factorización factorizar una expresión algebraica (suma de términos algebraicos), consiste en...

FACTORIZACIO

N

Factorización

• Factorizar una expresión algebraica (suma de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación

Métodos de factorización

Factorización

Factor común

Por agrupación

Diferencia de

cuadrados

Trinomio de

la forma

Trinomio cuadrado perfecto

Completar trinomio cuadrado perfecto

x2

+ bx + c

ax2

+ bx + c

Diferencia de

cubos

División

sintética

Factor Común

• Todos los términos presentan un monomio factor común, que puede ser una literal, o bien un coeficiente.

• Para factorizar este tipo de expresiones algebraicas se utiliza el siguiente procedimiento:

Ejemplo 1 Factorizar:

2 38a b 32a c 24a

1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar encontramos que los coeficientes de los tres términos son 8, 32 y 24, su mínimo común denominador es :

8 2  

4 2  

2 2  

1  

8 = 23  

32 216 28 24 22 2132 = 25

24 2  12 2  6 2  3 3  1  

24 = 3 x 23

El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 23 = 8

2. La literal que aparece en los tres términos es la letra “a” y la de menor potencia es “a”, por lo que esta será la literal factor común.

3. Podemos concluir que el monomio factor común es 8a4. Dividir cada término entre 8a y después aplicar la ley distributiva:

2 32 3 28a b 32a c 24a8a b 32a c 24a ab 4a c 38a 8a 8a

5. El término factorizado queda de la siguiente

manera 28a ab 4a c 3

Ejemplo 2 Factorizar:

3 2 4 2 5 316x y 24x y z 40x y b

En la expresión algebraica los coeficientes de los tres términos son 16, 24 y 40, su mínimo común

denominador es

16 28 24 22 218 = 24

16 28 24 22 218 = 24

40 220 210 25 51  

40 = 5 x 23

El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 23 = 8

2. La literal que aparece en los tres términos es la letra “x” y “y”, la de menor potencia de “x” es “x3”, y la de menor potencia de “y” es “y2”, por lo que esta será la literal factor común.

3. Se puede concluir que el monomio factor común es 8x3y2.

4. Dividir cada término entre 8a y después aplicaremos la ley distributiva:

2 = 2 3xz 5x yb

5. El término factorizado queda de la siguiente manera

3 2 2 8x y 2 3xz 5x yb

3 2 4 2 5 33 2 4 2 5 3 3 2 3 2 3 216x y 24x y z 40x y b16x y 24x y z 40x y b 8x y 8x y 8x y

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACION

Cuando un polinomio consta de cuatro términos, y no tienen un mismo factor en común, en pueden factorizarse reescribiéndolos dicha como dos binomios y agrupando adecuadamente los términos, para explicar este método se utilizarán los siguientes ejemplos:

1. Se observa que los dos primeros términos tienen en común a la literal “x” y los dos último términos a la literal “y”, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:

Ejemplo 1: Factorizar

ax bx ay by

ax bx ay by

2. Factorizar cada uno de los términos:

x a b y a b

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (a + b), entonces finalmente se vuelve a factorizar:

x y a b

Ejemplo 2: Factorizar 23m 6mn 4m 8n

1. Los dos primeros términos tienen en común a la literal “m” y al coeficiente 3,

mientras que los dos últimos términos

tienen como factor al coeficiente 4, vamos a agrupar estos términos de

la siguiente forma:

23m 6mn 4m 8n

2. Factorizar cada uno de los términos:

3m m 2n 4 m 2n

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (m – 2n), entonces finalmente volvemos a

factorizar:

3m 4 m 2n

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADARADOS

• Para factorizar una diferencia de cuadrados se utiliza la siguiente fórmula:

2 2a b (a b)(a b)

Ejemplo 1: Factorizar

2 416x 25y

2 416x 25y

216x 4x

2 24x 5y 4x 5y

4 225y 5y

Ejemplo 2: Factorizar

2 6a 9b 4 25

2 6a 9b 4 25 3 3a 3b a 3b 2 5 2 5

2a a4 2

6 39b 3b25 5

Ejemplo 3: Factorizar

2n 6m 24a 9b

2n 6m 24a 9b n 3m 1 n 3m 12a 3b 2a 3b

2n n4a 2a

6m 2 3m 19b 3b

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio cuadrático es perfecto cuando es el producto del binomio al cuadrado, así el trinomio a2 + 2ab +b2 es cuadrado perfecto porque resulta de elevar (a + b)2

2 2 2a b a 2ab b

Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrado perfecto, es recomendable, verificar si lo es, este trinomio debe cumplir con dos características:

• Las literales del primero y tercer término deben tener raíz cuadrada exacta

• El segundo término debe ser igual a:

  segundo término = 2ab

Ejemplo 1: Factorizar

2 24x 20xy 25y

2 24x 20xy 25y 2 2 a b

24x 2x

225y 5y

El segundo término debe ser igual a 2ab 2ab 2 2x 5y 20xy

Igual al segundo término, si es

trinomio cuadrado perfecto

1. Verificar si es un trinomio cuadrado perfecto

2. Factorizar

2 2 4x 20xy 25y

2 2 a 2ab + b

2 2x 5y

mismo signo

2a 4x 2x

2b 25y 5y

Ejemplo 2: Factorizar

1. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto

2 225a 40ab 16b

2 225a 40 b 16b a2 2 a b225a 5a

216b 4b

El segundo término debe ser igual a 2ab

2ab 2 5a 4b 40ab Igual al segundo

término, si es trinomio cuadrado

perfecto

2. Factorizar

2 225a 40 b 16b a 22 2 a 2ab + b = a b

2(5a 4b)

mismo signo

2a 25a 5a

2b 16b 4b

FACTORIZACIÓN COMPLETANTO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

En algunas ocasiones el trinomio no está completo, puede faltar el segundo o tercer término o bien no están completas, en estos casos se puede completar el trinomio de la siguiente forma:

Caso No.1: Se tiene una suma de cuadrados,

falta el segundo término

1. Determinar cuál sería el segundo término y sumarlo y restarlo a la expresión para que no se altere, para ello utilizaremos la siguiente fórmula

2. La expresión resultante es una diferencia de cubo que se puede factorizar fácilmente.

Ejemplo 1:Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica:

4 4a 4b

1. Calcular del segundo término4 4a 4b

4 2a a

4 24b 2b

El segundo término debe ser igual a 2ab 2 2 2 22ab 2 a 2b 4a b

2. Sumar y restar el segundo término4 4 2 2 2 2a 4b 4a b 4a b

3. Agrupar términos

4 2 2 4 2 2a 4a b 4b 4a b

4. Factorizar el trinomio

22 2 2 2a b 4a b

5. Factorizar la diferencia de cuadrados

6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma:

22 2 2 2 2 2 2 2a b 4a b a b 2ab a b 2ab

4 4 2 2 2 2a 4b a b 2ab a b 2ab

Caso No.2: Si se tiene el primero y segundo término o el trinomio no es perfectoEn este caso se debe calcular el tercer término mediante la siguiente fórmula:

22ndo.términoTercer término = 2 1er.término

El procedimiento se explica con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1: Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar

1. Si es trinomio cuadrado perfecto el segundo término será igual a

2 2a 6ab 16b

El segundo término debe ser igual a 2ab2a a a 2b 16b 4b

2. Calcular el tercer término

2 222 2 2 22

a 6ab 16b 2ndo.término 6ab 6abTercer término = 3b 9b2a2 1er.término 2 a

2ab a 4b 4ab

No es igual ya que el segundo término es 6ab, por lo tanto no es trinomio cuadrado perfecto

3. Sumar y restar el tercer término

4. Agrupar los dos primeros términos

5. Factorizar el trinomio

2 2 2 2a 6ab 16b 9b 9b

2 2 2 2a 6ab 9b 16b 9b

2 2 2a 6ab 9b 25b

2 2a 3b 25b

7. La expresión algebraica factorizada queda:

6. Factorizar la diferencia de cuadrados

2 2a 3b 25b a 3b 5b a 3b 5b

= a 3b 5b a 3b 5b

= a 8b a 2b

2 2a 6ab 18b a 8b a 2b

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Para que un trinomio sea de la forma x2 + bx + c se debe cumplir con las siguientes condiciones:a) El coeficiente del primer término

debe ser 1 y la literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta

b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de éstos.

c) El tercer término puede tener cualquier coeficiente, pero su literal(es), si la tiene(n) debe(n) tener raíz cuadrada exacta.

Para factorizar este tipo de expresiones se utilizará el siguiente ejemplo para explicar el método:

Ejemplo 1: Factorizar

2x 12 7x

1. Ordenar el trinomio en forma decreciente

respecto a una de las literales2x 7x 12

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término

será la raíz cuadrada del primer término del

trinomio 2x 7x 12 x x

3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis.

Factores del 12

12

x

12 1

12

x

12 1

6 2

4 + 3  = 7

4 x 3 = 12

12

x

12 1

6 2

4 3

El trinomio factorizado queda:

2x 7x 12 x+4 x 3

Ejemplo 2: Factorizar

2 2x 180y 3xy

1. Ordenar el trinomio en forma decreciente

respecto a una de las literales2 2x 3xy 180y

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la

raíz cuadrada del primer término del trinomio.

Si el tercer término tiene literal, también se le

extrae su raíz cuadrada y solo quedará pendiente

el coeficiente que la acompañará

2 2x 3xy 180y x y x y

3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis.

Los factores de 180 son:

180

x

90 2

180

x

90 2

60 3

180

x

90 2

60 3

45 4

180

x

90 2

60 3

45 4

36 5

180

x

90 2

60 3

45 4

36 5

30 6

180

x

90 2

60 3

45 4

36 5

30 6

20 9

180

x

90 2

60 3

45 4

36 5

30 6

20 9

18 10

180

x

90 2

60 3

45 4

36 5

30 6

20 9

18 10

15 12

12 – 15= – 3

12 x – 15 = – 180

El trinomio factorizado

queda: 2x 3x 180 x+12 x 15

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

Para que un trinomio sea de la forma ax2+bx+c debe cumplir con las siguientes condiciones: 

b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de éstos

a) El coeficiente del primer término debe ser diferente a 1 y la literal(es) que lo acompaña(n) debe(n) tener raíz cuadrada exacta

c) El tercer término es diferente al primero y segundo, su coeficiente puede ser cualquier número real y su literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta

Para explicar el método de factorización de este tipo de expresiones se utilizará el siguiente ejemplos:Ejemplo 1: Factorizar

26x 7x 3

1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en lugar del tercer término:26x 7x 3

6 x 3 = 18

26x 7x 18

2. Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente del primer término por la raíz cuadrada de su literal.

26x 7x 18 6x 6x

3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el segundo, 7.

26x 7x 18 6x 9 6x 2

18

x

18 1

18

x

18 1

9 2

4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero descomponiéndolo en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis obtenidos en el paso anterior.

26x 7x 18 2x 3 3x 1 6x 9 6x 2 3 x 2

6

x

6 1

3 2

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS

La suma o diferencia de cubos son dos términos cuyas literales que tienen raíz cúbica exacta, separados por un signo positivo o negativo.

3 3 2 2

3 3 2 2a b a b a ab ba b a b a ab b

Ejemplo 1: Factorizar

3x 8

3x 8

3 3a x x

2x 2 x 2x 4

3b 8 2

3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplo 2: Factorizar

38x 27

38x 27 22x 3 4x 6x 9

3 38x 2x

3 27 3

FACTORIZACIÓN POR DIVISIÓN SINTÉTICA

En algunas ocasiones el polinomio que se desea factorizar es de un grado mayor o igual a 3, y no se pueden emplear los ya vistos, sin embargo es posible factorizarlo, empleando la división sintética y una vez que el polinomio ya sea de segundo grado, entonces se pueden utilizar los métodos anteriores. A continuación e explica el procedimiento de la división sintética:

Ejemplo 1: Factorizar el polinomio 3 2p(x) x 3x 9 5x

1. Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin

omitirse los coeficientes cero.

3 2p(x) x 5x 3x 9

2. Posibles raíces del polinomio

3 2p(x) x 5x 3x 9

q = 1 p = 9

p = 9, los factores de p son ± 1 y ± 3 y ± 9q = 1, los factores de q son ± 1

Por lo tanto las posibles raíces son:p 1 3 9± , ± , ±q 1 1 1

p ±1, ±3, ±9,q

3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo los que son igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal

1 – 5 + 3 + 9

3 2p(x)=x 5x +3x +9

4. Colocar el valor de “a”, en el extremo derecho de la segunda fila, recordar que este valor(es) son las posibles raíces del polinomio, determinadas el paso 2.

Probando el valorp 1 q

1 – 5 + 3 + 9 + 1

5. Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón y multiplicarlo por el valor de “a”, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el renglón vacio y hacer la simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del segundo coeficiente, pero debajo de la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se vuelve a multiplicar por el término independiente “a” y así sucesivamente hasta el último término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo, para nuestros fines de factorización debe ser cero.

1 – 5 + 3 +9 + 1

+ 1 – 4 – 11 – 4 – 1 + 8 Residu

o

x 1 x 1 x 1

Como el residuo no es cero se prueba con otro valor de “a” Probando el valor p 1 q

1 – 5 + 3 + 9 – 1

– 1 + 6 – 91 – 6 + 9 0

Residuo

x 1 x 1 x 1

El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x–a)

1 – 5 + 3 + 9 – 1 – 1 + 6 – 91 – 6 + 9  0Residuo

( x – a )

Con signo contrario

x2 x Num

2x 6x 9 x 1 La factorización queda:

6. Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos anteriormente

2x 6x 9 x 1 x 3 x 3 x 1

22x 6x 9 x 1 x 1 x 3

Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma: