est semana13
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Ecuaciones Diferenciales
Catalina DomnguezRicardo Prato
Universidad del Norte
Departamento de matematicas y estadstica
Semana 13
27.04-30.04.2015
Pagina 1 Semana 13 27.04-30.04.2015 C. Domnguez -R. Prato
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Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
F
x
l
ss
Movimiento libre No amortiguado
d2x
dt2+ 2x = 0, =
k
m
x(0) = x0, x(0) = v0
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg ks = 0
.Fuerza externa FProduce undesplazamiento x
ma = k(x+ s) +mgma = kxks+mg
md2x
dt2= kx
-
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g 10m/s2
W = mg, m = 10N10m/s2
= 1Kg
En equilibrio estatico:
Mov. libre no amortiguado
x(t) +k
mx(t) = 0
x(t) +100
1x(t) = 0
x(t) + 100x(t) = 0
x(0) =0.5, x(0) = 10
r2+100 = 0, r = 10ix(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)
x(t) =1
2cos(10t) + 1 sin(10t)
-
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x + 2x = 0, =
k
m
x(0) = x0, x(0) = v0
x(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t)
C
C =c21+ c2
2
x(t) =(c1 cos(t) + c2 sin(t)
)CC
= C(c1C
cos(t) +c2C
sin(t))
= C(cos() cos(t) + sin() sin(t)
)= C cos(t ) C = Amplitud
c2
c1
C
cos() =c1C
sin() =c2C
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Sistema Masa-Resorte
Masa
F
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = dx
dt
ma = mg (k + s)x dxdt
md2x
dt2= kx dx
dtd2x
dt2+
k
mx+
m
dx
dt= 0
d2x
dt2+ 2
dx
dt+ 2x = 0
2 =
m2 =
k
mEcuacion caracterstica:
m2 + 2m+ 2 = 0 m1,2 = 2 2
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Sistema Masa-Resorte
Caso I: 2 2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)En este caso > k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = et(C1e
22t + C2e
22t
)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.00.5
C1e22t + C2e
22tet
x(t)
Observe que la masa NO lograpasar por el punto de equilibrio
-
Sistema Masa-Resorte
Caso II: 2 2 = 0 (Crticamente amortiguamiento)En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = et(C1 + C2t
)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.51.0
C1 + C2tet
x(t)
Observe que la masa pasa por elpunto de equilibrio por lo menosuna vez.
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Sistema Masa-Resorte
Caso III: := 2 2 < 0 (Sub-amortiguamiento)En este caso < k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = et(C1 cos
t+ C2 sin
t
)
2
4
2
4
1 2 3 4 5 6
C1 cos t+ C2 sin
t
etx(t)
-
Sistema Masa-Resorte
Masa
F
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
d2x
dt2+ 2
dx
dt+ 2x =
Fm
2 =
m2 =
k
m
dondex(t) = xc(t) + xp(t)
1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) 0 cuando t)
2 xp(t) se dice solucion de estado estacionario
-
Movimiento Libre Forzado mx(t) + x(t) + kx = F (t)
x(t) = xc(t) + xp(t)
1
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8
Solucion transitoria xc
Solucion estable xp
Solucion estable x(t) = xc(t) + xp(t)
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Ejemplo
La solucion de
d2x
dt2+ 2x = F0 sin t
x(0) = 0 x(0) = 0
donde 6= viene dada por
x(t) =F0
(2 2)( sint+ sin t)
Pregunta
lim
x(t)?
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Mov. Forzado sin amortiguamientox(t) + 2x = F0 sin(t) x(0) = x
(0) = 0
x(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) +F0
2 2 sin(t)
Al resolver el PVI
x(t) =F0
(2 2)( sin(t) + sin(t)
)
Si
lim
sin(t) + sin(t)(2 2) = lim
dd
( sin(t) + sin(t)
)dd
((2 2)
)
= lim
sin(t) + t cos(t)2 =
sin(t) + t cos(t)22
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Ejemplo: Resonancia
lim
x(t) =F022
sin(t) F02
t cos(t)
2
4
6
8
2
4
6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 202
Pagina 13 Semana 13 27.04-30.04.2015 C. Domnguez -R. Prato
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Resonancia
Si no ve el video consulte:
http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw
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Ejemplo
1 Una masa de 3Kg esta fija al extremo de un resorte quese estira20 cm por una fuerza de 15N . Se pone en movimiento con la posicioninicial de x0 = 0 y la velocidad inicial de v0 = 10m/s. Encuentre laamplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.
2 Una masa que pesa 100K esta sujeta al extremos de un resorte que seha estirado 1m mediante una fuerza de 100K. Otra fuerza F0 cos(t)actua sobre la masa. A que frecuencia (en hertzios) ocurriran lasoscilaciones de resonancia? Haga casa omiso del amortiguamiento.
3 A mass of 1 slug, when attached to a spring, stretches it 2 feet andthen comes to rest in the equilibrium position. Starting at t = 0, anexternal force equal to f(t) = 8 sin 4t is applied to the system. Findthe equation of motion if the surrounding medium offers a dampingforce numerically equal to 8 times the instantaneous velocity.
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.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Cada de voltaje en el condensador:q(t)
CCada de voltaje en la resistencia: Ri
Cada de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dtUsando la segunda ley de Kirchhoff
Ldi(t)
dt+Ri(t) +
1
Cq(t) = E(t)
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = E(t)
-
Si E(t) = 0
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = 0
las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterstica para esta dada por
Lm2 +Rm+1
C= 0 m1,2 =
RR2 4L
C
2L
Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:
Estadoamorti-guado
Discriminante
:= R2 4LC
Solucion
sobre R2 4LC> 0, q(t) = e
R
2Lt(C1e
t + C2e
t)
crtico R2 4LC= 0 q(t) = e
R
2Lt(C1 + C2t)
sub R2 4LC< O q(t) = e
R
2Lt(C1 cos
t+ C2 sint)
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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lmite, larespuesta del circuito es armonica simple.
En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el
factor eR
2Lt, y as
q(t) 0 cuando tEn el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t.Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).
Si E(t) es periodica o una constante, entonces la solucion particularqp(t) de se dice solucion de estado estacionario (steady-statesolution).
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Ejemplo
1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 12
h, R = 10 , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?
2 Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRCen serie cuando L = 1h, R = 2, C = 1/4 y E(t) = 50 cos(t)V .
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