INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDADES El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la poca. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemticos de la corte. Con el tiempo estas tcnicas matemticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se contino con el estudio de nuevas metodologas que permitan maximizar el uso de la computacin en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los mrgenes de error en los clculos. A travs de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad: El enfoque clsico Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

El enfoque clsico de la probabilidad se basa en la suposicin de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra. Ejemplo: Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

El enfoque de frecuencia relativa Tambin llamado Enfoque Emprico, determina la probabilidad sobre la base de la proporcin de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposicin previa de

aleatoriedad. Porque la determinacin de los valores de probabilidad se basa en la observacin y recopilacin de datos. Ejemplo: Se ha observado que 9 de cada 50 vehculos que pasan por una esquina no tienen cinturn de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida cualquiera Cul ser la probabilidad de que detenga un vehculo sin cinturn de seguridad?

Tanto el enfoque clsico como el enfoque emprico conducen a valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento. El enfoque subjetivo Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposicin. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrir o no ocurrir esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal. Concepto de Probabilidad Se define como clculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenmeno ha de producirse, fundando la suposicin en el clculo, las estadsticas o la teora. El objetivo de esta prctica es realizar varios experimentos de probabilidad, anotar los resultados y posteriormente compararlos con los resultados tericos. Objetivos de las Probabilidades El objetivo fundamental de la probabilidad, es la de mostrar al alumno la importancia y utilidad del Mtodo Estadstico en el mbito econmicoempresarial. Con tal fin, el alumno deber aprender a manejar los mtodos y tcnicas ms adecuadas para el correcto tratamiento y anlisis de la informacin proporcionada por los datos que genera la actividad econmica. Para ello se comienza afianzando los conocimientos que el alumno ya posee de Estadstica Descriptiva, adems de algunos conceptos nuevos relacionados con este tema. El valor de la probabilidad

El valor ms pequeo que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrir. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A ) la probabilidad de noocurrencia de A, tenemos que:

PERMUTACIONES El nmero de permutaciones de n objetos es el nmero de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en trminos de orden. Permutaciones En n Objetos Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a: nPn = n! = (n) x (n-1) x x (2) x (1) Ejemplo Los cinco individuos que componen la direccin de una pequea empresa manufacturera sern sentados juntos en un banquete. Determinar el nmero de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos. Solucin n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 Permutaciones En Subgrupo De n Objetos El nmero de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a: nPr = n!

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(n-r)! Ejemplo

En relacin al ejemplo anterior, supongamos que slo a tres de los cinco directivos se les pedir representar a la compaa en el banquete. Cuntas diferentes posiciones sern posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos? Solucin n Pr = 5 P3 = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 60 ----------------------

(n - r)! (5 - 3)! COMBINACIONES

(2)(1)

En el caso de las combinaciones, lo importante es el nmero de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el nmero se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos. El nmero de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es igual a: nCr = n!

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r! (n-r)! Ejemplo Supongamos que se elegir a tres miembros de una pequea organizacin social con un total de diez miembros para que integren un comit. Cul es el nmero de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podra elegirse? Solucin nCr =10C3 = n! = 10! =109x87!=109x8=720= 120 ------------- --------- ------ ---

r(n - r)! 3!(103)! 3!x7!

32x1 6

Combinaciones representando la probabilidad En trminos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el nmero de combinaciones de resultados que incluyen ese evento en comparacin con el nmero total de combinaciones posibles. Ejemplo En referencia al anterior, del los 10 miembros, seis son mujeres y cuatro son hombres, Cul es la probabilidad de que de una eleccin aleatoria de los miembros del comit diera por resultado la seleccin de dos mujeres y un hombre? Nmero de comits con 2M y 1H = 6 C2 x 4 C1 = 6! x 4! = 6! x 4! = 15 x 4 = 60 2!(62)! 1!(41)! 2!(4!) 1!(3!)

Nmero total de combinaciones posibles = 10 C3 = 10! = 10! = (10)(9)(8) = 720 = 120

3!(10 - 3)!

3!(7!)

(3)(2)(1)

6

Probabilidad que sean 2H y 1M = P(2M y 1H) = 6 C2 x 4 C1 = 60 = 0.50 10 C3 Combinaciones DEFINICIN: Dados n elementos, el nmero de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados de r en r , se llaman combinaciones. Por ejemplo, sean cuatro elementos {a,b,c,d} . Los conjuntos, tomados de tres en tres, que se pueden formar con esos cuatro elementos son: {a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} y {b,c,d} es decir, en total hay 4 conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4 120

combinaciones posibles. Es importante notar la diferencia que existe entre una permutacin y una combinacin. En la permutacin lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinacin no, sino solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa el orden de los elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque se hayan escrito en diferente orden: {b,c,d} = {c,b,d} En el estudio matemtico de las combinaciones, lo que interesa saber es cuntas son, no cules son. A pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cules son para clarificar la idea de lo que significa combinaciones. FRMULA La frmula general para calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados de r en r , es pgina 30 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA I () ! !!nr n C rnr =

Ejemplo 1: Cuntos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles? Solucin: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que n=9 r=6 de manera que 96() 9! 84 6! 9 6 ! C== Ejemplo 2: Cuntas comits de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las cuales pueden ocupar todas cualquier puesto? Solucin: Se requiere una sola persona, de entre las 8 disponibles, para ocupar el cargo de presidente, y 3 de entre las siete que restan para ocupar el puesto de vocal. Se trata de un problema de composicin, ya que la combinacin total (el comit) se compone a su vez de varias subcombinaciones, por lo que, en este caso se tiene que 8 presidente 1 p p n r

= = 7 vocales 3 v v n r = = de manera que 8173()() 8! 7! 280 1! 8 1 ! 3! 7 3 ! CC== Hay 280 maneras de formas el comit. En problemas de composicin el resultado final no depende de que se inicie el clculo con la primera subcombinacin o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posibles para presidente se comienza con los vocales, se obtiene el mismo resultado. En efecto, COMBINACIONES pgina 31 n=8 8 vocales

3 v v n r = = n=5 5 presidente 1 p p n r = = de manera que 8351()() 8! 5! 280 3! 8 3 ! 1! 5 1 ! CC== Ejemplo 3: Una persona desea invitar a 5 de sus amigos entre un grupo de 8 amistades. De cuntas maneras puede hacerlo: a) en total;

b) si las personas A y B no deben ir juntas; c) si las personas A y B no pueden ir por separado; d) si debe estar forzosamente la persona C ? Solucin: a) En este caso, al no estar condicionado, se tiene que n=8 r=5 de manera que 8 5 ( ) 8! 56 5! 8 5 ! C== b) Hay tres opciones: Una, que A no vaya mientras B s, con lo cual es suficiente para que ambos no estn juntos; dos, que B no vaya mientras A s; y tres, que ni A ni B vayan. Conviene entonces analizar caso por caso. I.- Cuando A no asiste y B s: Si B s asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando a A (para garantizar que no asista) y a B (que ya est entre los asistentes). En este caso n = 6 r=4 pgina 32 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA I de manera que 6 4 ( ) 6! 15 4! 6 - 4 ! C==

II.- Cuando A s asiste y B no: Es exactamente lo mismo que el caso anterior, por lo tanto hay 15 maneras ms. III.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes, quitando a A y a B (para garantizar que no asistan): En este caso n = 6 r=5 de manera que 6 5 ( ) 6! 6 5! 6 - 5 ! C== En total resultan 15 + 15 + 6 = 36 formas. c) Hay dos opciones: Una, que A y B s asistan; la otra, que ni A ni B vayan. Se analiza entonces caso por caso. I.- Cuando A y B s asisten: Si A y B s asisten quedan ya solamente 3 personas por invitar para completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando a A y a B que ya estn entre los asistentes: En este caso n = 6 r=3 de manera que 6 3 ( ) 6! 20 3! 6 - 3 ! C== II.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes,

quitando a A y a B (para garantizar que no asistan): En este caso n = 6 r=5 de manera que 6 5 ( ) 6! 6 5! 6 - 5 ! C== En total resultan 20 + 6 = 26 formas. COMBINACIONES pgina 33 d) Si C asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las siete que restan. En este caso n = 7 r=4 de manera que 7 4 ( ) 7! 35 4! 7 - 4 ! C== Ejemplo 4: Un grupo escolar consta de 16 alumnos. Es necesario formar simultneamente 3 equipos con ellos, uno de 5 alumnos para ir a la Cruz Roja, otro de 3 alumnos para visitar el Hospital y el tercero de 2 alumnos para ir al Banco. De cuntas maneras se pueden distribuir? Solucin: El primer equipo de 5 alumnos se puede seleccionar de entre los 16 que hay en el grupo escolar; una vez formado ese primer equipo, quedan solamente 11 alumnos de entre los cuales debe integrarse el segundo equipo con tres de ellos; una vez formado ese segundo equipo, quedan solamente 8 alumnos

de entre los cuales debe integrarse el tercer equipo con dos de ellos De manera que 16 5 11 3 8 2 C C C = 4368 165 28 = 20 180 160 Ntese que se trata de un problema de composicin. A parte de la mostrada, de cuntas otras maneras se puede resolver? Hacerlo de otras dos formas para comprobar que el resultado no se altera. Ejemplo 5: Se reparten cinco cartas de una baraja corriente a un jugador. De cuntas maneras le puede caer: a) un par; b) dos pares; c) una tercia; d) una corrida o escalera; e) una flor; f) un full; g) un pquer; h) una flor imperial; i) "pancha"? NOTA: La baraja est formada como se muestra en la figura 10. Vistas en sentido vertical se llaman figuras o palos; vistas en sentido horizontal se llaman valores. Cada figura o palo consta de 13 valores, comenzando con el As y terminando con el Rey . O sea que en total hay 13 4 = = 52 cartas. figura 10 pgina 34 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA I Las diferentes combinaciones que se pueden realizar con ellas se llaman juegos . Para que una combinacin

sea realmente un juego no debe tener intersecciones con otro juego ni ser un subconjunto de otro. Para efectos simplemente de comprensin de las soluciones propuestas es conveniente introducir una definicin de cada uno de los juegos mencionados, en virtud de que suele suceder que cada jugador de baraja acostumbra tener sus propias reglas o sus propias definiciones de cada juego, asegurando cada uno que se juega como l lo sabe hacer. Debe quedar claro entonces que las siguientes definiciones se aceptan rigurosamente para efectos de los clculos que se explicarn en este curso, no como definiciones universales del juego de la baraja, pues eso abrira la puerta a la polmica. UN PAR: Cuando se tienen 2 cartas del mismo valor y las otras 3 diferentes entre s y diferentes al par. DOS PARES: Cuando se tienen 2 cartas del mismo valor y diferentes a todas las dems, otras 2 del mismo valor y diferentes a las dems y la quinta carta diferente a las dems. TERCIA: Cuando se tienen 3 cartas del mismo valor y las otras 2 diferentes entre s y diferentes a las de la tercia. CORRIDA O ESCALERA: Cuando se tienen 5 cartas de valores consecutivos, a condicin de que no sean las 5 del mismo palo. FLOR: Cuando se tienen las 5 cartas del mismo palo o figura, a condicin de que no sean consecutivas. FULL: Cuando se tiene una tercia y un par. PQUER: Cuando se tienen 4 cartas del mismo valor y, por consecuencia, la otra diferente.

FLOR IMPERIAL: Cuando se tienen las 5 cartas del mismo palo y adems consecutivas en valor. PANCHA O PACHUCA: Cuando no se tiene ninguna de las combinaciones anteriores. Un procedimiento muy conveniente es comenzar a calcular un caso particular y luego generalizarlo. Esto es lo que se ir haciendo en cada inciso. Solucin: a) UN PAR: Para hacer un par determinado (caso particular), por ejemplo de Ases , hay 4 cartas de las que deben seleccionarse dos. En este caso se tiene que n=4 r=2 de manera que hay 4C2 = 6 maneras diferentes de hacer un par de Ases. Pero el problema no pide COMBINACIONES pgina 35 que sea par de Ases , sino un par cualquiera, el cual puede ser de doses, de treses, de cuatros, de cincos, etc. Entonces, generalizando a un par cualquiera: 13 4C2 = 78 formas de hacer un par con apenas dos cartas recibidas. Hasta aqu van dos cartas; las otras tres deben ser diferentes al par recibido para que no se forme ni tercia ni pquer y, adems, diferentes entre s para que el juego recibido no se convierta en dos pares o en full. Para asegurar que la tercera carta no sea del mismo valor que del par que ya se tiene, deben excluirse del mazo las cuatro cartas (en el sentido horizontal de la figura 10) de ese valor. Por ejemplo, si el par es de Ases , deben "sacarse" del mazo los cuatro Ases para seleccionar

la tercera carta, como se muestra en la figura 11. Quedan entonces 12 4 = 48 cartas. La tercera carta debe ser una cualquiera de esas 48 cartas. Una vez repartida, debe repetirse el proceso anterior, es decir, deben sacarse del mazo ahora las cuatro cartas del mismo valor de esa tercera carta para asegurar que no vaya a completarse otro par, o hasta tercia, con la cuarta y quinta cartas. De manera que la cuarta carta debe ser una cualquiera de las 44 cartas que quedaron y la quinta debe ser una de las 40 restantes. Reuniendo finalmente todos estos elementos se llega a que un par cualquiera se puede obtener de 42 13 48 44 40 1 098 240 3! C = La divisin entre 3! es para quitar las repeticiones que se forman con las cartas tercera, cuarta y quinta. Supngase que, entre los trece posibles, el par cualquiera sea de qinas (Q). Ver figura 12, ambos

incisos. figura 11 pgina 36 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA I Al multiplicar por 48 se establece que la tercera carta es una cualquiera de esas 48 restantes. Esa "cualquier carta" puede ser, en algunos casos, la que para otros casos sea la cuarta carta o la quinta, por ejemplo, el 7 de diamantes, pero tambin puede ser el 4 de picas (ver figura 12, incisos a y b) . Al multiplicar por 44 se establece tambin que la cuarta carta es una cualquiera de las 44 que restantes. Esa "cualquier" carta puede ser, por ejemplo, el As de picas, pero tambin puede ser el 7 de diamantes (ver figura 12, incisos a y b) . Finalmente, al multiplicar por 40 se establece tambin que la quinta carta es una cualquiera de las 40 que restantes. Esa "cualquier" carta puede ser, por ejemplo, el 4 de picas, pero tambin puede ser el As de picas (ver figura 12, incisos a y b) Si se observa en la figura 12, las dos manos son exactamente la misma, solamente en diferente orden las cartas. A esas repeticiones, que en total son 6, son a las que se refiere el denominador 3! que las elimina. b) DOS PARES: Con las primeras dos cartas, un par cualquiera se puede hacer de 13 4C2 = 13 6 formas. Para asegurar que el siguiente par no sea del mismo valor que del par que ya se tiene, deben

excluirse del mazo las cuatro cartas (en el sentido horizontal de la figura 10) de ese valor. Por ejemplo, si el par es de Ases , deben "sacarse" del mazo los cuatro Ases antes de seleccionar el segundo par, como se ve en la figura 11. figura 12 COMBINACIONES pgina 37 Entonces, el segundo par cualquiera se puede hacer de 12 4C2 formas. Una vez sacadas tambin del mazo las cuatro cartas del valor del segundo par, la quinta carta puede ser una cualquiera de las 44 restantes. De manera que en total, dos pares cualesquiera se pueden hacer de 4 2 4 2 = 123 552 formas 13 12 44 2! CC Igual que en el inciso anterior, se divide entre 2! para quitar las repeticiones que se forman con los dos pares cualquiera, como se muestra en la figura 13. c) UNA TERCIA: Con las primeras tres cartas, una tercia cualquiera (sin tomar en cuenta todava a la cuarta ni a la quinta cartas) se puede hacer de formas. 4 3 13 C La cuarta carta debe escogerse de entre las 48 que quedan despus de eliminar las cuatro del mismo valor de la tercia hecha (para asegurarse que ni con la cuarta ni con la quinta cartas se complete el

poker; luego, la quinta carta debe escogerse de entre las 44 que quedan despus de eliminar las cuatro del mismo valor de la cuarta carta (para asegurarse que no se haga un par). Como en los casos anteriores, se divide entre 2! ya que con la cuarta y la quinta cartas hay repeticiones porque ambas son "una carta cualquiera" de las que van quedando. Entonces, una tercia cualquiera se puede hacer de figura 13 pgina 38 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA I 4 3 = 54 912 formas. 13 48 44 2! C Es interesante hacer notar que el orden en que se realicen los clculos no modifica el resultado final. Es decir, se puede comenzar por calcular una carta que no pertenezca a la tercia, luego la tercia y al final la quinta carta. En ese orden, el clculo correspondiente es 4 3 52 12 44 54 912 2! C = igual que en la forma anterior.

d) UNA CORRIDA O ESCALERA: Consiste en tener cinco cartas de valores consecutivos, por ejemplo 2, 3, 4, 5, 6, tambin 8, 9, 10, J, Q, a condicin de que no sean todas de la misma figura porque entonces a eso se le llama flor imperial . El As puede ir antes del 2 haciendo las veces del nmero 1 (para formar la corrida A, 2, 3, 4, 5) o despus del K (para formar la corrida 10, J, Q, K, A). La primera corrida posible es la que va del As al nmero 5, como lo muestra la figura 14. Debe seleccionarse entonces un As de entre los cuatro que existen; un 2 de entre los cuatro que existen; un 3 de entre los cuatro que existen; un 4 de entre los cuatro que existen y un 5 de entre los cuatro que existen. Solamente que all estn incluidas 4 flores imperiales, por lo que deben restarse, o sea: ( ) 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 C C C C C 4 = 1020 De igual manera se pueden formar 1020 corridas del 2 hasta el 6; otras 1020 del 3 hasta el 7, etc., es decir, se pueden formar otros 10 grupos, por lo que el nmero de corridas en total que se pueden hacer es ( ) formas. 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 10 C C C C C 4 = 10 200 figura 14 COMBINACIONES pgina 39 e) UNA FLOR: consiste en tener una mano con todas

las cartas de la misma figura (juego vertical), a condicin de que no formen corrida porque se vuelve flor imperial, como se muestra en la figura 15. Entonces una flor en particular, por ejemplo, de trboles, se puede hacer escogiendo cinco cartas de entre las trece de la misma figura (ver figura 15 en sentido vertical) y restando luego las 10 corridas posibles: 13 5 flores de diamantes C 10 = 1277 Pero como hay cuatro figuras con cada una de las cuales se puede repetir lo anterior, entonces el nmero total de flores que se pueden obtener es ( ) 13 5 4 C 10 = 5108 f) UN FULL: Consiste en una tercia y un par. El nmero de formas en que se puede hacer una tercia cualquiera es 4 2 13 C y un par cualquiera, una vez hecha la tercia, es de 4 2 12 C de manera que el full se puede hacer de 4 3 4 2 13 C 12 C = 3744 g) UN PQUER: Consiste en tener las cuatro cartas de un mismo valor. El nmero de formas con las cuatro primeras cartas en que le pueden caer cuatro cartas del mismo valor, por ejemplo, los cuatro Reyes (caso particular) es , pero como hay trece valores diferentes en total son (generalizando) 4 4 C . La quinta carta debe ser una de las 48 restantes, de manera que finalmente, el nmero 4 4 13 C

de maneras en que le puede salir un pker es 4 4 13 C 48 = 624 h) UNA FLOR IMPERIAL: Consiste en tener las cinco cartas de la misma figura y adems corridas. Por lo que ya se vio, son 10 4 = 40. figura 15 pgina 40 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA I i) UNA PANCHA: Es la ausencia de cualquier juego anterior, o sea, es no tener nada, aunque realmente s es una combinacin. Para calcularla, hay que garantizar primero que no caiga ningn juego horizontal, es decir, ni un par, ni dos pares, ni tercia, ni full ni pquer. La primera carta es una cualquiera de las 52 que hay en el mazo, o sea 52 1 ; la segunda carta es una cualquiera de las C = 52 48 que restan en el mazo luego de quitar todas las del mismo valor a la carta anterior para asegurar que no caiga par, o sea ; la tercera carta es una cualquiera de las 44 que restan en el mazo 48 1 C = 48 luego de quitar todas las del mismo valor a la carta anterior para asegurar que no caiga un par, o sea ; la cuarta carta es una cualquiera de las 40 que restan en el mazo luego de quitar todas 44 1 C = 44 las del mismo valor a la carta anterior para asegurar que no caiga par, o sea ; y la quinta 40 1 C = 40 carta es una cualquiera de las 36 que restan en el mazo luego de quitar todas las del mismo valor a la carta anterior para asegurar que no caiga par. Multiplicndolas resulta 52 48 44 40 36 1317 888 5!

= Se divide entre 5! por la misma razn que se hizo cuando se calcul un par, dos pares y tercia , para quitar las repeticiones. Solamente que en el clculo anterior estn incluidos todava los juegos verticales, es decir, en esas 1 317 888 estn incluidas las corridas, las flores y las flores imperiales, por lo que deben restarse. De manera que el nmero de formas de hacer una pancha es 1 317 888 - 10 200 - 5 108 - 40 = 1 302 540 formas COMPROBACIN: Sumando todos los juegos anteriormente calculados, resulta 1 098 240 un par + 123 552 dos pares + 54 912 una tercia + 10 200 una corrida + 5 108 una flor + 624 pker + 3 744 un full + 40 una flor imperial + 1 302 540 una pancha total: 2 598 960 que es lo mismo que calculado por combinaciones: . 52 5 C = 2 598 960 COMBINACIONES pgina 41 PROBLEMAS DE INTERSECCIONES Algunos problemas de combinaciones estn planteados de tal manera que la(s) condicin(es) est(n) constituida( s) por elementos de interseccin entre dos o ms conjuntos.

Por ejemplo, se dan dos conjuntos X e Y con elementos X = {A, B, C} e Y = {C, D, E} , de tal manera que la condicin recae en el elemento C, el cual pertenece a ambos conjuntos, o sea, es una interseccin (ver figura 16). La solucin debe plantearse considerando las opciones cuando C s est y cuando C no est. La suma de todos esos casos es la solucin. El siguiente ejemplo es un caso de interseccin. Ejemplo 6: Un jugador de domin toma sus siete fichas. De cuntas maneras le pueden caer dos mulas y dos cincos? Nota: La mula de cincos 5 - 5 cuenta ya como dos cincos. Solucin: El juego de domin consta de 28 fichas, tal como lo muestra la figura 18. Se llaman mulas a las que Contienen Combinaciones y permutaciones Una permutacin de objetos es un arreglo de stos en el que orden s importa. Para encontrar el nmero de permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usan las siguientes frmulas: Cuando no se permite repeticin

Cuando se permita repeticin Una combinacin de objetos es un arreglo de stos en el que el orden no importa. Para encontrar el nmero de combinaciones de n objetos en grupos de r, se usa la siguiente frmula:

EJEMPLOS:

A) Cuntas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repeticin? Solucin:

. B) Cuntas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repeticin? Solucin:

. C) De entre 8 personas debemos formar un comit de cinco miembros. Cuntas diferentes posibilidades existen para formar el comit? Solucin: Esta es una combinacin porque el orden no importa.

Permutacin De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda En matemticas, llamamos permutacin de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenacin posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutacin. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1". Contenido [ocultar]

1 Definicin formal 2 En combinatoriao

2.1 Frmula del nmero de permutaciones

o

2.2 Frmula del nmero de subconjuntos ordenados de k elementos con k