iii interp 2 - instituto de física lrt - buaplilia/numerico/iii_interp_2.pdf · (iv) análisis...
Post on 24-Sep-2018
220 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
UnidadUnidad IIIIII
-Interpolación mediantetrazadores:
Lineales, cuadráticos y cúbicos
LMM
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
2
Conceptos generales• Problema general: Se tiene un conjunto discreto de
valores (mediciones) de unacantidad, se requiere conocerun valor intermedio entre los valores discretos.
Opciones• 1. Obtener una curva que
represente la tendenciageneral de los datos. Vimosregresión por mínimoscuadrados.
• 2. Una curva que pase porcada uno de los puntos en forma directa. Interpolación, vimos mediante polinomios, ahora veremos trazadores
1
2
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
3
f(x) a orden n
],...,,[))...()((...],,[))((
],[)()()(
01110
01210
0100
xxxfxxxxxxxxxfxxxx
xxfxxxfxf
nnn
n
−−−−−++−−+−+=
ji
jiji xx
xfxfxxf
−−
=)()(
],[
ki
kjjikji xx
xxfxxfxxxf
−−
=],[],[
],,[Con las diferenciasdivididas
PolinomiosPolinomios de Newton (o Lagrange): de Newton (o Lagrange): parapara n+1 n+1 datosdatos, un , un polinomiopolinomio de de gradogrado nn
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
4
Polinomios de interpolación de Lagrange
∑=
=n
iiin xfxLxf
0
)()()(
n+1 datos xi, yi, i=0,1,…,n
∏≠= −
−=
n
jij ji
ji xx
xxxL
0
)(
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
5
TrazadoresTrazadores((splinessplines, en , en inglinglééss))
• ¿Qué es un trazador?
Cinta semirígidausada para trazarcurvas en dibujos, planos.
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
6
TrazadoresTrazadores((splinessplines, en , en inglinglééss))
• Usan polinomios, pero de grado inferior
• Se ajustan subconjuntos de datos
• ¿Por qué usarlos?a) Para funciones que
presentan un cambio local abrupto
b) Polinomios de gradosuperior presentanoscilaciones indeseables, al limitar el grado en el trazador éstas se eliminan.
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
7
Trazadores lineales
• Conjunto de funciones lineales (entrecada pareja de datos, la función de interpolación es lineal)
nnnnn xxxxxmxfxf
xxxxxmxfxfxxxxxmxfxf
≤≤−+=
≤≤−+=≤≤−+=
−−−− 1111
21111
10000
),()()(...
),()()(),()()(
f(x)
x
m0
m1
m2
x0 x1 x3x2xNo da una función suave
En los nodos la primera derivadade f(x) es discontinua
=nodo
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
8
Ejemplo• Ajuste los datos de la tabla con
trazadores de primer grado. • Evalúe la función en x=5
60.05.4715.2=
−−
=m
x3
x2
x1
x0
0.59.02.57.01.04.52.53.0f(x)x
Solución.Se calculan las pendientes de laslíneas entre pares de puntos.Para el caso x=5, notamos que se encuentra en el intervalo [4.5,7]. La pendiente en este intervalo es
3.15.0*60.0.1)5.45()5.4()5(
=+=−+=== mxfxfEvaluando con esta
pendiente en la funciónlineal correspondiente
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
9
Trazadores Cuadráticos• En general, si las m-ésimas derivadas deben ser
continuas, se requiere un trazador de un grado al menosm+1.
• Los de segundo grado tienen primeras derivadascontinuas en los nodos.
• En cada intervalo
iiii cxbxaxf ++= 2)(f(x)
x
a1,b1, c1
x0 x1 x3x2x
Si n+1 datos, n intervalos 3n constantes (a,b,c) por determinar
necesitamos 3n ecuaciones.Notar que hay n-1 nodosinteriores, es decir, nodos que no son los extremos.
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
10
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
11
¿Cómo encontrar las ecuaciones?• Los valores de la función
de polinomiosadyacentes deben ser iguales en los nodosinteriores (i = 2,…, n)
)(
)(
112
1
11112
11
−−−
−−−−−−
=++
=++
iiiiii
iiiiii
xfcxbxa
xfcxbxa
Tenemos 2n-2 ecs.Puesn-1 nodos interiores(2 ecs. para c/nodo)
f(x)
x
f(x)=ai-1 x2+bi-1 x+ci-1f(x)=aix2+bix+ci
xi-1 xixi-2
Intervalo i-1 Intervalo i
(I)
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
12
¿Cómo encontrar las ecuaciones restantes?
• La primera y la últimafunción deben pasar porlos puntos extremos.
• Las primeras derivadasen los nodos interioresdeben ser iguales.
• Suponemos que en el primer punto la segundaderivada es cero. Así, trazador del primer intervalo es lineal (trazador natural)
)(
)(2
0101201
nnnnnn xfcxbxa
xfcxbxa
=++
=++
iiiiii bxabxabaxxf
+=+
+=
−−−− 1111 222)('
a1=0
2
o bien n-1
1
Total 2n-2+2+n-1+1 = 3n ecuacionesPero Ec (IV) ya da el valor de una a, entonces 3n-1 ecuaciones
No. ecs
(II)
(III)
(IV)
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
13
SistemaSistema de de ecuacionesecuaciones resultanteresultante
• Note que el sistema de ecuaciones para las a, b, c puede escribirse como(Nota: m =3n-1) ⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mmmmmm
m
m
B
BB
AAA
AAAAAA
.........
.........
2
1
2
1
21
22221
11211
χ
χχ
El cual puede resolverse numéricamente.Por ejemplo, la subrutina gauss da un vector de resultados, quecorresponden a
b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 … am bm cm
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 … cm-2 cm-1 cm
a1=0
Intervalo 1 2 3 m
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
14
Ejemplo• Usar los datos de la tabla de la pag. 8• Notar que tenemos 4 datos y 3 intervalos 9 incógnitas, pero por Ec.
(IV) solo quedan 8.• Obtener el sistema de ecuaciones para las a, b, c.• Mostrar que los coeficientes para cada intervalo sona1= 0 b1= -1 c1=5.5a2=0.64 b2=-6.76 c2= 18.46a3=-1.6 b3= 24.6 c3=-91.3• Usar la subrutina gauss (en archivo gauss.for) para resolver el
sistema de ecuaciones resultante.
• Escribir las expresiones para los trazadores en cada intervalofi(x)=aix2+bi+ci.
• Evaluar la función en x=5Problema 18.10 del Chapra.
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
15
TrazadoresTrazadores ccúúbicosbicos
iiiii dxcxbxaxf +++= 23)(Polinomio de tercer grado
Se tienen 4n ecuaciones de las condiciones siguientes
• Los valores de la función deben ser iguales en los nodosinteriores (2n-2)
• La primera y la última función deben pasar por los puntosextremos (2).
• Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n-1).
• Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n-1).
• Las segundas derivada en los extremos son cero. Trazadores en los extremos son lineales (2).
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
16
PeroPero … … mejormejor formulaciformulacióónn alternativaalternativa
• Los nodos están unidos por una cúbica la segundaderivada es una línea recta. La escribimos como un polinomio de interpolación de Lagrange
1
1
11 )()()(
−
−
−− −
−′′+−−′′=′′
ii
iii
ii
iiii xx
xxxfxx
xxxfxf
•No conocemos las segundas derivadas.•Integramos dos veces para obtener fi(x) dos constantesde integración. Notar que segundas derivadas de miembroderecho tienen valores dados y vamos a determinarlos.
∫∫∫ −−−
− −−′′
+−−
′′=′′ dxxx
xxxfdxxx
xxxfdxxf i
ii
iii
ii
iii )()()()()( 1
11
1 Primera integral,Etc.
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
17
procedimientoprocedimiento
•Las constantes C1 y C2 se obtienen de: igualamos f(x) a f(xi-1) y a f(xi), al evaluarla en xi-1 y xi, respectivamente.
•Obtenemos un polinomio de grado 3 (resultado de dobleintegración de x) con dos incógnitas: las segundas derivadas(ver Ec. C18.3 de Chapra).
112
1
2
1
1
111
1
)2/()()2/()()(
)()()()()(
Cxxxxxxfxxx
xxxfxf
dxxxxxxfdxxx
xxxfdxxf
iii
iii
ii
iii
iii
iii
ii
iii
+−−′′
+−−
′′=′
−−′′
+−−
′′=′′
−−−
−
−−−
− ∫∫∫
Para la primera integral, por ejemplo
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
18
• Derivando la expresión para fi(x) y haciendo que estaprimera derivada sea continua en los nodos interiores, se obtienen n-1 ecuaciones con n+1 segundasderivadas de f (evaluadas en los n+1 nodos) desconocidas.
• Haciendo cero las segundas derivadas en los extremoseliminamos dos incógnitas se tienen n-1 ecuacionescon n-1 segundas derivadas como incógnitas
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
19
EcuaciEcuacióónn ccúúbicabica parapara cadacada intervalointervalo
)(6
))(()(
)(6
))(()(
)()(6
)()()(6
)()(
11
''
1
11
1
1
31
1
3
1
1
−−
−
−−
−
−
−−−
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
−+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −′′−
−+
−−′′
+−−
′′=
iiii
ii
i
iiii
ii
i
iii
iii
ii
iii
xxxxxf
xxxf
xxxxxf
xxxf
xxxxxfxx
xxxfxf
Rescribimos la ecuación para fi(x)
Notar que al sustituir los valores de las segundas derivadas, la función quedaperfectamente definida (las cantidades restantes son los datos).
(V)
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
20
Sistema de ecuaciones
• Con las segundas derivadas comoincógnitas, la Ec. C18.3.4 del Chapraqueda como
)]()([6)]()([6)('')()('')(2)('')(
11
11
111111
iiii
iiii
iiiiiiiii
xfxfxx
xfxfxx
xfxxxfxxxfxx
−−
+−−
=
−+−+−
−−
++
++−+−−
Notar que la matriz del sistema es tridiagonal y simétrica
(VI)
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
21
MatrizMatriz tridiagonaltridiagonal
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
44
333
222
11
000
000
fegfe
gfegf
Se puede definir por tres vectores e, f, g de n elementos, dondee1=gn=0Si corresponde a un sistema de ecuaciones, los términosindependientes se pueden dar en otro vector de n elementos, digamosel vector r. Ver subrutina tridiag.La solución de este sistema de ecuaciones puede obtenerse fácilmente, ver subrutinas decomp_thomas y subst_thomas.
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
22
ComparaciComparacióónn entreentre los los distintosdistintos trazadorestrazadores
Aunque la interpolacióncúbica es muy parecida al trazador, difieren sobretodo en las derivadas en los extremos.
Para los datos de la pag. 8
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
23
ComparaciComparacióónn entreentre los los distintosdistintos mméétodostodos de de interpolaciinterpolacióónn
Regresión lineal
Regresión polinomial
Regresión lineal múltiple
Interpolación polinomial de Newton en diferenciasdivididas
Interpolación polinomial de Lagrange
Trazadores cúbicos
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
24
EjerciciosEjercicios• Utilice la subrutina spline para interpolar los datos
de la pag. 8• Recuerde que debe leer el número de datos y los
arreglos x,y=f(x). Estos últimos se encuentran en un archivo.
• Evalúe la función en x=5. Compare con los valoresobtenidos usando trazadores lineales y cuadráticos.
• Resuelva los ejercicios 11, 21 y 22 del Cap. 18 del Chapra.
• Resuelva los ejercicios 3, 9 y 10 del Cap. 20 del Chapra.
Análisis Numérico y Programación
Primavera 2009 LMM
top related