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El Algebra

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Qué es el álgebra?

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Qué es el álgebra?

Todo lo que sea objeto de estudio matemático (curvasy superficies, funciones, simetrías, cristales, mecánicacuántica y demás) puede ser ’coordenatizado’ o ’me-dido’. Sin embargo, para esta coordinatización losnúmeros ’ordinarios’ no siempre son lo adecuado. Ala inversa, cuando encontramos un nuevo tipo de ob-jeto, estamos forzados a construir o descubrir nuevas’cantidades’ para coordenatizarlos. La construcción yel estudio de estas cantidades es lo que caracteriza ellugar del álgebra en las matemáticas (por supuesto,muy aproximadamente).

Kostrikin y Shafarevich, Algebra I, EMS Springer(1987)

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ETAPAS

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Etapas del Algebra

(Primaria,· · · - 1550) Números: simbolismo para lospropios números. Reglas para las operaciones enN

(estrictamente, con los naturales, racionales positivos,y algunos reales); representación geométrica de losnúmeros. Máximos responsables: Euclides, Diofanto.

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Etapas del Algebra

(Primaria,· · · - 1550) Números

(Secundaria, 1550 - 1840) Polinomios:Z[x], seprofundiza el estudio deN y Z (apareceC, luegooC[x]). Máximos responsables: Viete, Descartes,Gauss.

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Etapas del Algebra

(Primaria,· · · - 1550) Números

(Secundaria, 1550 - 1840) Polinomios

(Universitaria, 1840 - 1930) Estructuras: grupos,anillos, cuerpos, espacios vectoriales, módulos...Máximos responsables: Cauchy, Hamilton, Dedekind,Noether.

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Etapas del Algebra

(Primaria,· · · - 1550) Números

(Secundaria,1550 - 1840) Polinomios

(Universitaria, 1840 - 1930) Estructuras

(Pos-grado, 1930 -· · · ) Meta-estructuras:sistematización, categorías y functores;... Máximosresponsables: Bourbaki, Groethendiek.

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Clasificación (arbitraria)

Euclides, Diofanto, Gauss, Noether, Bourbaki.

Descartes, Cauchy, Hamilton, Dedekind,Groethendiek

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Francois Viete (1540-1603)

Introduce tres tipos de análisis:

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Francois Viete (1540-1603)

Introduce tres tipos de análisis:

• Zetético: transformación de un problema en unaecuación.

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Francois Viete (1540-1603)

Introduce tres tipos de análisis:

• Zetético: transformación de un problema en unaecuación.

• Porístico: explorar una conjetura manipulandosímbolos.

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Francois Viete (1540-1603)

Introduce tres tipos de análisis:

• Zetético: transformación de un problema en unaecuación.

• Porístico: explorar una conjetura manipulandosímbolos.

• Exegético: el arte de resolver una ecuaciónhallada por el análisis zetético.

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Origen del Algebra

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Origen del Algebra

• Solución de ecuaciones polinomiales

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Origen del Algebra

• Solución de ecuaciones polinomiales• Teoría de números

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Origen del Algebra

• Solución de ecuaciones polinomiales• Teoría de números• Problemas físicos y geométricos

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes

• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes

• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’• Solución de cuadráticas y cúbicas de Omar

Khayyam

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes

• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’• Solución de cuadráticas y cúbicas de Omar

Khayyam• Los italianos y la ecuación de 3er grado

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes

• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’• Solución de cuadráticas y cúbicas de Omar

Khayyam• Los italianos y la ecuación de 3er grado• La Geometría de Descartes

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss

• Los números complejos

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss

• Los números complejos• Relaciones entre las raíces

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss

• Los números complejos• Relaciones entre las raíces• El TFA

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Ruffini, Abel, Galois (los " idiotas")

• Solución por radicales

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Solución de ecuaciones lineales y raíces depolinomios

Ruffini, Abel, Galois (los " idiotas")

• Solución por radicales

Lagrange, Cauchy, Cayley

• Permutaciones de raíces• Teoría de grupos

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Teoría de números

Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,Dedekind...

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Teoría de números

Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,Dedekind...

• Puntos racionales en el círculo

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Teoría de números

Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,Dedekind...

• Puntos racionales en el círculo• Escribir un número como suma de 2 o 4

cuadrados

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Teoría de números

Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,Dedekind...

• Puntos racionales en el círculo• Escribir un número como suma de 2 o 4

cuadrados• Zp, enteros gaussianos, factorización única

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Teoría de números

Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,Dedekind...

• Puntos racionales en el círculo• Escribir un número como suma de 2 o 4

cuadrados• Zp, enteros gaussianos, factorización única• Fermat

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Teoría de números

Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,Dedekind...

• Puntos racionales en el círculo• Escribir un número como suma de 2 o 4

cuadrados• Zp, enteros gaussianos, factorización única

(Kummer, ideales)• Fermat

–Andrew Wiles–Serre - Ribet - Dieulefait - Khare-Wintenberger

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Problemas físico-geométricos

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Problemas físico-geométricos

• Latitud y longitud (Oresme)

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Problemas físico-geométricos

• Latitud y longitud (Oresme)

• Coordenadas y geometría analítica (Fermat,Descartes)

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Problemas físico-geométricos

• Latitud y longitud (Oresme)

• Coordenadas y geometría analítica (Fermat,Descartes)

• Curvas algebraicas (Newton, Descartes, Euler,Bezout)

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Problemas físico-geométricos

Problemas clásicos

• Duplicación del cubo• Trisección del ángulo• Cuadratura del círculo

(Mucha gente involucrada)

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Problemas físico-geométricos

• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton-quiere liberar a los complejos de la geometría!)

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Problemas físico-geométricos

• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton-quiere liberar a los complejos de la geometría!)

• Rotaciones, Ecuaciones diferenciales, Simetríasde las leyes físicas (Euler, Lagrange, Cauchy, Lie,Noether)

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Problemas físico-geométricos

• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton-quiere liberar a los complejos de la geometría!)

• Rotaciones, Ecuaciones diferenciales, Simetríasde las leyes físicas (Euler, Lagrange, Cauchy, Lie,Noether)

• Cálculo vectorial, leyes físicas (Gibbs, Heavisidey Stokes, "los vulgarizadores que toman deHamilton y Grassman lo que se ha llamadocálculo vectorial"

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Problemas físico-geométricos

• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton-quiere liberar a los complejos de la geometría!)

• Rotaciones, Ecuaciones diferenciales, Simetríasde las leyes físicas (Euler, Lagrange, Cauchy, Lie,Noether)

• Cálculo vectorial, leyes físicas (Gibbs, Heavisidey Stokes, "los vulgarizadores que toman deHamilton y Grassman lo que se ha llamadocálculo vectorial", y Thompson -lord Kelvin-,Green, Tait, y Maxwell, "los cuaternonistasfanáticos")

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Física y Geometría

Maxwell quedó impresionado por los trabajos de Taitsobre aplicaciones físicas de los cuaterniones yescribió a Thomson in 1871:

"You should let the world know that the true source ofmathematical methods as applicable to physics is tobe found in the Proceedings of the Royal Society ofEdinburgh. The volume- surface- and line- integralsof vectors and quaternions and their properties as inthe course of being worked out by Tait is worth allthat is going on in other seats of learning."

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Física y Geometría

Tait empezó a estudiar la teoría de nudos, y empezócon la mezcla de física y cuaterniones re-escribiendoresultados de Helmholz sobre mecánica de fluídos.

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Física y Geometría

Tait empezó a estudiar la teoría de nudos, y empezócon la mezcla de física y cuaterniones re-escribiendoresultados de Helmholz sobre mecánica de fluídos.

En particular, mostró cómo se podía describir el fluídoseparando su movimiento, su rotación y su dilatación.

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Física y Geometría

Tait empezó a estudiar la teoría de nudos, y empezócon la mezcla de física y cuaterniones re-escribiendoresultados de Helmholz sobre mecánica de fluídos.

En particular, mostró cómo se podía describir el fluídoseparando su movimiento, su rotación y su dilatación.

Reescribió las ecuaciones de Maxwell para elelectromagnetismo vectorialmente:

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Ley de Ampere

∂H3

∂y−

∂H2

∂z= 4π

(

j1 + ∂D1

∂t

)

∂H1

∂z−

∂H3

∂x= 4π

(

j2 + ∂D2

∂t

)

∂H2

∂x−

∂H1

∂y= 4π

(

j3 + ∂D3

∂t

)

∇× H = j +∂D

∂t

H campo magnéticoD densidad de campo eléctricoj densidad de corriente

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Ley de Faraday

∂E3

∂y−

∂E2

∂z= −

∂B1

∂t∂E1

∂z−

∂E3

∂x= −

∂B1

∂t∂E2

∂x−

∂E1

∂y= −

∂B1

∂t

∇× E = −∂B

∂t

E campo eléctricoB campo magnético

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Leyes de Gauss

∂D1

∂x+

∂D1

∂y+

∂D1

∂z= ρ

∂B1

∂x+

∂B1

∂y+

∂B1

∂z= 0

∇ · D = ρ ∇ · B = 0

ρ densidad de carga eléctrica

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Los operadores∇., ∇× también tienen unidades

cuáles?

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El Algebra

1844 − 1931

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1844

• Hamilton, álgebras:On a new Species ofImaginary Quantities connected with a theory ofQuaternions, Proc. of the Royal Irish Acad. 2(1844), 424-434, y otros tres papers.

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1844

• Hamilton, álgebras.• Grassman, espacios vectoriales:Die Lineale

Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig derMathematik(Teoría de la Extensión Lineal, unanueva rama de las matemáticas) (1844).

JPP-HdM – p. 54/76

1844

• Hamilton, álgebras.• Grassman, espacios vectoriales.• Cauchy, grupos de permutaciones:Exercise

d’analyse et de physique mathmatique, 3, Paris(1844) 151-252. (al año siguiente, C. R., t. XXI,277-496!)

JPP-HdM – p. 55/76

1844

• Hamilton, álgebras.• Grassman, espacios vectoriales.• Cauchy, grupos de permutaciones.• Kummer, ideales:De numeris complexis, qui

radicibus unitatis et numeris integris realibusconstant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zurJubelfeier der Univ. Königsberg, (1844).

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1844

• Hamilton, álgebras.• Grassman, espacios vectoriales.• Cauchy, grupos de permutaciones.• Kummer, ideales.

1931

Van der Waerden,Moderne Algebra, 2 vol., 1er ed.Springer, Berlin.

JPP-HdM – p. 57/76

Cuál fue la mayor influencia para el álgebra aprincipios del s. XX?

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Cuál fue la mayor influencia para el álgebra aprincipios del s. XX?

La Primera Guerra Mundial

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1914-1918

• Marne 1914: comienza la guerra de trincheras2, 6.105 - 2, 5.105 (2, 5.105 franceses)

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1914-1918

• Marne 1914: comienza la guerra de trincheras2, 6.105 - 2, 5.105 (2, 5.105 franceses)

• Verdun 1916: uso del gas difosgeno (cloro-alemán, líquido- y fosgeno -francés, gas a8◦ C)3, 8.105 Francia -3, 2.105

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1914-1918

• Marne 1914: comienza la guerra de trincheras2, 6.105 - 2, 5.105 (2, 5.105 franceses)

• Verdun 1916: uso del gas difosgeno (cloro-alemán, líquido- y fosgeno -francés, gas a8◦ C)3, 8.105 Francia -3, 2.105

• Somme 1916: debut de los tanques, a 3.2 km/h4.105 ingleses,2.105 franceses,4.105 alemanes(para distraer a los alemanes de Verdún)

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Matemáticos Franceses I

1903 − 1909

Delsarte, Dubreil, Cartan, Ehressman, Possel,Dubreil-Jacotin, Weil, Dieudonné, Leray, Chevalley

[Kolmogorov, Segre, Church, Hodge, Mahler, Stone,Wintner, Orlicz, van der Waerden, Littlewood, deRham, Sobolev, Lewy, Whitehead, Mac Lane, Quine,Landau, Feller, Taussky, Tikhonov, Paley, Whitney,Coxeter, Alfhors, Krein, Carlitz, Keller, Godel,Mazur, Young, Shnirelmann, Borsuk]

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Matemáticos Franceses II

1910 − 1915 : 0

[Erdos, Kac, Eilenberg, Levinson, Kakutani, Doob,Bers, Dantzig, Gelfand, Kantorovich, Witt, Chern,Turing, Birkhoff, Jacobson, Turán, Fritz John, S.Schwarz, Teischmuller, Zuse, Zassenhaus]

1915 − 1919 : Laurent Schwartz

[Hamming, Kodaira, Tukey, Ito, Halmos, Shannon,Kaplansky, Tutte, Selberg, Kato, Iwasawa, Nicolson,Fomin, Robinson (x2), Smullyan]

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La postguerra

Bourbaki ∼ 1933

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Era posible otra matematica?

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Era posible otra matematica?

Si

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Era posible otra matematica?

Si

• A.-L. Cholesky (1875-31/08/1918)• Jean Cavailles (1903-1944)• Albert Lautman (1908-1944)• René Gateaux (1889-1914)• Simone Weil (1909-1943)

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Dieudonné (I)

" (...) el cálculo, una de cuyas repercusiones fue la depermitir la determinación, en un número finito depasos, de las raíces de cualquier ecuación con tantosdecimales como se quiera (pongamos 20). Es unmétodo estándar que se conoce bien desde Newton yque, en un ordenador, proporciona el resultado muyrápidamente, en pocos segundos, cuando antes erannecesarios tres o cuatro días de trabajo duro. No haydudas de que el método era perfecto para los usuariosy los técnicos. Por qué esos idiotas de los matemáticossiguieron buscando soluciones por radicales?"

Pensar las matematicas, Tusquets, 185-186 (1988)

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Bourbaki (II)

" (...) la singularidad de este ejemplo (...) restringealgo su alcance, a pesar, o más bien a causa, de laformación de una escuela de " cuaternonistas"fanáticos, extraño fenómeno que se reproduce mástarde alrededor de la obra de Grassman, y después enlos vulgarizadores que toman de Hamilton yGrassman lo que se ha llamado " cálculo vectorial"."

Algebra lineal y Algebra multilineal, Elementos deHistoria de las matemáticas, Alianza Ed. (1976) p.93

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Elementos de Historia de lasmatemáticas, N. Bourbaki

Contras:

• Anacronismos y valoraciones a posteriori:Dieudonné menciona también las computadorasal calificar de ’tonto’ al problema de calcular elárea y la longitud de arco de la elipse; grandesresultados son apenas ’ejemplos’ de teoríasabstractas posteriores; " Peano, uno de loscreadores del método axiomático..."

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Elementos de Historia de lasmatemáticas, N. Bourbaki

Contras:

• Anacronismos y valoraciones a posteriori• Excesivamente centrado en el álgebra:

son notas de sus Capítulos, los cuales sonmayoritariamente algebraicos; pero se notaademás un desprecio continuo por otras áreas -lamecánica y la astronomía no se mencionan, seignoran las probabilidades, el análisis es un’método’, etc.

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Elementos de Historia de lasmatemáticas, N. Bourbaki

Contras:

• Anacronismos y valoraciones a posteriori• Excesivamente centrado en el álgebra• Motivación errónea:

excesiva presunción de platonismo en lasmotivaciones de los demás; querer entender,mayor abstracción..., deja de lado todo problemapráctico, aplicación, casualidad,... Errorinvoluntario o ideológico?

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Elementos de Historia de lasmatemáticas, N. Bourbaki

Contras:

• Anacronismos y valoraciones a posteriori• Excesivamente centrado en el álgebra• Motivación errónea

Pro: cubre completamente los resultados teóricos delálgebra a partir del 1800;

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Elementos de Historia de lasmatemáticas, N. Bourbaki

Contras:

• Anacronismos y valoraciones a posteriori• Excesivamente centrado en el álgebra• Motivación errónea

Pro: cubre completamente los resultados teóricos delálgebra a partir del 1800; muy buena bibliografía;

JPP-HdM – p. 75/76

Elementos de Historia de lasmatemáticas, N. Bourbaki

Contras:

• Anacronismos y valoraciones a posteriori• Excesivamente centrado en el álgebra• Motivación errónea

Pro: cubre completamente los resultados teóricos delálgebra a partir del 1800; muy buena bibliografía;excelente color de la tapa y buen tamaño de letra.

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