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Ingeniera en Electrnica y TelecomunicacionesMtodos NumricosEnero-Abril 2015
EP5. Soluciones de races de ecuaciones en reas aplicadas.
Resuelve los siguientes problemas. Todos los procedimientos y grficas deben estar elaborados a computadora. Expresa tus resultados con una precisin de 8 cifras decimales.1.
[5 pts] Circuito RC en paralelo. Considera el circuito que se muestra en la figura. Este circuito puede considerarse como un sistema de tiempo continuo, con una entrada igual a la corriente dentro de la conexin en paralelo, y con una salida igual al voltaje en las terminales del capacitor. Por la ley de corriente de Kirchhoff
(1)
donde es la corriente en el capacitor e es la corriente en el resistor. Se tiene que
(2)e (3)De donde, sustituyendo (2) y (3) en la ecuacin (1)
(4)
La ecuacin diferencial (4) se conoce como ecuacin diferencial de entrada/salida del circuito. Proporciona una relacin implcita entre la entrada y la salida . La salida resulta de una entrada que puede generarse resolviendo la ecuacin diferencial de entrada y salida (4). Suponga que la entrada es igual a la funcin escaln unitario , y la condicin inicial . Entonces, la respuesta para es la solucin a la ecuacin diferencial
(5)
con la condicin inicial .a) Obtn la solucin analtica de la ecuacin (5) Teniendo la ecuacin diferencial:
Resolvemos mediante transformada de Laplace:
Para resolver, es necesario descomponer en fracciones parciales:
Habiendo descompuesto la expresin de Y en fracciones parciales, la solucin analtica para y(t):
b)
Con la el uso de la solucin analtica, calcula los valores de la salida desde hasta , con y , con intervalos de medio segundo.
ty(t)
00
0,50,78693868
11,26424112
1,51,55373968
21,72932943
2,51,83583
31,90042586
3,51,93960523
41,96336872
4,51,97778201
51,98652411
c) Obtn la solucin numrica mediante el Mtodo de Euler.Obtenemos la solucin numrica a la ecuacin diferencial:
d)
Usa el mtodo de Euler para resolver la ecuacin (5) desde hasta , con un tamao de paso de .ty(t)
00
0,51
11,875
1,52,640625
23,31054688
2,53,89672852
34,40963745
3,54,85843277
45,25112867
4,55,59473759
55,89539539
e) En una misma grfica compara ambas soluciones.
En el grfico, se puede observar el comportamiento de y(t) segn la solucin numrica y la analtica, en este caso, aunque al principio parece ser que ambas soluciones siguen la misma tendencia, pronto la solucin numrica comienza a alejarse de la analtica, esto puede solucionarse disminuyendo el tamao de paso.2.
[5 pts] Circuito RC en serie. Considera el circuito de la figura. Como se muestra, la entrada es el voltaje que se aplica a la conexin en serie, y la salida es igual al voltaje a travs del capacitor. Por la ley de voltaje de Kirchhoff, la suma de los voltajes alrededor de la malla es igual a cero y, por lo tanto,
donde es la corriente en la malla. Se tiene que , por lo que
.
Dividiendo ambos lados entre y reacomodando los trminos, se obtiene la ecuacin diferencial lineal de entrada/salida
,
a)
Obtn la solucin analtica de la ecuacin diferencial de entrada/salida con las condiciones iniciales y
Dada la ecuacin diferencial:
Resolvemos mediante transformada de Laplace:
Para resolver, es necesario descomponer en fracciones parciales:
Habiendo descompuesto la expresin de Y en fracciones parciales, la solucin analtica para y(t):
b)
Con la el uso de la solucin analtica, calcula los valores de la salida desde hasta , con y , con intervalos de medio segundo.ty(t)
00
0,50,39346934
10,632120559
1,50,77686984
20,864664717
2,50,917915001
30,950212932
3,50,969802617
40,981684361
4,50,988891003
50,993262053
5,50,995913229
60,997521248
6,50,998496561
70,999088118
7,50,999446916
80,999664537
c) Obtn la solucin numrica mediante el Mtodo de Euler.
d)
Usa el mtodo de Euler para resolver la ecuacin (5) desde hasta , con un tamao de paso de .ty(t)
00
0,50,5
10,75
1,50,875
20,9375
2,50,96875
30,984375
3,50,9921875
40,99609375
4,50,998046875
50,999023438
5,50,999511719
60,999755859
6,50,99987793
70,999938965
7,50,999969482
80,999984741
e) En una misma grfica compara ambas soluciones.
En el grfico, se puede observar el comportamiento de y(t) segn la solucin numrica y la analtica, se logra visualizar que aunque la solucin numrica por momentos parece alejarse, termina aproximndose relativamente bien a la solucin analtica.
3.
[2 pts] Una carga total se encuentra distribuida en forma uniforme alrededor de un conductor en forma de anillo con radio . Una carga se localiza a una distancia del centro del anillo. La fuerza que el anillo ejerce sobre la carga est dada por la ecuacin
Donde . Encuentra la distancia donde la fuerza es de , si y son para un anillo con un radio de . Utiliza a) el mtodo grfico, b) el mtodo de la secante, con un correspondiente a cinco cifras significativas.a) Mtodo Grfico. Para hallar una posible valor de x que satisfaga la condicin, se procede a generar una nueva funcin F(x):
Usando esta nueva funcin se realiza una tabulacin con diferentes valores de x:xF(x)
0-1,25
0,15-0,53973281
0,2-0,33207233
0,25-0,14668706
0,30,01375925
0,350,1479822
0,40,25594547
De la cual se desprende la siguiente grfica:
Del mtodo grfico, se deduce que el valor de x en el que la fuerza es igual a 1.25 N es aproximado a 0.3m. b) Mtodo de la secante iterxi-1xif(xi-1)f(xi)xi+1ea
00,30,320,013759250,070623190,29516064
10,320,295160640,07062319-0,000634130,295381690,07483556
20,295160640,29538169-0,000634132,869E-050,295372120,00323928
30,295381690,295372122,869E-051,0629E-080,295372121,2006E-06
La carga q y la carga total Q, deben encontrarse a x=0.29537212m de distancia para lograr una fuerza de 1.25N.4. [3 pts] En la figura se muestra un circuito con una resistencia, un inductor y un capacitor en paralelo. Para expresar la impedancia del sistema se emplean las leyes de Kirchhoff, as:
donde impedancia y frecuencia angular. Encuentra la que da como resultado una impedancia de , con el uso tanto del mtodo de biseccin como el de la falsa posicin, con los parmetros siguientes: , y . Determina el nmero de iteraciones necesarias con cada tcnica a fin de encontrar la respuesta con . Utiliza el enfoque grfico para determinar los valores iniciales para el clculo.5.
[2 pts] Los ingenieros mecnicos, as como los de otras especialidades, utilizan mucho la termodinmica para realizar su trabajo. El siguiente polinomio se emplea para relacionar el calor especfico a presin cero del aire seco, , a temperatura :
Determina la temperatura que corresponda a un calor especfico de . Utiliza el mtodo de Mller para calcular la solucin con correspondiente a cinco cifras significativas. Utiliza el mtodo grfico para elegir valores iniciales.SOLUCIN:Para hallar la temperatura requerida, se genera la nueva funcin F(T):
Se dan valores a T, que se presentan en la siguiente tabla:T F(T)
-0,000060,10104007
-0,000050,01382749
-0,00004-0,04463369
-0,00003-0,08009375
-0,00002-0,09830296
A travs de los valores de la tabla, se desprende la siguiente grfica:
Habiendo visualizado la posible raz, a travs del mtodo de Mller se aproxima su valor:iterx0x1x2f(xo)f(x1)f(x2)hoh1
1-0,00006-0,00005-0,000040,101040070,01382749-0,044633690,000010,00001
2-0,00005-0,00004-4,8025E-050,013827492-0,044633690,000181930,00001-8,0246E-06
3-0,00004-4,8025E-05-4,7997E-05-0,044633690,000181934,2043E-07-8,0246E-062,7389E-08
s0s1abcx3ea
-8721,25783-5846,11783143757000-4408,54783-0,04463369-4,80246E-05
-5846,11783-5584,80676132279978-6646,295480,00018193-4,79972E-050,05706314
-5584,80676-6627,32217130360508-6623,751764,2043E-07-4,79971E-050,00013224
En conclusin, -4.79971x10-5 K es el valor de temperatura correspondiente a un calor especfico de 6. [2 pts] En ciertas ocasiones los ingenieros aeroespaciales deben calcular las trayectorias de proyectiles, como cohetes. Un problema parecido tiene que ver con la trayectoria de una pelota que se lanza. Dicha trayectoria est definida por las coordenadas , como se ilustra en la figura. La trayectoria se modela con la ecuacin
Calcula el ngulo inicial apropiado si la velocidad inicial y la distancia al ctcher es de . Observa que la pelota sale de la mano del lanzador con una elevacin , y el cacher la recibe a . Expresa el resultado final en grados. Para utiliza un valor de . Emplea el mtodo a) grfico; b) de Newton-Raphson con .7. [5 pts] Calcula las races positivas de las siguientes ecuaciones por el mtodo de punto fijo, con .a)
b) c) d) SOLUCIN:a)
Basndose en el mtodo grfico:
Se halla una sola raz positiva, misma que se calcula utilizando
Misma que se muestra en la siguiente tabla: iterxiea
10,6
20,5685633875,52913075
30,5836685512,58796955
40,5763219411,27474062
50,5798744420,61263272
60,5781517460,297966
70,5789859850,14408624
80,5785817260,06987074
90,5787775610,03383598
100,5786826780,01639637
110,5787286460,00794289
120,5787063750,00384836
130,5787171650,00186441
140,5787119370,00090328
Entonces, el valor de la primera (y nica) raz real de f(x)=Seno(x)+Ln(x) es aproximadamente: x=0.57871183b)
Basndose en el mtodo grfico:
Se pueden visualizar dos races reales positivas, mismas que se calculan a continuacin:
PRIMERA RAZ POSITIVA Usando:
iterxiea
10,9
21,18463931124,0275085
31,2739753147,01238101
41,2980496571,85465501
51,3042310360,47394815
61,3057976470,11997348
71,3061933650,03029549
81,3062932360,00764542
91,3063184360,00192911
101,3063247950,00048674
El valor aproximado de la primera raz real positiva es x=1,30632479 SEGUNDA RAZ POSITIVA
iterxi ea
11
21.2182829117.9172591
31.283254625.06304147
41.300447361.32206377
51.30483970.33661915
61.305951460.08512982
71.306232190.02149165
81.306303030.00542334
91.306320910.00136841
101.306325420.00034526
El valor aproximado de la primera raz real positiva es de x= 1.30632542
c)
d)
Mtodo Grfico.
xf(x)
-8-437
-7-278
-6-161
-5-80
-4-29
-3-2
-27
-14
0-5
1-14
2-17
3-8
419
570
6151
7268
8427
Ing. Genaro Luna Tapia 2015. Ao Internacional de la Luz y de las tecnologas basadas en ella
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