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Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 1/24 - A.G.Onandía
A
X
O
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos
1. Ecuaciones de la recta
La ecuación de una recta viene determinada por un punto
A(x0,y0,z0)R3 y un vector 321 ,, uuuu
V
3 o por dos puntos A(x0,y0,z0) ,
B(x1,y1,z1) R3 que viene a ser lo mismo. Al vector u
llamaremos vector
director de la recta.
Un punto cualquiera X(x,y,z) pertene a la recta r si el vector AX es proporcional al vector u
. Es
decir que la recta que pasa por A y tiene como vector director a u
está determinada por la
ecuación: RconuAX
teniendo en cuenta que axAX
se obtiene la ecuación:
1.1 Ecuación vectorial Rconuax
Poniéndola en coordenadas y componentes (x,y,z)= (x0,y0,z0)+ 321 ,, uuu con R separando
las componentes obtenemos:
1.2 Ecuaciones paramétricas R
uzz
uyy
uxx
30
20
10
Despejando de cada ecuación e igualándolas:
1.3 Ecuación continua 3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx
Si en lugar de conocer el vector director tenemos dos puntos se transforma en:
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
Operando estas igualdades, agrupando términos y ordenándolos obtenemos las
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 2/24 - A.G.Onandía
1.4 Ecuaciones cartesianas o implícitas
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAr
Como veremos más adelante ésta es una forma de representar una recta como intersección de dos
planos.
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,-1,-1) y tiene por vector
director u
(0,-1,2) en sus diferentes expresiones.
a) Ecuación vectorial (x,y,z)=(-1,-1,-1)+(0,-1,2) R
b) Ecuaciones paramétricas R
z
y
x
21
1
1
c) Ecuación continua 2
1
1
1
0
1
zyx
d) Ecuaciones cartesianas
032
01
zy
x
Ejemplo 2: Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1,-1,2) y B(0,-3,-2)
4
2
2
1
1
1
zyx siendo (-1,-2,-4) el vector director.
Geometría en el espacio
209
4Solucionario
013 Halla un punto C en el segmento AB, determinado por los puntos A(−3, 0, 1) y B(0, 6, 5), de modo que AC# sea la mitad que CB#.
Sea C c c c( , , )1 2 3 entonces: AC c c c= + -( , , )1 2 33 1W y CB c c c= - - -( , , )1 2 36 5W
AC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -1
23 1
1
26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
31
21
26
11
25
+ = -
= -
- = -
c
c c
c c
( )
( )
= -=
=
-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-
→ C 2 2
7
3, ,
Si W WAC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -1
23 1
1
26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
31
21
26
11
25
+ = -
= -
- = -
c
c c
c c
( )
( )
= -=
=
-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-
→ C 2 2
7
3, ,
014 Encuentra un punto D, para que el polígono ABCD sea un paralelogramo.A(0, 0, 0) B(2, −1, 3) C(−1, 2, 1)
Respuesta abierta.
Por ejemplo:
Considerando los vectores ABW y ACW, el punto D que buscamos es:
D = B + ACW = C + ABW
ABW = (2, -1, 3) ACW = (-1, 2, 1)
D B AC= + = - + - =( , , ) (2 1 3 1, 2, 1) (1, 1, 4)W
015 calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y tiene el vector director indicado.a) A(2, −1, −1) y Wv = (−2, −4, 4) b) A(1, 1, 1) y Wv = (−2, −2, −2)
a) OP OA t v x y z t= + = - - + - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4W W W
b) OP OA t v x y z t= + = + - - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2W W W
016 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, sabiendo que un punto y un vector director son:a) A(3, 0, −7) y Wv = (−10, 2, 6) b) A(0, 0, 0) y Wv = (1, 0, 0)
a) x ty tz t
= -== - +
3 102
7 6 b)
x tyz
===
00
017 calcula la ecuación continua de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(2, −1, −1) y B(0, −5, 3) b) A(1, 1, 1) y B(−1, −1, −1)
a) ABx y z
= - --
-=
+
-=
+( , , )2 4 4
2
2
1
4
1
4→W
b) ABx y z
= - - --
-=
-
-=
--
( , , )2 2 21
2
1
2
1
2→W
Halla dos vectores Wu y Wv tales que:Wu − Wv = (0, 0, 1) Wu + Wv = (1, 0, 0)
¿cuántos vectores en el espacio verifican estas dos condiciones?
Los vectores Wu y Wv son únicos.
Determina el número máximo de vectores independientes, y elige vectores que lo sean.
Wv1 = (1, −1, 0) WWv2 = (0, 1, −1) Wv3 = (3, 0, −3) Wv4 = (1, 1, 1)
Hay tres vectores linealmente independientes.
son vectores linealmente independientes.
comprueba si estas colecciones de vectores son base del espacio o no.
a) Wv1 = (2, −1, 0), Wv2 = (2, 1, 0) y Wv3 = (2, 0, 1)b) Wv1 = (3, −7, 1), Wv2 = (−1, 4, 0) y Wv3 = (5, −10, 2)
a)
Los vectores forman una base.
b)
Los vectores no forman una base.
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Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 3/24 - A.G.Onandía
2. Ecuaciones del plano
Un plano queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)R3 y dos vectores
3
321321 ,,,,, Vvvvvuuuu
linealmente independientes o por tres puntos no alineados.
Los vectores vyu
se llaman vectores directores del plano.
Un punto X pertenece al plano si el vector AX es
combinación lineal de vyu
es decir RvuAX ,
teniendo en cuenta que axAX
obtenemos la ecuación:
2.1 Ecuación vectorial Rvuax ,
Considerando un sistema de referencia kjiO
,,, tenemos que A(x0,y0,z0),
321321 ,,,,, vvvvuuuu
sustituyendo en la ecuación anterior nos queda:
Rvvvuuuzyxx ,,,,,,, 321321000
separando por componentes:
2.2 Ecuaciones paramétricas R
vuzz
vuyy
vuxx o
,
330
220
11
2.3 Ecuación general o implícita
Hemos visto que un plano queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)R3 y dos vectores
linealmente independientes 3
321321 ,,,,, Vvvvvuuuu
que llamamos vectores directores i.e. (A,
vu
, ) (se denomina determinación lineal del plano).
Un punto X pertenece al plano si el vector AX es combinación lineal de vyu
es decir
2,, vuAXRg
es decir 0
321
321
000
vvv
uuu
zzyyxx
desarrollando por los adjuntos de los elementos
de la 1ª fila se obtiene una expresión del tipo Ax+By+Cz+D=0 que se denomina ecuación general o
implícita del plano.
A X
O
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
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Observación: a) si C≠0 entonces los vectores u C,0,-A y u 0,C,-B son dos vectores directores.
Ejemplo: Sea π≡ 3x+2y+z-4=0, dos vectores directores son: 3,0,1u
, 2,1,0v
Comprobación 1,2,3nkj2i3
210
301
kji
vun
b) fijándonos en la ecuación general del plano y en las ecuaciones cartesianas de una
recta es evidente que podemos pensar en una recta como intersección de dos planos.
2.4 Ecuación del plano que pasa por 3 puntos
Sean 222111000 ,,,,,),,( zyxCyzyxBzyxA tres puntos no alineados entonces los vectores ACyAB
son linealmente independientes y los podemos tomar como vectores directores del plano.
Consideramos el plano ACABA ,, como hemos viso su ecuación será:
0
1
1
1
1
222
111
000
020202
010101
000
zyx
zyx
zyx
zyx
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
Ejemplo 3: Hallar las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano (A, vu
, ) siendo
A(1,2,5) 6,2,53,1,2 vyu
. Sol. 3y+z-11=0
Ejemplo 4: Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(0,-3,2) y C(1,0,-2)
Sol -5x+3y+z+7=0
Ejemplo 5: Comprobar si los puntos A(1,2,11), B(-1,3,7), C(2,-5,0) y D(-4,2,-4) son coplanarios. Sol Si
2.5 Ecuación normal
Otra forma de determinar un plano es conociendo un punto
A(x0,y0,z0) y un vector normal a él. ),,( 321 nnnn
El plano está formado por todos los puntos X tal que el vector
naortogonalesAX
es decir 0)(0 axnAXn
que
se denomina ecuación normal del plano.
A X
O
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 5/24 - A.G.Onandía
Poniendo esta ecuación en componentes obtenemos:
0)(
0)()()(
0),,)(,,(
030201321
030201
000321
znynxnznynxn
zznyynxxn
zzyyxxnnn
relacionándolo con la ecuación implícita del plano Ax+By+Cz+D=0 tenemos que n1=A; n2=B; n3=C
por lo tanto un vector normal al plano es ),,( CBAn
.
Al vector ),,( CBAn
se le denomina vector característico del plano.
Lo que queda claro es que podemos determinar el plano mediante un punto y un vector ortogonal
i.e. (A, n
) se denomina determinación normal del plano.
Recordemos que cuando damos el plano por un punto y dos vectores (A, vu
, ) se denomina
determinación lineal del plano.
Ejemplo 6: Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,-1,5) y tiene como vector
característico (1,-1,3).
01831801512)5,1,2(
03
zyx
DDA
Dzyxn
Ejemplo 7: Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2,3,1) y B(5,2,-1) es perpendicular al plano
0523 zyx
2.6 Ecuación segmentaría
Es la ecuación del plano referida a los puntos de corte con los ejes cartesianos:
cOZbOyaOX ,0,00,,00,0,
Si hallamos la ecuación del plano que pasa por esos tres puntos podemos obtener una expresión del
tipo 1c
z
b
y
a
x
Es evidente que los tres puntos verifican esta ecuación.
Ejemplo 8: Plano determinado por una recta 11
3
2
1
zyxr y un punto A(2,0,1) exterior a ella.
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 6/24 - A.G.Onandía
)0,3,1(
)1,1,2(
11
3
2
1
B
uzyxr
1,3,11,3,1 vtomarpodemosAB
la determinación lineal del plano será vuA
,,
0737,1,373
031
112
Dzyxnkji
kji
vun
imponiéndole que pase por el punto A(2,0,1) 6+0+7+D=0 D=-13. Solución: 3x+y+7z-13=0
Ejemplo 9: hallar la ecuación de un plano ’ que contenga la recta 1
1
3
1
2
1
zyxr y sea
perpendicular al plano R
z
y
x
,
kji
kji
vvunvuv
Au
101
0111,0,1,0,1,1
1,1,11,3,2
''
''
La determinación lineal del plano que se demanda es
kji
kji
vutoporyvuA
34
111
132tan),,(' ''''
tomando
0834034)1,3,4 zyxAporpasarhaciendoleyDzyxn
Ejemplo 10: Dada la ecuación del plano 2x+y-8z=4. Hallar los puntos de corte con los ejes
coordenados y el área del triángulo que determinan.
2
1,0,0
2
10,0
0,4,040,0
0,0,220,0
CzyxOZ
ByzxOY
AxzyOX
2
2
698,1,2
2
1
2
102
0422
1
2
1u
kji
ACABtriángulodelÁrea
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 7/24 - A.G.Onandía
Observaciones: Cuando tomamos vectores para la determinación de planos o rectas se pueden
multiplicar por un número real (simplificar,) pues lo único que nos interesa de ellos es su dirección y
ésta se mantiene constante.
Ahora bien, cuando vayamos a calcular áreas o volúmenes no lo podemos hacer ya que en
estos casos también necesitamos utilizar, por lo menos, la información del módulo.
Lo que nunca se puede hacer es multiplicar por escalares los puntos, ya que obviamente
cambiamos de punto.
En los ejemplos anteriores hemos multiplicado los vectores salvo en el último que teníamos que
hallar un área.
Ejercicio 1: Hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al
plano 1 determinado por el punto A(1,-1,0) y la recta que pasa por el punto B(2,2,2) y tiene por vector
director (1,2,3). Sol 5x-y-z=0
Ejercicio 2: Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento que une los puntos A(2,-1,3) y
B(-4,2,2) y pasa por el punto medio. Sol: 6x-3y+z+5=0
Relación: “ Ejercicios rectas y planos I ”
Anaya. Página 166. Ejercicios: 9; 10; 11; 12; 14.
Página 167. Ejercicios: 21, 22, 25, 27, 33, 38, 39, 41, 55.
Geometría en el espacio
209
4Solucionario
013 Halla un punto C en el segmento AB, determinado por los puntos A(−3, 0, 1) y B(0, 6, 5), de modo que AC# sea la mitad que CB#.
Sea C c c c( , , )1 2 3 entonces: AC c c c= + -( , , )1 2 33 1W y CB c c c= - - -( , , )1 2 36 5W
AC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -1
23 1
1
26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
31
21
26
11
25
+ = -
= -
- = -
c
c c
c c
( )
( )
= -=
=
-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-
→ C 2 2
7
3, ,
Si W WAC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -1
23 1
1
26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
31
21
26
11
25
+ = -
= -
- = -
c
c c
c c
( )
( )
= -=
=
-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-
→ C 2 2
7
3, ,
014 Encuentra un punto D, para que el polígono ABCD sea un paralelogramo.A(0, 0, 0) B(2, −1, 3) C(−1, 2, 1)
Respuesta abierta.
Por ejemplo:
Considerando los vectores ABW y ACW, el punto D que buscamos es:
D = B + ACW = C + ABW
ABW = (2, -1, 3) ACW = (-1, 2, 1)
D B AC= + = - + - =( , , ) (2 1 3 1, 2, 1) (1, 1, 4)W
015 calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y tiene el vector director indicado.a) A(2, −1, −1) y Wv = (−2, −4, 4) b) A(1, 1, 1) y Wv = (−2, −2, −2)
a) OP OA t v x y z t= + = - - + - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4W W W
b) OP OA t v x y z t= + = + - - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2W W W
016 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, sabiendo que un punto y un vector director son:a) A(3, 0, −7) y Wv = (−10, 2, 6) b) A(0, 0, 0) y Wv = (1, 0, 0)
a) x ty tz t
= -== - +
3 102
7 6 b)
x tyz
===
00
017 calcula la ecuación continua de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(2, −1, −1) y B(0, −5, 3) b) A(1, 1, 1) y B(−1, −1, −1)
a) ABx y z
= - --
-=
+
-=
+( , , )2 4 4
2
2
1
4
1
4→W
b) ABx y z
= - - --
-=
-
-=
--
( , , )2 2 21
2
1
2
1
2→W
Halla dos vectores Wu y Wv tales que:Wu − Wv = (0, 0, 1) Wu + Wv = (1, 0, 0)
¿cuántos vectores en el espacio verifican estas dos condiciones?
Los vectores Wu y Wv son únicos.
Determina el número máximo de vectores independientes, y elige vectores que lo sean.
Wv1 = (1, −1, 0) WWv2 = (0, 1, −1) Wv3 = (3, 0, −3) Wv4 = (1, 1, 1)
Hay tres vectores linealmente independientes.
son vectores linealmente independientes.
comprueba si estas colecciones de vectores son base del espacio o no.
a) Wv1 = (2, −1, 0), Wv2 = (2, 1, 0) y Wv3 = (2, 0, 1)b) Wv1 = (3, −7, 1), Wv2 = (−1, 4, 0) y Wv3 = (5, −10, 2)
a)
Los vectores forman una base.
b)
Los vectores no forman una base.
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210
Geometría en el espacio
023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados.
Eje X y eje Y:
Eje X y eje Z:
Eje Y y eje Z:
024 Determina la posición de estas rectas:
PQW = (3, 5, -5)
Rango Rango
Las rectas son paralelas.
025 Determina las posiciones relativas de las siguientes rectas:
PQW = (-2, -2, -2)
Rango Rango
Las rectas son secantes.
018 Halla las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(3, 0, −7) y B(−7, 2, −1) b) A(0, 0, 0) y B(1, 0, 0)
a) ABx y z
x yx
= --
-= =
+
- = -- =
( , , )10 2 63
10 27
6
2 6 106 18
→
→-- -
+ - =+ + =
10 70
5 3 06 10 52 0z
x yx z
→
W
b) ABy
z=
==
( , , )1 0 00
0→W
019 obtén la ecuación vectorial del plano en cada caso.a) A(2, −1, −1), B(0, −5, 3) y C(1, 1, 1) b) A(1, 1, 1), B(−1, −1, −1) y C(1, 2, 2)
a) ABW = (-2, -4, 4) ACW = (-1, 2, 2)
OP OA AB AC x y z= + + = - - + - - +l m l→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4 mm ( , , )-1 2 2W W W W
b) ABW = (-2, -2, -2) ACW = (0, 1, 1)
OP OA AB AC x y z= + + = + - - - +l m l m→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2 (( , , )0 1 1W W W W
020 Halla las ecuaciones paramétricas del plano correspondiente.a) A(3, 0, −7), Wu = (−10, 2, 6) y Wv = (0, 3, 10)b) A(0, 0, 0), Wu = (1, 0, 0) y Wv = (4, 4, 4)
a) πl
l ml m
:xyz
= -= += - + +
3 102 3
7 6 10 b) π
l mmm
:xyz
= +==
444
021 Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto P (−1, 0, 2) y contiene a la recta de ecuación:
rx y z
:− =
−−
= +11
3
14
3
El plano está definido por P (-1, 0, 2), el vector director de la recta Wv2 = (1, -1, 3) y el vector APW, con A (1, 3, -4) ∈ r.
APW = (-2, -3, 6)
π:
x y z
x y z
+ - --
- -= - - + =
1 0 2
1 1 3
2 3 6
0 3 12 5 13 0→ π :
022 obtén la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, −7), B(5, −2, 9) y C(5, −4, 0).
ABW = (4, -3, 16) ACW = (4, -5, 7)
π:
x y z
x y z
- - +--
= + - - =1 1 7
4 3 16
4 5 7
0 59 36 8 151 0→ π :
833276 _ 0202-0259.indd 210 21/7/09 15:10:04
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 8/24 - A.G.Onandía
3. Posiciones relativas de dos planos.
Sean dos planos cualesquiera de ecuaciones 0
0
22222
11111
DzCyBxA
DzCyBxA
Estudiar su posición relativa equivale a discutir el sistema formado por ellos. Utilizando el teorema
de Rouche-Frobenius:
222
111
CBA
CBAM
2222
1111*
DCBA
DCBAM
Si RgM=RgM* sistema compatible
o Si RgM=RgM*=2 3 S.C.I. soluciones dependiendo de un parámetro se cortan en
una recta (ecuaciones cartesianas de la recta) planos secantes.
La recta es la solución del sistema 21 nnur
o Si RgM=RgM*=1 3 S.C.I. soluciones dependiendo de dos parámetros las
ecuaciones son proporcionales planos coincidentes
Si RgM≠RgM* sistema incompatible
o Si RgM=1 y RgM*=2 S.I. no existe solución planos paralelos.
1
2
1
2
1
2
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 9/24 - A.G.Onandía
Observación: De aquí se obtiene la condición de paralelismo:
Si RgM=1 implica que los coeficientes de las variables en ambas ecuaciones son proporcionales y si
el RgM*=2 quiere decir que no lo son los términos independientes i.e.
21212121 ,,, kDDkCCkBBkAA 2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
De estos resultados se deducen las fórmulas para obtener las posiciones relativas de dos planos:
Planos paralelos ------2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
Planos coincidentes --2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
Planos secantes -------2
1
2
1
2
1
2
1
C
C
A
Ao
B
B
A
A
Ejemplo 11: Hallar la intersección de los planos:
024
1323
2
1
zyx
zyx
.2*2241
323rectaunaesRgMRgMRg
Varios métodos de resolución:
a) kji
kji
nnur 1498
241
32321
hallamos un punto de la recta: para x=0
2
1,
4
1,0
2
1
4
1
024
132Pzy
zy
zy
la recta será
1 1
4 2
8 9 14
y zx
b) Se elimina la variable y de las dos ecuaciones dando 7x+4z=2
se elimina la variable z de las dos ecuaciones dando 9x+8y=2
después despejando la variable x de estas dos nuevas ecuaciones obtenemos:
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 10/24 - A.G.Onandía
4
72
1
8
94
1
1
8
94
1
9
28
4
72
1
7
24
zyx
yy
x
zz
x
c) Resolviendo como un sistema compatible e indeterminado:
llamamos a x=
4
728
92
24
3132
z
y
zy
zy por tanto la ecuación será:
R
z
y
x
4
7
2
1
8
9
4
1
Ejercicio 3: Determinar la posición relativa de los planos 08532
02423
2
1
zyx
zyx
y dar la ecuación
de los puntos que tienen en común en caso de tenerlos.
Sol. r 21 13,23,2ru
Ejercicio 4: Idem con 02846
01423
2
1
zyx
zyx
Sol. 21 concoincide
Ejercicio 5: Idem. 07846
01423
2
1
zyx
zyx
Sol 21
Ejercicio 6: calcular la ecuación de dos planos que se corten en la siguiente recta:
R
z
y
x
52
3
32
(idéntico a lo realizado en teoría cuando calculamos las ecuaciones
cartesianas de una recta)
Anaya. Página 167. Ejercicio 37.
Geometría en el espacio
213
4Solucionario
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
rx y z
x y z: :1
2
21
12 5 3 3 0=
+= −
−− + + =π
rx y z
rx y
x zr
x: : :
1
2
2
1
1
2 2
1
2=
+=
--
= +- = -
-→ →
yy
x z
- =+ - =
2 0
1 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
11 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
-
-= ≠
-
-
- -→ Rango
=
- --
-
--
Rango
2 1 0 2
1 0 1 1
2 5 3 3
= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0
b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0
a) Rango- -
-
=
-- -
1 2 1
1 2 11
-= - ≠
- --
-
-- -
1 0
1 11 0
1 2 1 0
1 2 1 1→ Rango == 2
Los planos son paralelos.
b) 1 0
0 22 0
1 0 1
0 2 1
- --
= - ≠-
- -
=→ Rango Ranggo
1 0 1 11
0 2 1 112
- -- -
=
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a) -
-= ≠
- --
=
--
-- -
6 5
1 11 0
6 5 3
1 1 1→ Rango
-- --
=
-- -
6 5 3 2
1 1 1 02
Los planos son secantes.
b) - -
--
- -= - ≠
- -- -
1 1
2 24 0
1 2 1
2 4 2→ Rango ==
- -- -
=
--
Rango1 2 1 1
2 4 2 32
Los planos son secantes.
Estudia la posición relativa de estas rectas:
Rango
Rango
Las rectas son secantes.
Estudia la posición relativa de las rectas:
Las rectas se cruzan.
calcula la posición relativa de la recta y el plano:
La recta y el plano se cortan en un punto.
833276 _ 0202-0259.indd 213 21/7/09 15:10:15
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 11/24 - A.G.Onandía
4. Posiciones relativas de tres planos
Sean tres planos cualesquiera de ecuaciones:
0
0
0
33333
22222
11111
DzCyBxA
DzCyBxA
DzCyBxA
formamos un sistema
de tres ecuaciones con tres incógnitas y aplicamos el teorema de Roché-Frobeniüs:
3
2
3
2
3
2
111
C
C
B
B
A
A
CBA
M
3
2
3
2
3
2
3
2
1111
*
D
D
C
C
B
B
A
A
DCBA
M
RgM=RgM* sistema compatible:
o RgM=RgM*=3 S.C.D. existe una única solución tres planos que se cortan en un
punto (formando un triedro)
o RgM=RgM*=2n=3 S.C.I. soluciones dependiendo de un parámetro una recta
3 planos secantes coincidentes en un recta
3
2
1
3
2
1
3 planos que se cortan
en un punto
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 12/24 - A.G.Onandía
2 planos coincidentes y uno secante
o RgM=RgM*=1n=3 soluciones dependiendo de dos parámetros solución un plano
tres planos coincidentes.
Se estudian las posiciones relativas de los planos dos a dos.
RgM≠RgM* sistema in compatible no tiene solución:
o RgM=2 y RgM*=3 los tres vectores característicos no son paralelos
2 planos paralelos y otro secante.
3 planos secantes dos a dos.
Las tres rectas que determinan son paralelas.
3=2
1
1=2=3
1
3
2
1 3
2
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 13/24 - A.G.Onandía
o RgM=1 y RgM*=2 los tres vectores característicos son paralelos
3 planos paralelos
2 coincidentes y otro paralelo
Se estudian las posiciones relativas de los planos dos a dos.
Ejemplo 12: Hallar los valores de K para que los planos 1 x+y+kz=1, 2 Kx+y+z=1 y 3
2x+y+z=K tengan una recta en común. Hallar su vector director.
Solución:
123 recta S.C.I. dependiendo de un parámetro RgM=RgM*=2
k
k
k
M
112
111
111
* 21023
112
11
112 kkkkk
k
M
si k=1 2*0
112
111
111
012
11 RgMRgMorlando y por lo tanto los planos se cortan
en una recta cuyo vector director será el producto vectorial de los vectores característicos L.I.
1,1,0
112
11132
kj
kji
nnur
3
2
1
3=2
1
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 14/24 - A.G.Onandía
si k=2
1 1 11 1
0 2 1 1 0 2 * 32 1
2 1 2
orlando RgM RgM sistema icompatible.
Solución k=1.
Ejemplo 13: Se consideran los planos 1 x+ky+z=k+2, 2 x+y+kz=-2(k+1), 3 kx+y+z=k.
Determinar según los valores de k, las posiciones relativas de los planos (i.e. dar la interpretación
geométrica del sistema de ecuaciones).
Sol.
11
11
11
k
k
k
M
kk
kk
kk
M
11
)1(211
211
* 120122
kkkkM
si k≠-2 k≠1 RgM=RgM*=3 S.C.D. tres planos que se cortan en un punto ( que es la
solución del sistema)
si k=1 RgM=1≠RgM*=2 S.I.
Estudiamos las posiciones relativas de los planos 2 a 2:
12 1/1=1/1=1/1≠-3/4 12
13 13
por tanto los tres planos son paralelos
si k=-2 RgM=RgM*=2 S.C.I. dependiendo de un parámetro la solución es una recta
Estudiamos las posiciones relativas de los planos 2 a 2:
12 1 y 2 secantes
13 1 y 3 secantes
23 1 y 3 secantes
Luego tres planos no coincidentes que se cortan a lo largo de una recta.
Anaya. Página 167. Ejercicio 32.
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 15/24 - A.G.Onandía
5. Haz de planos que pasan por un punto.
Se llama haz de planos de vértice B, al conjunto de todos los planos que pasan por B.
Sea B(x0, y0, z0) y Ax+By+Cz+D=0 un plano perteneciente al haz de planos de vértice B, se
verifica: Ax0+By0+Cz0+D=0 D=-(Ax0+By0+Cz0) y sustituyendo Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
y dando los posibles valores a A, B, C se obtienen todos los planos del haz de planos.
6. Haz de planos paralelos.
Se llama haz de planos paralelos a uno dado, al conjunto de todos los planos que son paralelos a
ese plano.
El vector característico (normal) de todas es el mismo ),,( CBAn
, entonces su ecuación es
Ax+By+Cz+D=0
y dando todos los posibles valores a D se obtienen todos los planos.
Ejemplo 14: Hallar un plano paralelo al plano 3x-2y+z-3=0 que pase por el punto P(1,-2,0).
Solución: la determinación normal del plano buscado es ( 0,2,1),1,2,3( Pn
) luego la ecuación del
haz de planos es: 3x-2y+z+D=0, le imponemos que pase por el punto P 3+4+D=0 D=-7
Sol: 3x-2y+z-7=0
7. Haz de planos secantes.
Planos que contienen una recta.
Dados dos planos 0
0
22222
11111
DzCyBxA
DzCyBxA
, secantes, se llama haz de planos secantes al
conjunto de todos los planos que contienen a la recta de 12.
La ecuación es: 1+2=0 022221111 DzCyBxADzCyBxA dando
valores a y vamos obteniendo todos los planos.
Su figura gráfica es similar a un libro abierto.
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 16/24 - A.G.Onandía
Ejemplo 15: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-1,3) y contiene a la recta :
012
2
2
1
zyx
zyx
Solución mediante haz de planos:
haz de planos 0122 zyxzyx le imponemos que pase por el punto P(2,-1,3)
4+=0 =-4 para =1 =-4 sol. 7x+5y-5z+6=0
Este tipo de ejercicios ya lo hemos resuelto anteriormente calculando un vector director del plano
como producto vectorial de los vectores característicos de los planos que determinan la recta. Luego
hallamos un punto de la recta y tomamos como segundo vector director el vector que une los dos
puntos que junto con el punto del enunciado nos permite hallar la ecuación del plano buscado.
1,1,03,3,033
112
11121
ucomotomarpodemoskj
kji
nnu
Calculamos un punto de la recta: hacemos z=0 y resolvemos el sistema
12
2
yx
yx Q(1/3,-5/3,0)
luego PQuP ,,
9,2,53,3
2,
3
5
PQ
0 1 1 7 5 5 7,5, 5 7 5 5 0
5 2 9
i j k
n u PQ i j k x y z D imponiendo que pase por P
obtenemos D=6 sol. 7x+5y-5z+6=0
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 17/24 - A.G.Onandía
8. Posición relativa entre recta y plano.
Partimos de que la recta viene dada como su determinación lineal uAr
,
Sean la recta 3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xxr
y el plano Ax+By+Cz+D=0, estudiando la relación
que existe entre el vector característico del plano n
y el vector director de la recta u
tenemos:
si u n
u
. n
=0
o A entonces r está en (r) r1
o A entonces r es paralela a (r) r2
si u
no es perpendicular con n
u
. n
≠0 r corta
a r=P r3.
Observación: se cortan perpendicularmente si u n
u n
= 0
u
y n
proporcionales.
Esta es la manera más recomendable de realizar el estudio.
Ahora bien, si la recta viene dada por intersección de dos planos podemos hacerlo estudiando la
posición de los tres planos que ya hemos estudiado en el apartado 7, teniendo en cuenta que el
RgM2, pues la recta está determinada por dos planos con vectores característicos L.I. así tenemos:
00
03333
2222
1111
DzCyBxAy
DzCyBxA
DzCyBxAr
RgM=RgM* sistema compatible
o RgM=RgM*=3 S.C.D. solución un punto r corta a .
o RgM=RgM*=2 S.C.I. solución una recta r está en .
RgM≠RgM* sistema incompatible
o RgM=2 y RgM*=3 S.I. no hay solución r es paralela a .
r1
r2 r3
P
A
●
●
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 18/24 - A.G.Onandía
Observación: Para hallar la solución ( o estudio de las posiciones relativas) de una recta dada
mediante su determinación lineal, y un plano, es muy recomendable poner la recta en paramétricas y
sustituirlas en la ecuación del plano.
Ejemplo 16: Determinar la posición relativa de la recta 3
3
1
4
7
2
zyxr y el plano
05523 zyx y su intersección si existe.
Solución: 3,1,7,3,4,2 ruAr
5,2,3 n
Calculamos 7,1, 3 3,2, 5 4 0ru n r corta a
Pasamos la recta a paramétricas: R
z
y
x
33
4
72
las sustituimos en la ecuación del plano
3(2-7)+2(4+)-5(3-3)+5=0 =1 la solución es P(-5,5,0)
Observación: Se puede hacer directamente pasando la recta a paramétricas, sustituyendo en la
ecuación del plano y estudiando el resultado obtenido:
k=t (k≠0) ecuación resoluble tiene sol se cortan.
0=0 es una identidad soluciones coinciden.
k=0 (k≠0) ecuación imposible no tiene sol son paralelos.
Ejemplo 17: Determinar la posición relativa de la recta
04
06723
zyx
zyxr y el plano
083 zyx dando los puntos comunes si los tiene.
Solución: 1,4,545
111
7231,1,17,2,3
kji
kji
ur
1,1,3 n
5, 4,1 3, 1,1 20 0ru n r corta a .
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 19/24 - A.G.Onandía
Ponemos la recta en paramétricas z= y resolvemos
4
6723
yx
yx obteniendo
z
y
x
46
52
sustituyendo en el plano 3(5-2)-(6-4)+-8=0 20-20=0 =1
Sol: P=r=(3,2,1)
Haciéndolo por rangos RgM=RgM*=3 sistema compatible determinado se cortan en un punto que
se obtiene resolviendo el sistema por Cramer x=3, y=2, z=1.
Ejemplo 18: Dada la recta
122
2
zyx
zyxr y el plano 2x-y+mz=1 determinar sus posiciones
relativas dependiendo de los diferentes valores del parámetro m.
Solución (tres estrategias)
Estrategia 1:
Ponemos la recta en paramétricas y sustituimos en el plano.
z
Ry
x
r3
41
3
11
sustituyendo en el plano
escoincidentmsi
corsemsimm
002
tan2021
3
41
3
112
Estrategia 2:
Por rangos: A=-3(m-2) A=0 m=2
m≠2 RgM=RgM*=3 se cortan
m=2 RgM=2=RgM* recta contenida en el plano
Estrategia 3:
Comparando los vectores director de la recta y característico del plano.
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 20/24 - A.G.Onandía
3,4,134
212
1112,1,21,1,1
kji
kji
ur
1, 4, 3 2, 1, 6 3 0ru n m m
m=2 0 nur
paralelos o coincidentes. Tomamos un punto de la recta para ello hacemos
z=0 y resolvemos
12
2
yx
yx obteniendo A(1,1,0)
veamos si está en 2.1-1+0=1 la recta está contenida en el plano.
m≠2 0 nur
se cortan.
Ejercicio 7: Hallar el valor de m para que la recta
1
1
zx
yxr y el plano x+my-z-6=0
a) sean paralelos
b) sean perpendiculares
solución:
1
1
z
y
x
r 1,1,01,1,1 rr Pu
1,,1 mn
a) m21,m,11,1,1nu r
si m=2 paralelos o coincidentes ¿Pr? 0+2+1+6≠0 recta paralela al plano
si m≠2 se cortan
sol paralelos para m=2
b) se cortan perpendicularmente nur
naproporcialesur
1/1=m/-1=-1/-1 m=-1
solución se cortan perpendicularmente para m=-1.
Si lo hacemos con productos vectoriales:
1010,0,011
11
111
mmkmim
m
kji
nur
Anaya. Página 167. Ejercicio 34.
212
Geometría en el espacio
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0
b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0
a)
Los planos son paralelos.
b)
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a)
Los planos son secantes.
b)
Los planos son secantes.
026 Estudia la posición relativa de estas rectas:
rx y z
x y zs
x y zx y z
: :− + − =
+ − =
+ − + =− +
2 02 0
2 02 ==
0
- ---
= ≠--
1 2 1
2 1 1
1 1 1
1 0 → Rango
- ---
-
-
- -- -- -
1 2 1
2 1 1
1 1 1
1 2 1
= 3
- ---
-
=
-- -- -- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0
0 → Rango
- ---
-
-- -- -- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0
= 3
Las rectas son secantes.
027 Estudia la posición relativa de las rectas:
r
y zx z
sy z
x y z: :
− − =− + =
− + =− + − =
3 02 1 0
03 1 0
r
y zx z
sy z
x y z: :
− − =− + =
− + =− + − =
3 02 1 0
03 1 0
0 1 1
2 0 1
1 3 1
3 0
0 1 1
2 0 1
0 1 1
1 3
--
-
--
-
--
-= ≠
--
--
→ Rango
--
=
1
3
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
9 0
-- -
- --
- --
-- -
= ≠ → Rango
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
-- -
- --
- --
-- -
= 4
Las rectas se cruzan.
028 calcula la posición relativa de la recta y el plano:
rx y z
x y zx z: :
+ − + =− + − + =
+ + =2 0
3 1 01 0π
-
- -
-
- -
-- - = ≠
-- -
1 1 1
1 3 1
1 0 1
6 0
1 1 1
1 3 1
1 0 1
→ Rango
=
-- --
- -Rango
1 1 1 2
1 3 1 1
1 0 1 1
= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
833276 _ 0202-0259.indd 212 21/7/09 15:10:12
Geometría en el espacio
213
4Solucionario
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
rx y z
x y z: :1
2
21
12 5 3 3 0=
+= −
−− + + =π
rx y z
rx y
x zr
x: : :
1
2
2
1
1
2 2
1
2=
+=
--
= +- = -
-→ →
yy
x z
- =+ - =
2 0
1 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
11 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
-
-= ≠
-
-
- -→ Rango
=
- --
-
--
Rango
2 1 0 2
1 0 1 1
2 5 3 3
= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0
b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0
a) Rango- -
-
=
-- -
1 2 1
1 2 11
-= - ≠
- --
-
-- -
1 0
1 11 0
1 2 1 0
1 2 1 1→ Rango == 2
Los planos son paralelos.
b) 1 0
0 22 0
1 0 1
0 2 1
- --
= - ≠-
- -
=→ Rango Ranggo
1 0 1 11
0 2 1 112
- -- -
=
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a) -
-= ≠
- --
=
--
-- -
6 5
1 11 0
6 5 3
1 1 1→ Rango
-- --
=
-- -
6 5 3 2
1 1 1 02
Los planos son secantes.
b) - -
--
- -= - ≠
- -- -
1 1
2 24 0
1 2 1
2 4 2→ Rango ==
- -- -
=
--
Rango1 2 1 1
2 4 2 32
Los planos son secantes.
Estudia la posición relativa de estas rectas:
Rango
Rango
Las rectas son secantes.
Estudia la posición relativa de las rectas:
Las rectas se cruzan.
calcula la posición relativa de la recta y el plano:
La recta y el plano se cortan en un punto.
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Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 21/24 - A.G.Onandía
9. Posiciones relativas de dos rectas.
Tomamos las rectas expresadas en sus determinaciones lineales ssrr uPsyuPr
,,
Si sr uu
Rg( sr uu
, )=1 vectores proporcionales 0
sr uu
o Prs Rg( srsr PPuu ,,
)=1 S.C.I. soluciones dependiendo de un parámetro r y s
coincidentes
o Prs Rg( srsr PPuu ,,
)=2 S.I. no hay soluciones r y s son paralelas
sr uparalelosnou
Rg( sr uu
, )=2 vectores no proporcionales 0
sr uu
o Rg( srsr PPuu ,,
)=2 S.C.D. una solución r y s son secantes (se cortan)
poner las rectas en paramétricas y resolver el sistema obtenido en función de los parámetros de
r y s.
s r
Pr
Ps
●
●
r=s
●
● Ps
Pr
s
r
● ● Pr
Ps
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 22/24 - A.G.Onandía
o Rg( srsr PPuu ,,
)=3 S.I. no tiene solución r y s se cruzan.
Se sabe si al proceder como en el apartado anterior el sistema no tiene solución.
Se llega a esta conclusión por exclusión de los casos anteriores.
La estrategia a seguir para resolver estos problemas es:
1º comprobar si los vectores directores de las rectas son proporcionales.
2º si afirmativo: pueden ser paralelas o coincidentes, para discriminarlo tomamos un punto de una
recta y vemos si está en la otra.
3º si falso: resolvemos el sistema de 3x2 (poniendo las rectas en paramétricas).
Este método es especialmente útil para hallar el punto de corte entre dos rectas
Ejemplo 19: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
1
5
2
4
3
2
zyxr
1
5
4
4
2
zyxs
Solución: 5,4,21,2,3 rr Pu
5,4,01,4,2 ss
Pu
¿ sr uu
? 4
2
2
3 se cortan o se cruzan
Hacemos el vector 54,110,8,2 sr PP y calculamos el Rg( srsr PPuu ,,
)
078
541
142
123
Rg( srsr PPuu ,,
)=3 las rectas r y s se cruzan.
Ejemplo 20: Dar la posición relativa y los puntos en común si los tiene las rectas:
1
5
2
4
3
2
zyxr
1
5
4
2
2
1
zyxs
r
1
s
2
●
●
Pr
Ps
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 23/24 - A.G.Onandía
Solución: 5,4,21,2,3 rr Pu
2,4,1 1,2,5s su P
¿ sr uu
? 4
2
2
3 se cortan o se cruzan
3 2 1
1,6,0 2 4 1 0
1 6 0
r sP P
Rg( srsr PPuu ,,
)=2 r y s se cortan.
Para hallar el punto de corte expresamos las rectas en paramétricas:
5
24
32
z
y
x
r
5
42
21
z
y
x
s resolvemos
55
4224
2132
0
642
123
como es un
S.C.D. tomamos dos ecuaciones y lo resolvemos =1 y =-1 el punto de corte es P(-1,-2,4).
En el caso que las rectas nos vengan dadas como intersección de dos planos es recomendable sacar
los vectores directores y estudiarlas como lo acabamos de ver.
Pero también se puede estudiar las posiciones relativas estudiando el sistema formado por las
cuatro ecuaciones, teniendo en cuenta que el rango mínimo tiene que ser dos pues las rectas deben
estar determinadas por dos planos L.I. así
Sea
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAr y
0
0
4444
3333
DzCyBxA
DzCyBxAr entonces
444
333
222
111
CBA
CBA
CBA
CBA
M
4444
3333
2222
1111
*
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
M
RgM=RgM* Sistema compatible
o RgM=RgM*=3 S.C.D. Una solución rectas secantes.
o RgM=RgM*=2 S.C.I. sol. dependiendo de 1 param. rectas coincidentes.
RgM≠RgM* Sistema incompatible
o RgM=3 y RgM*=4 se cruzan.
o RgM=2 y RgM*=3 rectas paralelas.
Relación: “ Ejercicios rectas y planos II ”
Geometría en el espacio
211
4Solucionario
023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados.
Eje X y eje Y: x y z
z1 0 0
0 1 0
0 0= =→
Eje X y eje Z: x y z
y1 0 0
0 0 1
0 0= =→
Eje Y y eje Z: x y z
x0 1 0
0 0 1
0 0= =→
024 Determina la posición de estas rectas:
r x y z t
sx y z
: ( , , ) ( , , ) ( , , )
:
= − +
− = = +
0 5 3 1 1 1
32 2
22
r Pu
: ( , , )( , , )
0 5 31 1 1
-=
W
s Qv
: ( , , )( , , )
3 0 22 2 2
-=
W
PQW = (3, 5, -5)
Rango 1 1 1
2 2 21
= Rango
1 1 1
2 2 2
3 5 5
2
---
=
Las rectas son paralelas.
025 Determina las posiciones relativas de las siguientes rectas:
r x y z t: ( , , ) ( , , ) ( , , )= +2 2 2 1 1 1
s x y z t: ( , , ) ( , , ) ( , , )= +0 0 0 1 0 0
rPu
:( , , )
( , , )2 2 2
1 1 1=
W
sQv
:( , , )
( , , )0 0 0
1 0 0=
W
PQW = (-2, -2, -2)
Rango 1 1 1
1 0 02
= Rango
- - -- - -- - -
=
1 1 1
1 0 0
2 2 2
2
Las rectas son secantes.
Halla las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(3, 0, −7) y B(−7, 2, −1) b) A(0, 0, 0) y B(1, 0, 0)
a)
b)
obtén la ecuación vectorial del plano en cada caso.a) A(2, −1, −1), B(0, −5, 3) y C(1, 1, 1) b) A(1, 1, 1), B(−1, −1, −1) y C(1, 2, 2)
a) ABW = (-2, -4, 4) ACW = (-1, 2, 2)
OP OA AB AC x y z= + + = - - + - - +l m l→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4 mm ( , , )-1 2 2
b) ABW = (-2, -2, -2) ACW = (0, 1, 1)
Halla las ecuaciones paramétricas del plano correspondiente.a) A(3, 0, −7), Wu = (−10, 2, 6) y Wv = (0, 3, 10)b) A(0, 0, 0), Wu = (1, 0, 0) y Wv = (4, 4, 4)
a) b)
Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto P (−1, 0, 2) y contiene a la recta de ecuación:
El plano está definido por P (-1, 0, 2), el vector director de la recta Wv2 = (1, -1, 3) y el vector APW, con A (1, 3, -4) ∈ r.
APW = (-2, -3, 6)
obtén la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, −7), B(5, −2, 9) y C(5, −4, 0).
ABW = (4, -3, 16) ACW = (4, -5, 7)
833276 _ 0202-0259.indd 211 21/7/09 15:10:09
212
Geometría en el espacio
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0
b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0
a)
Los planos son paralelos.
b)
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a)
Los planos son secantes.
b)
Los planos son secantes.
026 Estudia la posición relativa de estas rectas:
rx y z
x y zs
x y zx y z
: :− + − =
+ − =
+ − + =− +
2 02 0
2 02 ==
0
- ---
= ≠--
1 2 1
2 1 1
1 1 1
1 0 → Rango
- ---
-
-
- -- -- -
1 2 1
2 1 1
1 1 1
1 2 1
= 3
- ---
-
=
-- -- -- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0
0 → Rango
- ---
-
-- -- -- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0
= 3
Las rectas son secantes.
027 Estudia la posición relativa de las rectas:
r
y zx z
sy z
x y z: :
− − =− + =
− + =− + − =
3 02 1 0
03 1 0
r
y zx z
sy z
x y z: :
− − =− + =
− + =− + − =
3 02 1 0
03 1 0
0 1 1
2 0 1
1 3 1
3 0
0 1 1
2 0 1
0 1 1
1 3
--
-
--
-
--
-= ≠
--
--
→ Rango
--
=
1
3
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
9 0
-- -
- --
- --
-- -
= ≠ → Rango
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
-- -
- --
- --
-- -
= 4
Las rectas se cruzan.
028 calcula la posición relativa de la recta y el plano:
rx y z
x y zx z: :
+ − + =− + − + =
+ + =2 0
3 1 01 0π
-
- -
-
- -
-- - = ≠
-- -
1 1 1
1 3 1
1 0 1
6 0
1 1 1
1 3 1
1 0 1
→ Rango
=
-- --
- -Rango
1 1 1 2
1 3 1 1
1 0 1 1
= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
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Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2
- 24/24 - A.G.Onandía
Anaya. Página 166. Ejercicios: 16, 17, 18, 30, 45, 46b, 54, 60, 67, 69, 70.
Página 171. Autoevaluación ejercicio 6.
“Perpendicular común” Ejercicio 9 y 11 de “Rectas y Planos III”
Anaya. Página 196. Ejercicios 32; 38; 51.
“Proyecciones ortogonales” Anaya. Página 197.
Punto sobre plano. Ejercicio 42.
Punto sobre recta. Ejercicios 34; 44.
Recta sobre plano. Ejercicio 50.
Ejercicios finales antes de distancias.
Anaya. Página 195-196-197. Ejercicios 23; 31; 47.
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