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Introducción

Ecuaciones diferencialesde

orden superior

Segunda parte del curso

June 11, 2020

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

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1 IntroducciónIndependencia linealDependencia lineal y el Wronskiano

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

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1 IntroducciónIndependencia linealDependencia lineal y el Wronskiano

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

La ecuación diferencial lineal de orden n

La ecuación diferencial lineal de orden n puede escribirse como

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = R(x) (1)

en donde bi(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y R(x) son funcionesindependientes de la variable y .

Ecuación homogénea

Si R(x) = 0, se llama homogénea:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (2)

de lo contrario se llama nohomogénea

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

La ecuación diferencial lineal de orden n

La ecuación diferencial lineal de orden n puede escribirse como

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = R(x) (1)

en donde bi(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y R(x) son funcionesindependientes de la variable y .

Ecuación homogénea

Si R(x) = 0, se llama homogénea:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (2)

de lo contrario se llama nohomogénea

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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La ecuación diferencial lineal de orden n

La ecuación diferencial lineal de orden n puede escribirse como

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = R(x) (1)

en donde bi(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y R(x) son funcionesindependientes de la variable y .

Ecuación homogénea

Si R(x) = 0, se llama homogénea:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (2)

de lo contrario se llama nohomogénea

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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La ecuación diferencial lineal de orden n

Ejemplos

1 y ′′ − y = 2 ln x2 y ′′ − y = 03 xy ′′′ − ln(x)y ′ − exy = cos x4 y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 15 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex

6 y ′′ + 2y ′ + 8y = 2 cos 2x7 y ′′ + 2y ′ + 8y = 0

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Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea

Sea yp una solución particular de la ecuación

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = R(x) (3)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (4)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Sea yp una solución particular de la ecuación

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = R(x) (3)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (4)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Sea yp una solución particular de la ecuación

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = R(x) (3)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (4)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Sea yp una solución particular de la ecuación

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = R(x) (3)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (4)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea de orden 2.

Sea yp una solución particular de la ecuación

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = R(x) (5)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 (6)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea (5)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea de orden 2.

Sea yp una solución particular de la ecuación

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = R(x) (5)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 (6)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea (5)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea de orden 2.

Sea yp una solución particular de la ecuación

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = R(x) (5)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 (6)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea (5)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Solución general de la ecuación no-homogénea de orden 2.

Sea yp una solución particular de la ecuación

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = R(x) (5)

Sea yh la solución general de la ecuación homogéneacorrespondiente a la ecuación dada:

y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 (6)

entoncesyg = yh + yp

es la solución general de la ecuación no-homogénea (5)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea

Prueba

Sea y(x) una solución cualquiera de la ecuación completa (5).Entonces la función y(x) − yp(x) será solución de la ecuaciónhomogénea (6). En efecto:

(y − yp)′′ + P(x)(y − yp)

′ + Q(X )(y − yp) = (7)

(y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y) − (y ′′p + P(x)y ′p + Q(x)yp) = 0

Como yh(x) es solución general de (6), entonces debe tenerse:

yh(x) = y(x) − yp(x)

por lo tanto,y(x) = yh(x) + yp(x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea

Prueba

Sea y(x) una solución cualquiera de la ecuación completa (5).Entonces la función y(x) − yp(x) será solución de la ecuaciónhomogénea (6). En efecto:

(y − yp)′′ + P(x)(y − yp)

′ + Q(X )(y − yp) = (7)

(y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y) − (y ′′p + P(x)y ′p + Q(x)yp) = 0

Como yh(x) es solución general de (6), entonces debe tenerse:

yh(x) = y(x) − yp(x)

por lo tanto,y(x) = yh(x) + yp(x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Prueba

Sea y(x) una solución cualquiera de la ecuación completa (5).Entonces la función y(x) − yp(x) será solución de la ecuaciónhomogénea (6). En efecto:

(y − yp)′′ + P(x)(y − yp)

′ + Q(X )(y − yp) = (7)

(y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y) − (y ′′p + P(x)y ′p + Q(x)yp) = 0

Como yh(x) es solución general de (6), entonces debe tenerse:

yh(x) = y(x) − yp(x)

por lo tanto,y(x) = yh(x) + yp(x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

Ejemplos:1 La ecuación no-homogénea de segundo orden

y ′′ + y = sec x tan xtiene por ecuación homogénea a la ecuación y ′′ + y = 0La solución general de esta ecuación homogénea es:yh(x) = C1 cos x + C2 sin xpues: y ′h = −C1 sin x + C2 cos x , y ′′h = −C1 cos x − C2 sin xy se cumple: y ′′h + yh = 0

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

Ejemplos:1 La ecuación no-homogénea de segundo orden

y ′′ + y = sec x tan xtiene por ecuación homogénea a la ecuación y ′′ + y = 0La solución general de esta ecuación homogénea es:yh(x) = C1 cos x + C2 sin xpues: y ′h = −C1 sin x + C2 cos x , y ′′h = −C1 cos x − C2 sin xy se cumple: y ′′h + yh = 0

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

Ejemplos:1 La ecuación no-homogénea de segundo orden

y ′′ + y = sec x tan xtiene por ecuación homogénea a la ecuación y ′′ + y = 0La solución general de esta ecuación homogénea es:yh(x) = C1 cos x + C2 sin xpues: y ′h = −C1 sin x + C2 cos x , y ′′h = −C1 cos x − C2 sin xy se cumple: y ′′h + yh = 0

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

Ejemplos:1 La ecuación no-homogénea de segundo orden

y ′′ + y = sec x tan xtiene por ecuación homogénea a la ecuación y ′′ + y = 0La solución general de esta ecuación homogénea es:yh(x) = C1 cos x + C2 sin xpues: y ′h = −C1 sin x + C2 cos x , y ′′h = −C1 cos x − C2 sin xy se cumple: y ′′h + yh = 0

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

Ejemplos:1 La ecuación no-homogénea de segundo orden

y ′′ + y = sec x tan xtiene por ecuación homogénea a la ecuación y ′′ + y = 0La solución general de esta ecuación homogénea es:yh(x) = C1 cos x + C2 sin xpues: y ′h = −C1 sin x + C2 cos x , y ′′h = −C1 cos x − C2 sin xy se cumple: y ′′h + yh = 0

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

Ejemplos:1 La ecuación no-homogénea de segundo orden

y ′′ + y = sec x tan xtiene por ecuación homogénea a la ecuación y ′′ + y = 0La solución general de esta ecuación homogénea es:yh(x) = C1 cos x + C2 sin xpues: y ′h = −C1 sin x + C2 cos x , y ′′h = −C1 cos x − C2 sin xy se cumple: y ′′h + yh = 0

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea

Por otro lado, una solución particular yp(x) de la ecuaciónno-homogénea y ′′ + y = sec x tan x esyp(x) = (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |. En efecto,yp(x) = x cos x − sin x + sin x ln | sec x |.

y ′p = −x sin x + sin x tan x + cos x ln | sec x |

y ′′p = −x cos x − sin x + sin x sec2 x + 2 tan x cos x − sin x ln | sec x |de donde:

y ′′p + yp = sin x sec2 x = sec x tan x

Por lo tanto :

yg(x) = C1 cos x + C2 sin x + (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Por otro lado, una solución particular yp(x) de la ecuaciónno-homogénea y ′′ + y = sec x tan x esyp(x) = (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |. En efecto,yp(x) = x cos x − sin x + sin x ln | sec x |.

y ′p = −x sin x + sin x tan x + cos x ln | sec x |

y ′′p = −x cos x − sin x + sin x sec2 x + 2 tan x cos x − sin x ln | sec x |de donde:

y ′′p + yp = sin x sec2 x = sec x tan x

Por lo tanto :

yg(x) = C1 cos x + C2 sin x + (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Por otro lado, una solución particular yp(x) de la ecuaciónno-homogénea y ′′ + y = sec x tan x esyp(x) = (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |. En efecto,yp(x) = x cos x − sin x + sin x ln | sec x |.

y ′p = −x sin x + sin x tan x + cos x ln | sec x |

y ′′p = −x cos x − sin x + sin x sec2 x + 2 tan x cos x − sin x ln | sec x |de donde:

y ′′p + yp = sin x sec2 x = sec x tan x

Por lo tanto :

yg(x) = C1 cos x + C2 sin x + (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Por otro lado, una solución particular yp(x) de la ecuaciónno-homogénea y ′′ + y = sec x tan x esyp(x) = (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |. En efecto,yp(x) = x cos x − sin x + sin x ln | sec x |.

y ′p = −x sin x + sin x tan x + cos x ln | sec x |

y ′′p = −x cos x − sin x + sin x sec2 x + 2 tan x cos x − sin x ln | sec x |de donde:

y ′′p + yp = sin x sec2 x = sec x tan x

Por lo tanto :

yg(x) = C1 cos x + C2 sin x + (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Por otro lado, una solución particular yp(x) de la ecuaciónno-homogénea y ′′ + y = sec x tan x esyp(x) = (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |. En efecto,yp(x) = x cos x − sin x + sin x ln | sec x |.

y ′p = −x sin x + sin x tan x + cos x ln | sec x |

y ′′p = −x cos x − sin x + sin x sec2 x + 2 tan x cos x − sin x ln | sec x |de donde:

y ′′p + yp = sin x sec2 x = sec x tan x

Por lo tanto :

yg(x) = C1 cos x + C2 sin x + (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Por otro lado, una solución particular yp(x) de la ecuaciónno-homogénea y ′′ + y = sec x tan x esyp(x) = (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |. En efecto,yp(x) = x cos x − sin x + sin x ln | sec x |.

y ′p = −x sin x + sin x tan x + cos x ln | sec x |

y ′′p = −x cos x − sin x + sin x sec2 x + 2 tan x cos x − sin x ln | sec x |de donde:

y ′′p + yp = sin x sec2 x = sec x tan x

Por lo tanto :

yg(x) = C1 cos x + C2 sin x + (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |

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Solución general de la ecuación no-homogénea

Por otro lado, una solución particular yp(x) de la ecuaciónno-homogénea y ′′ + y = sec x tan x esyp(x) = (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |. En efecto,yp(x) = x cos x − sin x + sin x ln | sec x |.

y ′p = −x sin x + sin x tan x + cos x ln | sec x |

y ′′p = −x cos x − sin x + sin x sec2 x + 2 tan x cos x − sin x ln | sec x |de donde:

y ′′p + yp = sin x sec2 x = sec x tan x

Por lo tanto :

yg(x) = C1 cos x + C2 sin x + (x − tan x) cos x + sin x ln | sec x |

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

2. Dada la ecuación no-homogénea de segundo ordeny ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)puede verificarse que:

yh(x) = C1ex + C2e2x es la solución general dey ′′ − 3y ′ + 2y = 0yp(x) = −e2x cos(e−x) es una solución particular dey ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es:

yg(x) = yh(x) + yp(x) = C1ex + C2e2x− e2x cos(e−x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

2. Dada la ecuación no-homogénea de segundo ordeny ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)puede verificarse que:

yh(x) = C1ex + C2e2x es la solución general dey ′′ − 3y ′ + 2y = 0yp(x) = −e2x cos(e−x) es una solución particular dey ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es:

yg(x) = yh(x) + yp(x) = C1ex + C2e2x− e2x cos(e−x)

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

2. Dada la ecuación no-homogénea de segundo ordeny ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)puede verificarse que:

yh(x) = C1ex + C2e2x es la solución general dey ′′ − 3y ′ + 2y = 0yp(x) = −e2x cos(e−x) es una solución particular dey ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es:

yg(x) = yh(x) + yp(x) = C1ex + C2e2x− e2x cos(e−x)

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

2. Dada la ecuación no-homogénea de segundo ordeny ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)puede verificarse que:

yh(x) = C1ex + C2e2x es la solución general dey ′′ − 3y ′ + 2y = 0yp(x) = −e2x cos(e−x) es una solución particular dey ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es:

yg(x) = yh(x) + yp(x) = C1ex + C2e2x− e2x cos(e−x)

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

2. Dada la ecuación no-homogénea de segundo ordeny ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)puede verificarse que:

yh(x) = C1ex + C2e2x es la solución general dey ′′ − 3y ′ + 2y = 0yp(x) = −e2x cos(e−x) es una solución particular dey ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es:

yg(x) = yh(x) + yp(x) = C1ex + C2e2x− e2x cos(e−x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

2. Dada la ecuación no-homogénea de segundo ordeny ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)puede verificarse que:

yh(x) = C1ex + C2e2x es la solución general dey ′′ − 3y ′ + 2y = 0yp(x) = −e2x cos(e−x) es una solución particular dey ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es:

yg(x) = yh(x) + yp(x) = C1ex + C2e2x− e2x cos(e−x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Solución general de la ecuación no-homogénea. Ejemplos.

2. Dada la ecuación no-homogénea de segundo ordeny ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)puede verificarse que:

yh(x) = C1ex + C2e2x es la solución general dey ′′ − 3y ′ + 2y = 0yp(x) = −e2x cos(e−x) es una solución particular dey ′′ − 3y ′ + 2y = cos(e−x)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es:

yg(x) = yh(x) + yp(x) = C1ex + C2e2x− e2x cos(e−x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

Ecuación homogénea

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (8)

Si y1(x), · · · yn(x) son soluciones de la ecuación homogénea yc1, · · · cn son constantes, entonces

y(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x)

es solución de la ecuación homogénea.

Cualquier combinación lineal de soluciones de una ecuacióndiferencial homogénea es también una solución.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

Ecuación homogénea

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (8)

Si y1(x), · · · yn(x) son soluciones de la ecuación homogénea yc1, · · · cn son constantes, entonces

y(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x)

es solución de la ecuación homogénea.

Cualquier combinación lineal de soluciones de una ecuacióndiferencial homogénea es también una solución.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

Ecuación homogénea

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (8)

Si y1(x), · · · yn(x) son soluciones de la ecuación homogénea yc1, · · · cn son constantes, entonces

y(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x)

es solución de la ecuación homogénea.

Cualquier combinación lineal de soluciones de una ecuacióndiferencial homogénea es también una solución.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

Ecuación homogénea y ′′ + y ′ − 12y = 0

Dada la ecuación y ′′ + y ′ − 12y = 0Observamos que: y1(x) = e−4x y y2(x) = e3x

son soluciones de la ecuación dada. En efecto:

y ′1(x) = −4e−4x , y ′′1 (x) = 16e−4x ,

y ′′1 + y ′1 − 12y1 = 16e−4x− 4e−4x

− 12e−4x = 0

y ′2(x) = 3e3x , y ′′2 (x) = 9e3x ,

y ′′2 + y ′2 − 12y2 = 9e3x + 3e3x− 12e3x = 0

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

Ecuación homogénea y ′′ + y ′ − 12y = 0

También observamos que:2y1(x) = 2e−4x y 5y2(x) = 5e3x

son soluciones de la ecuación dada. En efecto:

(2y1)′ = −8e−4x , (2y1)

′′ = 32e−4x ,

(2y1)′′ + (2y1)

′− 12(2y1) = 32e−4x

− 8e−4x− 12(2e−4x) = 0

(5y2)′ = 15e3x , (5y2)

′′ = 45e3x ,

(5y2)′′ + (5y2)

′− 12(5y2) = 45e3x + 15e3x

− 12(5e3x) = 0

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

Ecuación homogénea y ′′ + y ′ − 12y = 0

Análogamente, 2y1(x) + 5y2(x) = 2e−4x + 5e3x

es también solución de la ecuación dada. En efecto:

(2y1)′ = −8e−4x , (2y1)

′′ = 32e−4x ,

(2y1)′′ + (2y1)

′− 12(2y1) = 32e−4x

− 8e−4x− 12(2e−4x) = 0

(5y2)′ = 15e3x , (5y2)

′′ = 45e3x ,

(2y1 + 5y2)′′ + (2y1 + 5y2)

′− 12(2y1 + 5y2) =

(32e−4x + 45e3x) +(− 8e−4x + 15e3x

)− 12

(2e−4x + 5e3x

)= 0

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

Ecuación homogénea y ′′ + y ′ − 12y = 0

Por lo tanto, si y1(x), y2(x) son soluciones de la ecuaciónhomogénea y ′′ + y ′ − 12y = 0, entonces

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)

es también solución de la ecuación homogénea, paracualesquiera constantes c1 y c2.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Propiedades de la ecuación homogénea

El conjunto de las soluciones de la ecuación homogénea:

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0 (9)

forma un espacio vectorial, por lo tanto, existen funcionesy1(x), · · · yn(x), soluciones de la ecuación homogénea, las cualesforman un conjunto linealmente independiente, tales que,cualquier solución de la ecuación homogénea, y(x) puedeescribirse como:

y(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x),

para c1, · · · cn constantes.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

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1 IntroducciónIndependencia linealDependencia lineal y el Wronskiano

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia lineal

Dadas las funciones f1(x), · · · fn(x), si existen constantes c1, · · · cn,no todas iguales a 0, tales que

c1f1(x) + · · ·+ cnfn(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) (10)

se dice que las funciones son linealmente dependientes, de locontrario se llaman linealmente independientes, es decir, cuando laecuación anterior implica c1 = c2 = · · · cn = 0

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia lineal

Dadas las funciones f1(x), · · · fn(x), si existen constantes c1, · · · cn,no todas iguales a 0, tales que

c1f1(x) + · · ·+ cnfn(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) (10)

se dice que las funciones son linealmente dependientes, de locontrario se llaman linealmente independientes, es decir, cuando laecuación anterior implica c1 = c2 = · · · cn = 0

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia e independencia lineal de dos funciones

Las funciones {f1(x), f2(x)}, son linealmente dependientes en(a, b), si existen constantes c1, c2, no ambas iguales a 0, tales que

c1f1(x) + c2f2(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) (11)

Si, por ejemplo, c2 , 0, entonces se tendría

f2(x) =c1

c2f1(x)

lo cual significa que f2(x) no es ‘esencialmente’ diferente de f1(x),es decir f2(x) es ‘un múltiplo’ de f1(x). Por el contrario, Lasfunciones {f1(x), f2(x)}, son linealmente independientes en (a, b),si ninguna de ellas es ” múltiplo” de la otra, es decir, ambas son ‘esencialmente’ diferentes.

f2(x) ,c1

c2f1(x), y f1(x) ,

c2

c1f2(x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia e independencia lineal de dos funciones

Las funciones {f1(x), f2(x)}, son linealmente dependientes en(a, b), si existen constantes c1, c2, no ambas iguales a 0, tales que

c1f1(x) + c2f2(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) (11)

Si, por ejemplo, c2 , 0, entonces se tendría

f2(x) =c1

c2f1(x)

lo cual significa que f2(x) no es ‘esencialmente’ diferente de f1(x),es decir f2(x) es ‘un múltiplo’ de f1(x). Por el contrario, Lasfunciones {f1(x), f2(x)}, son linealmente independientes en (a, b),si ninguna de ellas es ” múltiplo” de la otra, es decir, ambas son ‘esencialmente’ diferentes.

f2(x) ,c1

c2f1(x), y f1(x) ,

c2

c1f2(x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia e independencia lineal de dos funciones

Las funciones {f1(x), f2(x)}, son linealmente dependientes en(a, b), si existen constantes c1, c2, no ambas iguales a 0, tales que

c1f1(x) + c2f2(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) (11)

Si, por ejemplo, c2 , 0, entonces se tendría

f2(x) =c1

c2f1(x)

lo cual significa que f2(x) no es ‘esencialmente’ diferente de f1(x),es decir f2(x) es ‘un múltiplo’ de f1(x). Por el contrario, Lasfunciones {f1(x), f2(x)}, son linealmente independientes en (a, b),si ninguna de ellas es ” múltiplo” de la otra, es decir, ambas son ‘esencialmente’ diferentes.

f2(x) ,c1

c2f1(x), y f1(x) ,

c2

c1f2(x)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia e independencia lineal de dos funciones

Importancia de la independencia lineal de funcionesEn un espacio vectorial de dimensión n, un conjunto de n vectores quegeneran todo el espacio y que son linealmente independientes, formanuna base para el espacio vectorial.

En el caso de las soluciones de una ecuación homogénea de orden 2,

y ′′ + P(x)y + Q(x)y = 0

el espacio de sus soluciones forma un espacio vectorial de dimensión 2.Es importante encontrar dos soluciones {y1(x), y2(x)} de la ecuaciónhomogénea, las cuales sean linealmente independientes, para poderexpresar cualquier solución de la ecuación, en la forma:

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

es decir, para encontrar la solución general de tal ecuación.Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia e independencia lineal de dos funciones

Importancia de la independencia lineal de funcionesEn un espacio vectorial de dimensión n, un conjunto de n vectores quegeneran todo el espacio y que son linealmente independientes, formanuna base para el espacio vectorial.

En el caso de las soluciones de una ecuación homogénea de orden 2,

y ′′ + P(x)y + Q(x)y = 0

el espacio de sus soluciones forma un espacio vectorial de dimensión 2.Es importante encontrar dos soluciones {y1(x), y2(x)} de la ecuaciónhomogénea, las cuales sean linealmente independientes, para poderexpresar cualquier solución de la ecuación, en la forma:

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

es decir, para encontrar la solución general de tal ecuación.Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia e independencia lineal de dos funciones

Cómo determinar la independencia de un conjunto de funciones?Un resultado fundamental para determinar la independencia de unconjunto dedos funciones es el siguiente:

Criterio del Wronskiano

La funciones {y1(x), y2(x)} son linealmente independientes en (a, b) ysólo si

W (y1, y2) =

∣∣∣∣∣∣ y1 y2

y ′1 y ′2

∣∣∣∣∣∣ = y1y ′2 − y2y ′1, 0

W (y1, y2) se llama El Wronskiano de {y1, y2} el criterio anterior seextiende para n funciones.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

Dependencia e independencia lineal de dos funciones

Cómo determinar la independencia de un conjunto de funciones?Un resultado fundamental para determinar la independencia de unconjunto dedos funciones es el siguiente:

Criterio del Wronskiano

La funciones {y1(x), y2(x)} son linealmente independientes en (a, b) ysólo si

W (y1, y2) =

∣∣∣∣∣∣ y1 y2

y ′1 y ′2

∣∣∣∣∣∣ = y1y ′2 − y2y ′1, 0

W (y1, y2) se llama El Wronskiano de {y1, y2} el criterio anterior seextiende para n funciones.

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Introducción

independencia lineal de dos funciones. Ejemplos

1. Verificar la independencia lineal de las funciones: {x2, x−3}

W (x2, x−3) =

∣∣∣∣∣∣ x2 x−3

2x −3x−4

∣∣∣∣∣∣ = x2(−3x−4) − x−32x = −5x−2, 0

Las funciones {x2, x−3} son linealmente independientes.

2. Verificar la independencia lineal de las funciones: {ex , xex}

W (y1, y2) =

∣∣∣∣∣∣ ex xex

ex xex + ex

∣∣∣∣∣∣ = ex(xex + ex) − xex(ex) = e2x, 0

Las funciones {ex , xex} son linealmente independientes.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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independencia lineal de dos funciones. Ejemplos

1. Verificar la independencia lineal de las funciones: {x2, x−3}

W (x2, x−3) =

∣∣∣∣∣∣ x2 x−3

2x −3x−4

∣∣∣∣∣∣ = x2(−3x−4) − x−32x = −5x−2, 0

Las funciones {x2, x−3} son linealmente independientes.

2. Verificar la independencia lineal de las funciones: {ex , xex}

W (y1, y2) =

∣∣∣∣∣∣ ex xex

ex xex + ex

∣∣∣∣∣∣ = ex(xex + ex) − xex(ex) = e2x, 0

Las funciones {ex , xex} son linealmente independientes.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

independencia lineal de dos funciones. Ejemplos

1. Verificar la independencia lineal de las funciones: {x2, x−3}

W (x2, x−3) =

∣∣∣∣∣∣ x2 x−3

2x −3x−4

∣∣∣∣∣∣ = x2(−3x−4) − x−32x = −5x−2, 0

Las funciones {x2, x−3} son linealmente independientes.

2. Verificar la independencia lineal de las funciones: {ex , xex}

W (y1, y2) =

∣∣∣∣∣∣ ex xex

ex xex + ex

∣∣∣∣∣∣ = ex(xex + ex) − xex(ex) = e2x, 0

Las funciones {ex , xex} son linealmente independientes.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

independencia lineal de dos funciones. Ejemplos

3. Investigar la independencia lineal de las funciones: {ex sin x , ex cos x}

W (ex sin x , ex cos x) =

∣∣∣∣∣∣ ex sin x ex cos xex(cos x + sin x) ex(cos x − sin x)

∣∣∣∣∣∣ =ex sin xex(cos x − sin x) − (ex cos x)ex(cos x + sin x) =

−e2x(sin2 x + cos2x) = −e2x, 0

Las funciones {ex sin x , ex cos x} son linealmente independientes.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

independencia lineal de dos funciones. Ejemplos

3. Investigar la independencia lineal de las funciones: {ex sin x , ex cos x}

W (ex sin x , ex cos x) =

∣∣∣∣∣∣ ex sin x ex cos xex(cos x + sin x) ex(cos x − sin x)

∣∣∣∣∣∣ =ex sin xex(cos x − sin x) − (ex cos x)ex(cos x + sin x) =

−e2x(sin2 x + cos2x) = −e2x, 0

Las funciones {ex sin x , ex cos x} son linealmente independientes.

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Introducción

El Wronskiano

Prueba de independencia lineal de soluciones

Si en el intervalo a ≤ x ≤ b, b0, y1, . . . yn son continuas yy1, y2, . . . yn son soluciones de la ecuación homogénea

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0

entonces una condición necesaria y suficiente para que lasfunciones y1, y2, . . . yn sean linalmente independientes esque, en el intervalo a ≤ x ≤ b, no se anule la funciónW (y1, y2, . . . yn), llamada El Wronskiano:

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

El Wronskiano

Prueba de independencia lineal de soluciones

Si en el intervalo a ≤ x ≤ b, b0, y1, . . . yn son continuas yy1, y2, . . . yn son soluciones de la ecuación homogénea

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0

entonces una condición necesaria y suficiente para que lasfunciones y1, y2, . . . yn sean linalmente independientes esque, en el intervalo a ≤ x ≤ b, no se anule la funciónW (y1, y2, . . . yn), llamada El Wronskiano:

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Prueba de independencia lineal de soluciones

W (y1, y2, . . . yn) = det

y1 y2 · · · yn

y ′1 y ′2 · · · y ′ny ′′1 y ′′2 · · · y ′′n...

......

y (n−1)1 y (n−1)

2 · · · y (n−1)n

, 0

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Solución general de la ecuación homogénea

Si y1, y2, . . . yn son soluciones linealmente independientes dela ecuación homogénea

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0

entonces SU SOLUCIÓN GENERAL es

y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn

en donde c1, c2, . . . , cn son constantes arbitrarias.

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Solución general de la ecuación homogénea

Si y1, y2, . . . yn son soluciones linealmente independientes dela ecuación homogénea

bn(x)dnydxn + · · ·+ b2(x)

d2ydx2

+ b1(x)dydx

+ b0(x)y = 0

entonces SU SOLUCIÓN GENERAL es

y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn

en donde c1, c2, . . . , cn son constantes arbitrarias.

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