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*Geometría vectorial en el espacio*

*Planos coordenados*

Semieje negativo

Semieje positivo

x

y

z

O

Consideremos tres rectas perpendiculares entre si que se intersectan en un punto O

Dos rectas que se intersectan en el espacio determinan un plano.

La intersección del eje x con el eje y determinan el plano coordenado Oxy

x

yO

Oxy

La intersección del eje x con el eje z determina el plano coordenado Oxz

x

z

OOxz

La intersección del eje y con el eje z determina el plano coordenado Oyz

yz

O

Oxz

Al dibujar los tres planos coordenados obtenemos :

3D1

x y

z

O

OxzOyz

OxyI

II

III

IV

V

VIVIII

Los 3 planos coordenados Oxy, Oxz, Oyz dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes coordenados.

*Puntos en el espacio.*

Si queremos graficar el punto P=(1,1,1)

Nos ayudamos con la construcción de un paralelepípedo, como lo indica la siguiente secuencia:

xy

z

11

xy

z

11

1

xy

z

11

1

¿dónde está P=(1,1,1)?

Tracemos la diagonal del paralelepípedo desde el origen a el vértice mas lejano (antípoda) y allí se encuentra nuestro punto P.

3D2-3

P=(1,1,1)

O

x

y

z

•

1

1

1

Grafiquemos el punto Q=(-2,1,2)

•

1

2-2

Q

x

y

z

* Necesitamos saber la dimensión.*

La ecuación y=3 en dos dimensiones representa a una recta paralela al eje x.

En 3 dimensiones representa un plano paralelo al plano coordenado Oxz .

3D4-5-6

Gráfico de el plano y = 3

3

x

y

z

O

¿Cómo graficaría el plano z = 3 ?

3

x

y

z

O

¿Cómo graficaría el plano x = 3 ?

3

x

y

z

O

*Intersección de planos.*

Dos planos NO paralelos se intersectan en una recta.

Sean π 1 : x = 2 y π 2 : y = 4 dos planos.

El gráfico de π 1 ∩ π 2 es :

3D7

24

x

y

z

O

*Rectas en el espacio.*

Sabemos que en dimensión 2 , dos rectas son paralelas o bien se cortan en un punto.

¿Sucederá lo mismo en dimensión 3?

3D8

En dimensión 3 si las rectas no se cortan , puede suceder que ellas no sean paralelas. Las llamamos rectas oblicuas.

*Distancia entre dos puntos P1 =(x1 ,y1 ,z1) y P2 =(x2 ,y2 ,z2) *

RS

Q

P1

P2d

( ) ( ) 212

2121 yyxxQPRS −+−==

212

21

2 zzQPd −+=

( ) ( ) ( ) 212

212

212 zzyyxxd −+−+−=

*Segmentos dirigidos.*

Consideremos los puntos P=(1,1,2) y Q=(2,3,4)

El segmento dirigido tiene extremo inicial en P y extremo final en Q.

Trabajaremos con el segmento dirigido trasladado al origen mediante:

PQ

( ) ( ) ( )2,2,12,1,14,3,2 =−=−= PQPQ

3D9

Q

P

O

Gráficamente:

Observamos que ambos vectores tienen la misma dirección, sentido y magnitud.

Así podemos lograr que los vectores tengan el mismo punto inicial.

*Multiplicación de un vector u por un escalar

α ∈ IR *

u2u

3u

u

-uO

-u es el vector opuesto a u, está en la misma dirección, tiene la misma magnitud pero su sentido es opuesto al de u.

Diremos que dos vectores u y v son colineales (están en la misma recta o dirección) cuando uno sea múltiplo del otro, es decir:

vuIR αα =∈∃ ,

Los vectores u =(1/2, 2, 1) y v =(1, 4, 2)

¿están en la misma dirección?

v = 2u

*Base canónica*

Notación:

)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( === kji

Note que cualquier vector v=(a,b,c) se puede descomponer como :

( ) ( ) ( ) kcjbiacba ++=++ 1,0,00,1,00,0,1

Si existen a,b,c∈IR tal que u=ai+bj+ck, decimos que u es combinación lineal de los vectores i,j,k.

¿qué otra notación puede dar al vector 3i-k?

3i-k=3i+0xj-k=3(1,0,0)+0(0,1,0)-1(0,0,1)=(3,0,-1)

Gráficamente:

3D10-11-12

kj

i

Gráfico del vector 3i-k

¿Cuál es el gráfico del vector u=(2i+3j+4k)?

kj

i

Así sucesivamente, podemos obtener todos los vectores de como combinación lineal de los vectores i,j,k.

Decimos que el conjunto es una BASE para

3IR

{ }kjiB ,,=3IR

*Producto punto entre los vectores :

u=(u1 , u2 , u3 ) y v=(v1 , v2 , v3 ) *

Operación entre vectores que no es cerrada, definida por :

( ) ( ) 332211321321 ,,,, vuvuvuvvvuuuvu ++=⋅=⋅

*Norma de un vector u*

Corresponde a la magnitud o longitud del vector anotamos:

u

3D13

u

u1

u2

u3

2

2

2

1uu +

De acuerdo al gráfico tenemos que si u=(u1 ,u2 ,u3 ) , la norma de u corresponde a :

23

22

21 uuu ++

Notemos que

( ) ( )32132123

22

21 ,,,, uuuuuuuuu ⋅=++

Así

uuu ⋅=

**EJERCICIO**

En el primer octante se ubica una habitación cúbica de lado 4 metros de modo que un vértice coincida con el origen, desde donde se lanza una pelota en línea recta con velocidad constante. Si después de 2 segundos la pelota está en el punto (1,1,2) determine:

a) Con que pared chocará la pelota.

b) En qué punto de la pared chocará la pelota.

c) La distancia recorrida por la pelota desde que es lanzada hasta que choca con la pared.

d) El instante en que se producirá el choque.

3D12

4x

4y

4z

a) De acuerdo al dibujo, vemos que la pelota chocará con el techo, lo que corresponde al plano paralelo al plano coordenado Oxy de ecuación z = 4

b) Chocará en un punto de coordenadas (x,y,4). Como los vectores (x,y,4) y (1,1,2) son colineales, se cumple que:

( ) ( )2,1,14,,, αα =∈∃ yxIR

2

24

=⇔

===

αα

αα

y

x

Resolvemos el sitema :

La pelota choca con el techo en el punto (2,2,4)

c) Corresponde a la distancia del origen al punto (2,2,4), lo cual podemos calcular mediante la norma del vector

( ) 6216444,2,2 =++=

d) Como la velocidad de la pelota es constante podemos ocupar la fórmula :

t

dv=

t

62

2

6 =

La velocidad a los 2 segundos es la misma que al momento de chocar, luego resolviendo la ecuación:

Obtenemos que la pelota choca con el techo a los 4 segundos.