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Física para Ciencias: Movimiento en 2 dimensiones

Dictado por:Profesor Aldo Valcarce

1er semestre 2014

FIS109C – 2: Física para Ciencias 1 er semestre 2014

Definición de posición y velocidad en 2D

El vector desplazamiento es

La posición de un objeto en 2-D.

El vector velocidad es

y

x𝑟 𝑓

𝑟 𝑖∆𝑟

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𝑟 𝑖=�⃗� 𝑖+ �⃗� 𝑖

𝑟 𝑓=𝑥 𝑓 + �⃗� 𝑓

∆𝑟=𝑟 𝑓 −𝑟 𝑖=∆ �⃗�+∆ �⃗�∆ �⃗�=�⃗� 𝑓 −𝑥 𝑖∆ �⃗�= �⃗� 𝑓 − �⃗� 𝑖

𝑣=∆ �⃗�∆ 𝑡

𝑣 𝑥=∆ �⃗�∆ 𝑡

𝑣 𝑦=∆ �⃗�∆ 𝑡

Posición

Movimiento en 2-D: EjemploUn explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de 30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total?

30°N

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𝑟1𝑟2

∆𝑟

Si ese desplazamiento fue realizado en 4 horas ¿Cuál fue la velocidad promedio?

En la figura la velocidad instantánea sería representada por la diferencia entre a) un vector muy cercano al vector P y b) el vector P, dividido por el tiempo requerido para hacer ese desplazamiento.

Definición de velocidad instantánea en 2D

𝑣= lim∆𝑡→0

∆𝑟∆ 𝑡

Se define la rapidez como la magnitud del vector de velocidad instantánea.

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𝑣=|𝑣| 𝑣=√¿¿

Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera:

1. La magnitud del vector velocidad (la rapidez ) puede cambiar con .

2. La dirección del vector velocidad puede cambiar con , pero su magnitud permanece constante.

3. La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente.

Definición de aceleración en 2D

�⃗�= lim∆𝑡→ 0

∆ �⃗�∆ 𝑡

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�⃗�= ∆ �⃗�∆ 𝑡

=�⃗�𝑓 −�⃗� 𝑖

𝑡 𝑓 −𝑡𝑖

Velocidad en 2D con aceleración constante

La velocidad final de un cuerpo con velocidad inicial y una aceleración constante será:

𝑣 𝑓= (𝑣𝑥 ,𝑖+𝑎𝑥×𝑡 ) �̂�+ (𝑣 𝑦 ,𝑖+𝑎𝑦× 𝑡 ) �̂�

𝑣 𝑓=(𝑣 𝑥, 𝑖 �̂�+𝑣 𝑦 ,𝑖 �̂� )+(𝑎𝑥 �̂�+𝑎𝑦 �̂� )× 𝑡𝑣 𝑓=�⃗�𝑖+�⃗�× 𝑡

𝑣 𝑥, 𝑓=𝑣 𝑥, 𝑖+𝑎𝑥×𝑡

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Eje x𝑣 𝑦 , 𝑓=𝑣 𝑦 ,𝑖+𝑎𝑦× 𝑡Eje y

Posición en 2D con aceleración constante

La velocidad final de un cuerpo con posición inicial , velocidad inicial y una aceleración constante será:

𝑟 𝑓=(𝑥 𝑖+𝑣 𝑥 ,𝑖×𝑡+12𝑎𝑥× 𝑡

2)�̂�+(𝑦 𝑖+𝑣 𝑦 , 𝑖×𝑡+12𝑎𝑦×𝑡

2) �̂�𝑟 𝑓= (𝑥 𝑖 �̂�+𝑦 𝑖 �̂� )+(𝑣𝑥 , 𝑖 �̂�+𝑣 𝑦 ,𝑖 �̂� )×𝑡+ 12 (𝑎𝑥 �̂�+𝑎𝑦 �̂�)× 𝑡2𝑟 𝑓=𝑟 𝑖+𝑣 𝑖×𝑡+

12�⃗�× 𝑡2

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Eje x Eje y

𝑥 𝑓 −𝑥𝑖=𝑣𝑥 ,𝑖×𝑡+12𝑎𝑥× 𝑡

2 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖=𝑣 𝑦 ,𝑖×𝑡+12𝑎𝑦× 𝑡

2

Ecuaciones de Movimiento en 2D

𝑥 𝑓 −𝑥𝑖=12

(𝑣𝑥 ,𝑖+𝑣𝑥 , 𝑓 )×𝑡

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𝑣 𝑥, 𝑓=𝑣 𝑥, 𝑖+𝑎𝑥×𝑡

𝑥 𝑓 −𝑥𝑖=𝑣𝑥 ,𝑖×𝑡+12𝑎𝑥× 𝑡

2

𝑣 𝑥, 𝑓2=𝑣 𝑥, 𝑖

2+2𝑎𝑥 (𝑥𝑓 −𝑥𝑖 )

𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖=12

(𝑣 𝑦 ,𝑖+𝑣 𝑦 , 𝑓 )×𝑡

𝑣 𝑦 , 𝑓=𝑣 𝑦 ,𝑖+𝑎𝑦× 𝑡

𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖=𝑣 𝑦 ,𝑖×𝑡+12𝑎𝑦× 𝑡

2

𝑣 𝑦 , 𝑓2=𝑣 𝑦 ,𝑖

2+2𝑎𝑦 ( 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 )

Eje x Eje y

Ejemplo: Mov. 2D con constanteUna partícula parte del origen en con una velocidad inicial que tiene una componente de 20 m/s y una componente de -15 m/s. La partícula se mueve en el plano solo con una componente de aceleración , dada por m/s2.

a) Determine las componentes del vector velocidad en cualquier tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo .

b) Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en =5 s.

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Proyectiles

Movimiento 2-D

Aceleración vertical

Aceleración horizontal

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�⃗�=−𝒈 �̂�En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra

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Componentes de en proyectiles

Fotografía de múltiple exposicion que muestra la posición de dos esferas a intervalos iguales de tiempo. Una se dejó caer desde una posición de reposo y la otra se lanzó horizontalmente.

Se ve que la altura (y por lo tanto el desplazamiento vertical) de las esferas es la misma.

El movimiento en la dirección vertical no se entera de lo que pasa en la dirección horizontal.

Los movimientos vertical y horizontal son independientes.

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Independencia de las componentes

y son independientes:

es constante .

Entonces, la magnitud de aumenta y su dirección cambia.

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Componente horizontal no cambia

Proyectiles: Ejemplo 1

Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde da la mesa. ¿A qué distancia, , de la mesa llega la pelota al suelo?

2,0 m/s

∆x

1,5 m

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Proyectiles: Ejemplo 2 Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una distancia horizontal de 30m. ¿Con qué ángulo fue lanzada?

y

x∆x=30 m

a

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Proyectiles: Ejemplo 3

Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de 140 m de altura con una velocidad de 100 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal.

b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado

a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil.

c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final.

100 m/s

37°

140 m

R = 1,14 km

R = 12,3 sR: 113 m/s, -45° al horizontal

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Proyectiles: Ejercicio 4 ¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se supone ∆y =0)

o45

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Resumen

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𝑟 𝑓=(𝑥 𝑖+𝑣 𝑥 ,𝑖×𝑡+12𝑎𝑥× 𝑡

2)�̂�+(𝑦 𝑖+𝑣 𝑦 , 𝑖×𝑡+12𝑎𝑦×𝑡

2) �̂�

Se definieron los vectores posición , desplazamiento , velocidad y aceleración en 2 dimensiones.

El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un vector. La posición está definida como:

En el movimiento de proyectiles:

es constante .