guía de ejercicios esfuerzos y mohr-coulomb-preguntas
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7/25/2019 Gua de Ejercicios Esfuerzos y Mohr-Coulomb-preguntas
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MIN 242Mecnica de Rocas
Departamento de Ingeniera de Minas
Universidad Tcnica Federico Santa Mara
Gua de ejercicios
Clculo de esfuerzos y crculo de Mohr
1)
Se define una matriz de rotacin [R] como:
[]=
Se define (y se puede demostrar) que la rotacin de una matriz [A] viene dado por:
[A*] = [R][A][R]T.
a.
Sea el tensor de esfuerzos []= , encontrar las ecuacionescorrespondientes a la rotacin de las componentes de cada esfuerzo.
Resp:
= 2 + 2 + 2
=2 2 + 2
=(+ ) + 2 2= 12 ( )2+ 2
b. Considerando la condicin que debe cumplir el tensor asociado a los
esfuerzos principales, a qu ngulo se encuentra el plano que contiene los
esfuerzos principales?
Resp:
2= 2
c. En qu plano se encontrara el mximo esfuerzo de corte?
Resp:
tan2= 2
d. Qu relacin existe entre los planos de esfuerzo de corte mximo y el de los
esfuerzos principales?, Cul es su significado fsico?
Resp:
tan(2) = 1
tan2
2) Dado el siguiente tensor de esfuerzos:
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Departamento de Ingeniera de Minas
Universidad Tcnica Federico Santa Mara
[]= 20 1010 40
Determinar, del crculo de Mohr:a. Centro
Resp: p = 30 MPa
b. Esfuerzos principales.
Resp: 1= 44 y 3= 16
c. Direccin del plano donde actan los esfuerzos principales.
Resp: = 67,5
3) Usted es el Jefe del departamento de geotecnia de una reconocida minera y se
encuentra con la situacin que muestra la imagen, en la cual una importante fallaestructural, sin relleno, se encuentra cercana a un tnel de acceso a la mina.
Recordando sus cursos de mecnica de rocas decide medir el campo de esfuerzos de la
zona, entregndole el siguiente resultado.
z= 30 MPa
EW= 60 MPa
xz= 20 MPa
Analizando el problema en 2D, determinar:
a) Esfuerzos principales y la direccin de estos
Resp: 1= 56,8 MPa y 3= -6 MPa
b) Definir si, dadas las condiciones de esfuerzo, existe algn riesgo en realizar la
excavacin.
Resp: n= 40 MPa; = 10 MPa
c) Determine qu pasara s:
i. Existiera agua
ii. La roca posee una cohesin c = 30 MPa.
d) Calcular la cohesin de la roca
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Z
E
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4) Considere el siguiente estado de esfuerzos:
xx= 12 [kN/m2]
yy= 4 [kN/m2]
xy= 3 [kN/m2]
a)Determine el centro y radio del crculo de Mohr que representa el estado de
esfuerzos anterior.
Resp: p = 8 [kPa]; R = 5 [kpa]
b)Determine el ngulo de inclinacin del eje x con respecto al plano de esfuerzosprincipales.
Resp: = 18,4
c)Determine los esfuerzos en un plano rotado 30 (en sentido antihorario) con respecto
al eje de esfuerzos principales.
Resp: n= 7,4 [kPa]; = 5 [kPa]
5) Dados los esfuerzos principales siguientes:
1= 250 [kgf/cm2]
3= 50 [kgf/cm2]
a) Establezca el equilibrio de fuerzas para determinar y en un plano rotado 60 (ensentido antihorario) con respecto a 1.
b) Dibuje el crculo de Mohr y determine grficamente los valores anteriores.
c) Determine y analticamente, expresndolos primero en funcin de los esfuerzosprincipales y luego rtelo un plano 60 (en sentido antihorario) con respecto al plano
de esfuerzos principales.
Resp: n= 100 [Kgf/cm2]; = 86,6 [Kgf/cm
2]
6) Dado el siguiente estado de esfuerzos:
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a. Construya el crculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos anterior y a
partir de l, determine la magnitud de los esfuerzos principales (1 y 3) y suinclinacin con respecto al eje x (sistema original). Adems, determine la magnitud
de los esfuerzos normal ny de cizalle en el plano EF (10).
Resp: 1= 8,7 [MPa]; 3= 2,3 [MPa]; = 19,35; n= 8,5 [MPa]; = 1,1 [MPa]
b.
Use las ecuaciones de transformacin de esfuerzos ([*] = [R] [*] [R] T) para
determinar las componentes de esfuerzo en el sistema nuevo (ll y mm) y
comprelos con ny calculados anteriormente.Resp:
5,21,1
1,15,8
mmml
lmll
c. Escriba los esfuerzos principales en funcin de x, y y xy. Determine
analticamente las magnitudes y orientaciones del plano de esfuerzos principales y
comprelos con los valores determinados grficamente en la parte (a).Resp:
1= 1/2 * (xx+ yy) + [1/4 * (xxyy)2+ xy
2)1/2
= 8,7 [MPa]
3= 1/2 * (xx+ yy) - [1/4 * (xxyy)2+ xy
2)1/2
= 2,3 [MPa]
19,3
= -70,7
x= 8 [MPa]
y= 3 [MPa]
xy= 2 [MPa]
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