estática - uii (2)

ESTÁTICA

Mtro. Ángel de Jesús Castro Romero

Email: acastro@itesa.edu.mx

INGENIERÍA

MECATRÓNICA

UNIDAD II:EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO Y MOMENTOS

2.1 Cuerpos rígidos y principio de transmisibilidad.

2.2 Momento de una fuerza.

2.3 Momento de una fuerza respecto a un punto.

2.4 Teorema de Varignon.

2.5 Momento de una fuerza respecto a un eje.

2.6 Par de fuerzas y sistemas equivalentes.

2.7 Equilibrio del cuerpo rígido en el plano.

2.8 Equilibrio del cuerpo rígido en el espacio.

2.1 CUERPOS RÍGIDOS Y PRINCIPIO DE

TRANSMISIBILIDAD

En la unidad anterior se supuso que los cuerposconsiderados podían ser tratados como si fuera unapartícula.

Sin embargo, esto no siempre es posible y, engeneral, un cuerpo debe tratarse como lacombinación de varias partículas.

Un cuerpo rígido es aquel que no se deforma, sesupone que la mayoría de los cuerpos consideradosen mecánica elemental son rígidos.

Las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido sepueden dividir en dos grupos:

Externas e internas.

2.1 CUERPOS RÍGIDOS Y PRINCIPIO DE

TRANSMISIBILIDAD

Fuerzas externas:

Representan la acción que ejercen otros cuerpossobre el cuerpo rígido en consideración.

Son responsables del comportamiento externo delcuerpo rígido.

Causan que el cuerpo se mueva o aseguran queéste permanezca en reposo.

Pueden ocasionar un movimiento de traslación,rotación o ambos.

2.1 CUERPOS RÍGIDOS Y PRINCIPIO DE

TRANSMISIBILIDAD

Fuerzas internas:

Son aquellas que mantienen unidas las partículasque conforman al cuerpo rígido.

Si el cuerpo rígido está constituido por variaspartes, las fuerzas que mantienen unidas a dichaspartes también se definen como fuerzas internas.

2.1 CUERPOS RÍGIDOS Y PRINCIPIO DE

TRANSMISIBILIDAD

Principio de transmisibilidad

Establece que las condiciones de equilibrio o demovimiento de un cuerpo rígido permaneceráninalteradas si una fuerza F que actúa en un puntodado se remplaza por una fuerza F’ que tiene lamisma magnitud y dirección, pero que actúa en unpunto distinto, siempre y cuando las dos fuerzastengan la misma línea de acción.

Las dos fuerzas tienen el mismo efecto sobre elcuerpo rígido y se dice que son equivalentes.

2.3 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN

PUNTO

Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerporígido.

El momento de F con respecto a O se define comoel producto vectorial

El momento debe ser perpendicular al plano quecontiene a O y F.

OM r F

2.3 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN

PUNTO

Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerporígido.

La magnitud de F con respecto a O está dada por

La magnitud de MO mide la tendencia de la fuerzaF a hacer girar el cuerpo rígido alrededor de un ejefijo dirigido a lo largo de MO.

sinOM rF Fd

2.3 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN

PUNTO

Momento en dos dimensiones

2.4 TEOREMA DE VARIGNON

La propiedad distributiva de los productos vectoriales sepuede emplear para determinar el momento de laresultante de varias fuerzas concurrentes.

El momento con respecto a un punto dado O de laresultante de varias fuerzas concurrentes es igual a lasuma de los momentos de las distintas fuerzas conrespecto al mismo punto.

A esta propiedad se le conoce como teorema de Varignon.

1 2 1 2r F F r F r F

EJEMPLOS

EJEMPLOS

EJEMPLOS

EJEMPLOS

2.5 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerporígido y el momento MO de dicha fuerza con respectoa O.

Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de Fcon respecto a OL se define como la proyección OCdel momento MO sobre el eje OL.

Dicha proyección e obtiene mediante

El momento MOL es el escalar

que se obtiene formando el producto

triple escalar de �,r y F.

OOLM M r F

2.5 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

Expresando a MOL en forma de determinante, se escribe

Donde:

��, ��, �� son cosenos directores del eje OL.

x, y ,z son las coordenadas del punto de aplicación de F.

��, ��, �� son las componentes de la fuerza F.

El momento MOL de F con respecto a OL mide latendencia de la fuerza F de impartirle al cuerpo rígidoun movimiento de rotación alrededor del eje fijo OL.

x y z

OL

x y z

M x y z

F F F

2.5 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

Ejemplo:

2.5 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Se dice que dos fuerzas F y –F que tienen la mismamagnitud, líneas de acción paralelas y sentidosopuestos forman un par.

La suma de las componentes de las fuerzas en cualquierdirección es cero.

La suma de los momentos con respecto a un punto dadono es cero.

Aunque las dos fuerzas no originan traslación, éstas sitienden a hacerlo rotar.

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

La suma de los momentos de las dos fuerzas conrespecto a O es

Si se define ��−��= �, donde r es el vector que une lospuntos de aplicación de las dos fuerzas, se concluye quela suma de los momentos está representado por elvector

A B A Br F r F r r F

M r F

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

El vector M se conoce como el momento del par; se tratade un vector perpendicular al plano que contiene las dosfuerzas y su magnitud está dada por

Donde d es la distancia perpendicular entre las líneasde acción de F y –F. El sentido de M está definido por laregla de la mano derecha.

sinM rF Fd

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Pares equivalentes

La siguiente figura muestra tres pares que actúan demanera sucesiva sobre la misma caja rectangular.

Como cada uno de los tres pares tiene el mismomomento M, se puede esperar que los tres pares tenganel mismo efecto sobre la caja, sin embargo, no es algoque deba aceptarse de inmediato.

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si puedentransformar a uno de ellos en el otro por medio de una ovarias de las siguientes operaciones:

1. Remplazar dos fuerzas que actúan sobre la mismapartícula por su resultante

2. Descomponer a una fuerza en dos componentes.

3. Cancelar dos fuerzas iguales y opuestas que actúansobre la partícula.

4. Unir a la misma partícula dos fuerzas iguales yopuestas.

5. Mover una fuerza a lo largo de su línea de acción.

Dos pares que tienen el mismo momento M sonequivalentes si están contenidos en el mismo plano oplanos paralelos.

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Es muy importante mencionar que los pares puedenrepresentarse por medio de vectores

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Descomposición de una fuerza dada en una fuerza en Oy un par

Cualquier fuerza F que actúe sobre un cuerpo rígidopuede ser trasladada a un punto O siempre y cuando seagregue un par cuyo momento sea igual al momento deF con respecto a O.

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Si la fuerza F se hubiera trasladado a un puntodiferente O’, se tendría que

Donde s es el vector que une a O’ con O.

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerzay un par.

El sistema fuerza-par equivalente está definido por lasecuaciones:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Una vez que un sistema de fuerzas dado se ha reducidoa una fuerza y un par que actua en el punto O, dichosistema puede reducirse a una fuerza y un paractuando en un punto O’.

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Sistemas de fuerzas equivalentes

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden serreducidos al mismo sistema fuerza-par en un puntodado O.

Dos sistemas de fuerzas que actuan sobre el mismocuerpo rígido son equivalentes si, y sólo si,respectivamente las sumas de las fuerzas y las sumasde los momentos con respecto a un punto dado O de lasfuerzas de los dos sistemas son iguales.

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.6 PAR DE FUERZAS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Las condiciones necesarias y suficientes para elequilibrio de un cuerpo rígido se pueden obtenermediante las siguientes relaciones:

Es decir

Aplicado a dos dimensiones, se tiene:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Tipos de reacciones:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Tipos de reacciones:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL ESPACIO

Las condiciones necesarias y suficientes para elequilibrio de un cuerpo rígido se pueden obtenermediante las siguientes relaciones:

Es decir

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL ESPACIO

Tipos de reacciones:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL ESPACIO

Tipos de reacciones:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo:

2.7 EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

Ejemplo: