exposicion de mecanica
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U. N. José Faustino Sánchez Carrión
Aceleración Angular:
Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo.
denota por la letra griega alfa . Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter
vectorial.
Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.
Velocidad Angular:
La velocidad angular es una
medida de la velocidad
de rotación. Se define como
ángulo girado por una
unidad de tiempo y se
designa mediante la letra
griega . Su unidad en
el Sistema !nternacional es
el radián por segundo "rad#s$.
Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido r%gido, tambi&n se la emplea en la cinemática d
la part%cula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada "circular,
el%ptica, etc.$.
Introducción
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Aceleración Angular
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Definición matemática:
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'n el caso general, cuando el e(e de rotación no mantiene una dirección constante en el espacio, la aceleració
angular no tiene la dirección del e(e de rotación.
)efinimos el vector aceleración angular, y lo representamos por , de modo que
Siendo el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del e(e de rotación.
Si denominamos por el vector unitario asociado a dic*o e(e, de modo que sea , podemos escribir+
esultando que, en general, el vector no está localiado sobre el e(e de rotación.
'n el caso particular de que el e(e de rotación mantenga una orientación fi(a en el espacio "movimiento plano
entonces será y el vector aceleración angular estará localiado sobre el e(e de rotación. 'sto
es,
)e modo que el módulo de la aceleración angular, , es la derivada de la celeridad angular con respec
al tiempo "o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo$, su dirección es la de cuan
la celeridad angular aumenta con el tiempo, o si disminuye.
'n el caso general, cuando el e(e de rotación no mantiene una dirección fi(a en el espacio, será ,
aunque , ya que el vector unitario del e(e cambia de dirección en el transcurso del movimiento. uest
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que es un vector, su derivada será un vector perpendicular *a , esto es, al e(e
instantáneo de rotación.
As% pues, en el caso más general, la aceleración angular se expresará en la forma
Siendo la velocidad angular asociada a la rotación del e(e o precesión del e(e de rotación "definido por $
el espacio.
'n la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes+
una componente longitudinal "i.e., en la dirección del e(e de rotación$ cuyo módulo es y una componen
transversal "i.e., perpendicular al e(e de rotación$ cuyo módulo es .
As% pues, en general,
• 'l vector no tendrá la misma dirección que el vector .
• 'l vector aceleración angular no tendrá la dirección del e(e de rotación.
La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el e(e de
rotación, en el caso de que dic*o e(e mantenga su orientación fi(a en el espacio, esto es, en el movimiento
plano.
Dirección de la aceleración es la misma que la dirección del cambio develocidades.
)ebemos encontrar la dirección de los cambios en la velocidad
mediante el uso de las propiedades de vectores. /amos a
demostrar cómo se encuentra la dirección de la aceleración. La
imagen muestra el cambio en la dirección de la velocidad. 0omo s
puede ver la dirección del vector velocidad resultante es *acia ecentro del c%rculo. )ebido a la dirección de la aceleración, se le
llama aceleración centr%peta.
epresentación matemática de la aceleración centr%peta es1
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- )elante de la fórmula muestra la dirección con respecto al vector de posición .
odemos reescribir la aceleración centr%peta en t&rminos de velocidad angular y velocidad tangencial.
Ejemplo: Si la rapide tangencial del ob(eto es de 3 m # s que se está *aciendo un movimiento circular sobre
un camino de 2 m de radio, encontrar la aceleración centr%peta de la misma.
4 podemos reescribir como+
a V ! " r #$ m " s% ! " & m '() m " s !
En el movimiento *lano:
'n el movimiento plano del sólido r%gido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la
dirección del e(e de rotación y viene dada por+
)onde representa el ángulo girado en función de y la velocidad angular.
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Velocidad Angular
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5ovimiento de rotación. 6rayectoria circular de un punto del sólido alrededor del e(e de rotación.
ara un ob(eto que gira alrededor de un e(e, cada punto del ob(eto tiene la misma velocidad angular. La
velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del e(e de rotación. Las unidades de
velocidad angular son los radianes#segundo.
)e modo que su valor instantáneo queda definido por la derivada+
'n un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 27 radianes, tenemos+
)onde 6 es el per%odo "tiempo en dar una vuelta completa$ y f es la frecuencia "n8mero de revoluciones o
vueltas por unidad de tiempo$ de modo que
'l vector velocidad angular obedece a la regla de la mano derec*a.
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Se define el vector velocidad angular , como un vector situado sobre el e(e de
rotación, cuyo módulo es la celeridad angular anteriormente definida, o sea
"9$
: cuya dirección coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo *ace el sólido
"regla de la mano derec*a$. Si designamos por ; e < al vector que indica la dirección del e(e, y cuya dirección
sea el definido por la regla anterior, tenemos+
"2$
)onde *emos considerado al elemento de ángulo d+ como un vector d+, de módulo d+, cuya dirección está
definida por la regla del tornillo. Llamando et y en a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la
trayectoria del punto gen&rico , la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma
"3$
)e modo que podemos afirmar+
La velocidad v de un punto gen&rico del sólido r%gido en rotación es igual al momento del vector
velocidad angular con respecto a dic*o punto .
As% pues, conocida la velocidad angular queda determinada la distribución de velocidades en todos lospuntos del sólido r%gido en rotación. La expresión =>? puede escribirse en la forma
"@$
)onde es el vector de posición del punto gen&rico con respecto a un punto cualquiera del e(e de
rotación.
Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular tenga carácter desliante sobre el
e(e de rotación.
,ira la imagen dada.Si la plataforma es una rotación de entonces los puntos A y tambi&n tienen una
rotación.
Se define la velocidad angular como un cambio del desplaamiento angular por unidad de tiempo. La unidad
de la velocidad angular es la revolución por unidad de tiempo o radianes por segundo. Se muestra la velocidad
angular con la letra griega omega.
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La velocidad promedio B 0ircunferencia del c%rculo# tiempo
/elocidad media # rapide B 27r # 6, donde 6 es el per%odo del sistema y r
es el radio de la revolución.
B 27 # 6 B 27f, donde f es la frecuencia y 6 es el per%odo
A diferencia de velocidad tangencial, la velocidad angular de todos los
puntos de la plataforma *aciendo movimientos circulares son iguales entre s%
ya que el n8mero de rotaciones por unidad de tiempo son iguales.
Ejemplo: Si la piedra es la rotación de C en 9 segundo encontrar la velocidad angular de la misma.
Si la piedra *ace cuatro rotaciones en un segundo despu&s de su frecuencia se convierte en C.
f B Cs-9
6 B 9 # f B 9#Cs
B 27 # 6 B 2.3#9#Cs B3Cradian # s
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-ib iog
af.a
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U. N. José Faustino Sánchez Carrión
Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas (en español). Barcelona: d. !e"ert#. $%
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'29'9*1'3, $%B& '29'9*194, $%B& '6+43.
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http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular
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