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El plano cartesiano y gráficas

de ecuaciones en dos variables

MECU 3031

Sec. 4.1 Arya 5ta ed.

Slide 1.1 - 2

En una dimensión, una

recta numérica asocia

cada número real con un

punto sobre la recta.

Sistema de coordenadas cartesianas

En dos dimensiones, se

asocian puntos en un

plano con pares ordenados

de números reales.

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El plano de coordenadas cartesianas

• Dos líneas

perpendiculares

llamadas eje de x y eje

de y:

• Dividen el plano en

cuatro cuadrantes

• La intersección de

los dos ejes se

llama el origen.

• Cada punto P en el

plano corresponde a un

par ordenado (x, y) de

coordenadas.

• Los signos de las

coordenadas cambian

según el cuadrante

donde se encuentran.

P

• La primera coordenada, x, indica las unidades a moverse a

la izquierda o la derecha, partiendo del origen.

• La segunda coordenada, y, nos indica las unidades a

moverse hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo:Localizar (3, 5).

Partiendo de el origen,

mover 3 unidades hacia

la izquierda.

Luego, mover 5 unidades

hacia arriba.

Marca el punto.

(–3, 5)

Localización de puntos en el plano

Identificar las coordenadas de los puntos

¿Cuáles son las

coordenadas de:

A?B?C?D?E?F?G?

Ecuaciones y soluciones

Muchas situaciones se pueden decribir

matemáticamente usando una ecuación en la que

aparecen dos variables.

Ejemplos: 2x + 3y = 18

2x2 – 3y + x – 3 = 0

y =3

4𝑥−1

Una solución de una ecuación en dos variables es un par

ordenado, (a, b), para el cual la sustitución del primer

valor en x y el segundo valor en y produce un enunciado

cierto.

Slide 1.1 - 7

Ejemplos

a.

Determina si el par

ordenado (5, 7) es una

solución de 2x + 3y = 18.

b.

Determina si el par

ordenado (3, 4) es una

solución de 2x + 3y = 18.

Gráfica de una Ecuación

Las ecuaciones en dos variables tienen una infinidad de

soluciones.

Como no podemos enumerar todas las soluciones de

una ecuación en dos variables, construimos un dibujo,

llamado gráfica, que representa el conjunto de todas

las soluciones de la ecuación.

Para construir una gráfica identificamos pares

ordenados que son soluciones de la ecuación.

Unos pares ordenados especiales de una ecuación se

llaman los interceptos de la ecuacion.

Intercepto en x

El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de x se conoce como el intercepto en x, (abreviaremos int-x).

Ejemplo:

Se presenta la gráficade x + 2y = 7.

El intercepto en x es

(7,0).

Intercepto en x (cont.)

El int-x es un punto con forma (a, 0).

Para hallar el valor de a, asignamos el valor de 0 a y. Luego, resolvemos para x.

Ejemplo: Deteminar el int-x de 2x + 3y = 18.

Intercept - y

El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de y se conoce como el intercepto en y (abreviaremos int-y).

Ejemplo:

Se presenta la gráficade x + 2y = 7.

El intercepto en y es

(0,3.5).

Intercept - y

El int-y es un punto con forma (0, b).

Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.

Ejemplo: Deteminar el int-y de 2x + 3y = 18.

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Identificar los

interceptos en

la gráfica

int – y:

int – x:

Práctica

Ejemplo: Deteminar los puntos donde ocurrenintersecciones con los ejes de la ecuación

5x – 2y = 10.

Solución:

int-y int-x

Bosquejar o trazar una gráfica

Una forma de bosquejar o trazar (“sketch”) la gráfica

de una ecuación es determinar suficientes

soluciones de la ecuación (puntos en la gráfica).

Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.

Debemos conseguir soluciones de la ecuación.

Anteriormente determinamos que el int – x es: (9, 0)

y que int – y es: (0, 6)

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Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18

(cont.)

Determinamos una tercera solución reemplazando xcon el valor de 5, y resolviendo para hallar el valor de y.

2 5 3y 18

10 3y 18

3y 8

y 8

3

Por lo tanto, es una solución.5,8

3

Slide 1.1 - 17

Ejemplo (cont.)

Trazar la gráfica:

2x + 3y = 18.

int-x:

(9, 0)

int-y :

(0, 6)

Tercer punto:

Ahora unimos los

puntos con una recta.

5,8

3

Diferentes formas de una ecuación

Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una

forma equivalente utilizando correctamente operaciones

inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus

variables.

Formas de la ecuación lineal:

• Forma general

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

• Forma estándar

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

• Forma punto-pendiente

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Diferentes formas de una ecuación

Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una

forma equivalente utilizando correctamente operaciones

inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus

variables.

Ejemplo: Escribir y – 2x + 1= 0 despejada para y.

(Operación inversa de suma es resta. Restamos 1 a

cada lado.)

(Operación inversa de resta es suma. Sumamos 2x

a cada lado.)

(Una ecuación con y en términos de x, en forma

pendiente intercepto.)

Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0

Primero despejamos la ecuación para y,

y = 2x – 1 .

Luego, elegimos algunos valores para asignar a la x:

x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Determinamos los valores correspondientes de y para

cada valor.

Finalmente, organizamos los pares ordenados en una

tabla conocida como una tabla de valores.

Ejemplo: Trazar la gráfica y = 2x − 1 (cont.)

Completa la tabla:

Localiza los puntos en un plano.

Notas :

Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Es la forma

típica de una ecuación lineal.

Otro ejemplo

Esboce la gráfica de y = x2 – 3 .

Elegir unos valores para x, luego completar la tabla de

valores:

Localizamos los puntos en un plano cartesiano:

Ejemplo (cont.)

Unimos los puntos en

esta ocasión con una

curva suave, (sin picos

ni brincos) siguiendo

el patrón que

observamos.

Una gráfica con esta

forma se conoce como

una parábola. Es la

forma típica de una

ecuación cuadrática.

(-3, 6), (-2, 1) (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1), (3, 6)

y = x2 – 3

Ejemplo (cont.)El punto (0, -3) parece dividir la

gráfica en dos partes iguales.

A la izquierda del (0, -3), notamos que a medida que xse hace más grande, y se hace más pequeño.

La gráfica es decreciente en el lado izquierdo del (0, -3).

(decreciente en (-∞, 0))

A la derecha del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande.

La gráfica es creciente en el lado derecho del (0, -3).

(creciente en (0, ∞))

Práctica – Indicar los intervalos donde la

gráfica es creciente o decreciente.

La gráfica baja de izquierda a

derecha, por lo tanto es

decreciente en

La gráfica sube de izquierda a

derecha, por lo tanto es

creciente en

La gráfica baja de izquierda a

derecha, por lo tanto es

decreciente en

Interpretación de gráficas

A menudo la información se presenta en forma gráfica

por lo que interpretar gráficas es una destreza

importante.

Observe la gráfica.

a. ¿Cuál fue la temperatura

a las 6 PM?

b. ¿A qué horas del día era

la temperatura menor que

50 °?

c. ¿Durante qué periodo

antes de las 4 PM era la

temperatura por lo menos

60°?

Interpretación de gráficas (cont.)La gráfica muestra los ingresos y costos mensuales relacionados

a la producción de podadoras de grama de cierta compañía. .

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USANDO CALCULADORA

GRAFICA

Opcional

Trazar la gráfica con calculadora

gráfica: y = 9 – x2

(cont.) Trazar la gráfica con calculadora

gráfica: y = 9 – x2

Hallar los interceptos.

En la gráfica, la escala aumenta

de uno en uno, por lo que

podemos estimar visualmente

los interceptos y luego

confirmar con la calculadora.

int y (0,9)

Trazar la gráfica con calculadora gráfica:

y = 9 – x2 (cont)

Hallar los interceptos en x.

.

Aún en TRACE mode podemos escribir

el valor de x que queremos evaluar y

oprimir ENTER.

Los interceptos

en x son (-3,0) y

(3,0)

Para copiar la gráfica de la pantalla de la calculadora al

papel, debes llenar la tabla para otros valores de y.

Llenamos la tabla y luego localizamos los puntos:

Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 – x2 (cont)

x -4 -2 2 4

y

Oprimimos 2ND WINDOW, para

configurar la tabla que va a producir la

calculadora.

-7 5 5 -7

Localiza los puntos en un plano cartesiano:

• El punto (0, 9) parece

dividir la gráfica en dos

partes iguales.

• A la izquierda del (0, 9):

a medida que x se

hace más grande, y se

hace más grande. (La

gráfica es creciente.)

• A la derecha de este

punto: a medida que x

se hace más grande, y

se hace más pequeño.

(La gráfica es

decreciente.)x -4 -2 0 2 4

y -7 5 9 5 -7

(cont.) Trazar la gráfica: y = 9 – x2