ejercicios cálculo integral
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EJERCICIOS CLCULO INTEGRAL
1.
Encuentre el valor promedio de en el intervalo .
Rta.
Teniendo en cuenta que el valor promedio de sobre el intervalo resulta de calcular hallamos el valor promedio de la funcin planteada de la siguiente manera
Para continuar con la frmula del valor promedio tenemos que resolver la integral y lo hacemos aplicando la regla de la sustitucin:
Sacamos la constante, aplicamos la regla de la potencia
Reemplazamos
=
Calculamos los lmites
Teniendo el valor del lmite calculamos el valor promedio
2.
Halle el valor medio de la funcin en el intervalo
Rta.
Lo resolvemos aplicando el mismo procedimiento del ejercicio anterior ya que estamos aplicando el teorema del valor medio.
Para hallar el valor medio resolvemos primero la integral
Aplicamos la regla de la suma
Resolvemos la primera integral
Resolvemos la segunda integral
Resolvemos los lmites
Reemplazamos el valor de la integral para calcular el valor medio
3.
Sea hallar .
Rta.
Resolvemos primero la integral
Resolvemos la primera integral
Resolvemos la segunda integral
Lo que nos da como resultado de la integral indefinida
Reemplazamos el valor de por el valor del lmite superior de la integral
Habiendo resuelto la integral procedemos a calcular el valor de
Si el lmite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el lmite es el valor de la integral. Si el lmite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.
Evaluar las siguientes integrales impropias:
4.
Resolvemos la integral indefinida:
Aplicamos la integracin por partes:
Donde:
Aplicamos los lmites
Se concluye que esta integral impropia es convergente
5.
Resolvemos la integral indefinida
Aplicamos la integracin por sustitucin
Donde:
Reemplazamos los lmites:
Se concluye que la integral impropia es divergente.
Existen varios mtodos para resolver integrales como integracin por racionalizacin, integracin por sustitucin trigonomtrica, integracin por partes e integracin por fracciones parciales.
Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la tcnica o propiedad utilizada.
6.
Aplicamos la integracin por sustitucin donde:
Aplicamos nuevamente la integracin por sustitucin donde:
Reemplazamos
Simplificando tenemos:
Una vez estudiados los principios sobre integracin y analizados las diferentes tcnicas de integracin se procede a desarrollar la parte prctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso de anlisis de grficas (rea de regiones planas, rea de curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramtrica)
7.
Hallar el rea que hay entre las grficas y entre y .
Rta.
El rea entre dos funciones est dada por la frmula
Resolvemos para este caso primero la integral de
Resolvemos la integral indefinida aplicando la regla de la suma
Aplicamos los lmites
Resolvemos ahora la integral de
Resolvemos la integral indefinida aplicando la regla de la suma
Aplicamos los lmites
Teniendo la solucin de cada una de las integrales hallamos el rea solicitada
8.
Hallar el rea de la regin limitada por las grficas de y .
Rta.
Lo primero que se va a calcular es la interseccin de las curvas entonces:
Resolvemos por ecuacin cuadrtica para hallar los puntos que delimitan la grfica
-14
01
10
21
-14
03
12
21
Despus de realizada la grfica y teniendo el rea delimitada calculamos el rea tomando como limites 0 y 2. Entonces tenemos
Calculamos primero la integral de
Resolvemos la integral indefinida
Aplicamos la integral por sustitucin donde
Entonces
Sustituimos
Resolvemos los lmites
Resolvemos la integral
Resolvemos la integral indefinida aplicando la regla de la suma
Resolvemos los lmites
Ahora calculamos el rea
9.
Hallar el rea de superficie lateral del slido que se obtiene al rotar la grfica de entre y alrededor del eje x.
Rta.El valor del rea es el resultado de la integral entonces tenemos:
Resolvemos primero la integral indefinida para luego resolver los lmites y obtener el valor del rea:
Sacamos la constante
Resolvemos aplicando la regla de la potencia y simplificamos
Resolvemos los lmites:
El rea de superficie lateral del slido equivale a
10.
Hallar la longitud de entre y
Rta.
Para hallar la longitud de y debemos resolver la integral definida
Primero simplificamos las fracciones en una sola y resolvemos la integral indefinida
Sacamos el valor de la constante
Aplicamos la regla de la suma
Resolvemos la primera integral
Resolvemos la segunda integral
Sacamos la constante y resolvemos
Por lo tanto
Equivale a
Simplificamos:
Resolvemos los lmites
Entonces
Este el valor de la longitud de
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