continuas
Se mostró como encontrar probabilidades para
distribuciones normales usando fórmulas y tablas
Se examinó como reconocer cuando una distribución es
aproximadamente normal
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