física computacional
Post on 21-Oct-2021
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Física Computacional
(presentación 4)Arturo Martí
Instituto de Física
Facultad de Ciencias
2020
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Cálculo de integrales
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Regla trapezoidal
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Cómo funciona?
● Dividimos el intervalo (a,b) en N intervalitos● El ancho de cada intervalito h ~ (b-a)/N● El intervalito k → (a + (k-1) h, a + k h)● El área es●
● Cuando sumamos todo:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Regla trapezoidal extendida
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Ejercicio
● Buscar trapezoidal.py● Escribir una integral definida● Implementar el programita para calcularla y
comparar con el resutado analítico
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Curioso;
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Regla de Simpson● En la regla trapezoidal aproximamos la
función por rectas en cada intervalo.● Podemos emplear polinomios de 2do orden:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
2 intervalitos → 3 puntos
● Los puntos están en X= -h, 0, h● El polinomio es Ax^2+Bx+C
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Reglo de Simpson extendida
● Sumando todo resulta (4/3, ⅔)● N par
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Cuál es el error que cometemos?
● Tenemos un error de redondeo● Pero el error importante es el error de
aproximación (aproximar una función por polinomio)
●
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Regla trapezoidal
● Desarrolando por Taylor:
●
●
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Después de varias cuentas
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
En conclusión
● El método trapezoidal es de 1er orden en h y el error de aproximación es del orden de h²
● Hasta donde puedo reducir h?● Atención: el error de redondeo aumenta!● Postulamos → error de redondeo es C *
integral● Son del mismo orden si
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Integración de orden superior: Newton-Coates
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Idea: cuál es el máximo de puntos que puedo tomar?
● En general podría tomar tantos puntos como intervalos
● El orden sería N● Además: en lugar de tomar intervalos
equiespaciados tomamos intervalos separados en forma conveniente
● Cuadratura Gausiana → 2 N grados de libertad
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Vamos a buscar abscisas y pesos en forma conveniente para calcular:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Dados N puntos xk bucamos una
función interpolante que pase por todos los puntos
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Si definimos un polinomio de grado N-1
El polinomio coincide con f en los puntos x_k (además es único):
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Sustituimos la función por la aproximación
Permuntando suma e integral vemos que se desacoplan, la parte de la integral no depende de
la función
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Cómo elegir los x_k?
● Lo bueno es que después que los encontremos sirve para cualquier función.
● Es más se puede hacer en un intervalo (-1,1) y luego mapear para un intervalo arbitrario (a,b)
●
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Se puede probar que los x_k coinciden con las raíces de P_n(x)
Los pesos resultan:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
● Función proporcionada gassxw.py
Mágico: con N=3 llegamos a resultados muy precisos!!!!!!!!!!!!
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
A trabajar:
● Debye: capacidad calorífica de un sólido
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Período del oscilador no armónico
● V(x)=x², V(x)=x⁴
● T(a), a (0,2)● m=1
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
●Derivadas
* relativamente simple* si conocemos la función es directo
*importancia en ODE y datos experimentales*muchos caminos para hacer lo mismo
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Cuál es el error?
Hay dos tipos: Redondeo y aproximaciónHaciendo Taylor y reordenando:
Aproximamos error relativo en la resta por 2C. Resulta el error total:
Derivamos respecto a h para minimizar:
Resulta:H ~ C^(1/2) ~ 10^-8Eps ~ C^(1/2) ~ 10^-8
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Diferencias centradas
Desarrollo de Taylor:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
En este caso el error es (redondeo más truncamiento):
H ~ C^(1/3) ~ 10^-5Eps ~ C^(2/3) ~ 10^-10
Diferenciando nuevamente:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Problema 3
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Derivadas segundas
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Interpolación
● Significa hacer hipótesis sobre lo que no sabemos!
● Esta función:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Dos pasos
● Encontrar una función interpolante● Evaluarla!
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Lo más simple de todo:
Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Orden superior● Polinomio de grado N -1 por N puntos
Hay un algoritmo iterativo muy elegante●
top related