f(t) f(w) la transformada de fourier. transformada de fourier a la función f( ) se le llama...
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f(t) F(w)
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Transformada de FourierTransformada de Fourier
A la función F(A la función F() se le llama) se le llama transformada de transformada de Fourier de f(t)Fourier de f(t) y se denota por y se denota por FF, es decir, es decir
A la expresión que permite obtener f(t) a partir de A la expresión que permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama F(w) se le llama transformada inversa de transformada inversa de FourierFourier y se denota por y se denota por FF –1–1 ,es decir ,es decir
de)(F)t(f)](F[ tj211F
dte)t(f)(F)]t(f[ tjF
De la Serie a la De la Serie a la Transformada de FourierTransformada de Fourier
EjemploEjemplo. Calcular F(w) para el pulso . Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguienterectangular f(t) siguiente
Solución. La expresión en el dominio del Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función estiempo de la función es
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
t0
t1
t0
)t(f
2p
2p
2p
2p
De la Serie a la De la Serie a la Transformada de FourierTransformada de Fourier
IntegrandoIntegrando
por fórmula de Eulerpor fórmula de Euler
2/p
2/p
tjtj dtedte)t(f)(F
2/p
2/p
tjj1 e
)ee( 2/pj2/pjj1
2/p)2/p(sen
p)(F
De la Serie a la De la Serie a la Transformada de FourierTransformada de Fourier
En forma GráficaEn forma Gráfica
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
Example: the Fourier Transform of aExample: the Fourier Transform of adecaying exponential: decaying exponential: exp(-exp(-atat) () (tt > 0) > 0)
0
0 0
0
( exp( )exp( )
exp( ) exp( [ )
1 1exp( [ ) [exp( ) exp(0)]
1[0 1]
1
F at i t dt
at i t dt a i t dt
a i ta i a i
a i
a i
Delta de DiracDelta de Dirac
t
de)(F)t(f tj
21
tw
)(21 w
t
w
1)( t
dte)t(f)(F tj
SOME IMPORTANT SOME IMPORTANT PROPERTIES :PROPERTIES :
Transformada Discreta de Transformada Discreta de Fourier:Fourier:
nucleo
xfuxKuF
)(),()(
u = 0,1,2, ..., N-1
uxNjN
x
exfuF
21
0
)()(
‘fft’
Transformada Discreta de Transformada Discreta de Fourier (2D)Fourier (2D)
Directa:
Inversa:
1
0
1
0
2
),(),(M
x
N
y
N
vy
M
uxj
eyxfvuF
1
0
1
0
2
),(1
),(M
u
N
v
N
vy
M
uxj
evuFMN
yxf
Espectro de magnitud y espectro de Espectro de magnitud y espectro de fasefase
),(),(),( vujevuFvuF
),(),( vuFvuF f (x,y) ),( vu
)0(1 ),( jevuF ),(1 1 vuje
SeparabilidadSeparabilidad
1
0
1
0
22
),(11
),(M
x
N
y
vyNjux
Nj
eyxfN
eM
vuF
1
0
2
),(1
),(M
x
uxMj
evxFM
vuF
1
0
1
0
2
),(1
),(M
x
N
y
N
vy
M
uxj
eyxfMN
vuF
F(x,v) es la transformada de Fourier de un renglón de f(x,y)
fft(fft(X).').'fft2(X)
f(x,y) F(u,v)
f(x,y) F(u,v)
f(x,y) F(u,v)
f(x,y) F(u,v)
TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION ESCALON 2D
4 X 4
8 X 8
12 X 12
Translación en espacioTranslación en espacio
)(2
00
00
),(),(vyux
Nj
evuFyyxxf
Translación en frecuenciaTranslación en frecuencia
),(),( 0
)(2
00
vvuuFeyxf o
yvxuNj
)(
)(
)(2
2
)1)(,(
),(
),(
yx
yxj
yxN
Nj
yxf
eyxf
eyxf
Caso particular Uo = Vo = N/2 :
2,
2
Nv
NuF
2,
2)1)(,( )( N
vN
uFyxf yx
EscalamientoEscalamiento
b
v
a
uF
abbyaxf ,
1),(
LinealidadLinealidad
),(),(),(),( vuGbvuFayxgbyxfa
RotaciónRotación
),(),(
),(),(
Frf
Frf
RotaciónRotación
Espectro de Potencia :Espectro de Potencia :
2),(),( vuFvuP
1
0
1
0
),(M
u
N
vT vuPP
Potencia total :
ConvoluciónConvolución
),(),(),(*),( 2121 vuFvuFyxfyxf
ESPECTROGRAMAESPECTROGRAMA
STFT (Short time Fourier transform)STFT (Short time Fourier transform)
Or windowed Fourier Or windowed Fourier transformtransform
SpectrogramSpectrogram
The square modulus of the windowed Fourier The square modulus of the windowed Fourier transform is the transform is the spectrogramspectrogram of a signal: of a signal:
Ventanas:Ventanas:
Ventana de Hamming:Ventana rectangular:
A segment of a vowel extracted with a rectangular window The amplitude spectrum using a
rectangular window Calculated using Matlab: abs(fft(sig))
The amplitude spectrum using a hamming window. Calculated using Matlab: abs(fft(hamming(512) .* sig))
A segment of a vowel extracted with a hamming window. Calculated using Matlab: hamming(512) .* sig
““specgram”specgram” Demo “xpsound”Demo “xpsound”
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