ecuacion de la recta

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P. E.

La recta es una de las curvas de mayor estudio

realizado en las matemáticas por la enorme

cantidad de aplicaciones que presenta y por estar

vinculada a una ecuación de primer grado o

lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen:

problemas de costos-ingresos y ganancia, la

oferta y demanda, la valoración de un activo a lo

largo del tiempo, etc.

Introducción:

Definición:Existen varios intentos por definir a la línea recta, el más común es el que establece que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos.

Nosotros diremos que una línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que si tomamos dos cualesquiera de ellos satisfacen la ecuación,

donde m es una constante, la pendiente de la recta.

m=y2− y1

x2−x1

L1

L2

0 x

y

• ¿Cuál de las ¿Cuál de las rectas está más rectas está más inclinada?inclinada?

• ¿Cómo medimos ¿Cómo medimos esa inclinación?esa inclinación?

x

yencambio

recorrido

elevaciónm

en x cambio

y

La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:

y2 - y1

x2 - x1

Cálculo de la pendiente de una recta

0 x

y

P1(x1;y1)

P2(x2; y2)

x=x2 - x1

y=y2 - y1

m =

Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

Ubique los puntos en el plano y Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos determine la pendiente de estos segmentos:segmentos:

1.1. A(-6; 1) y B(1; 2)A(-6; 1) y B(1; 2)

2.2. C(-1; 4) y D(3; 1)C(-1; 4) y D(3; 1)

3.3. E(3; 2) y F(8; 2)E(3; 2) y F(8; 2)

4.4. G(2; 1) y H(2; -3) G(2; 1) y H(2; -3)

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

x

y

1.1. Si mSi m>>0 la recta 0 la recta ll es crecientees creciente

2.2. Si mSi m<<0 la recta 0 la recta ll es decreciente es decreciente

3.3. Toda recta horizontal tiene m Toda recta horizontal tiene m = =

0 0

4.4. Las rectas verticales no tienen Las rectas verticales no tienen

pendiente definida. pendiente definida.

Si la línea recta con pendiente m cruza al eje Y en el punto P(0,b) está descrita por la ecuación, bmxy

Ym

P(o,b)

X

La ecuación de la recta de pendiente m, y La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso punto de paso (x(x11, y, y11)) es: es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Ecuación de la recta 2.

ECUACIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTARECTA

La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

Ax + By + C = 0

Ejemplo:Encontrar la ecuación de la recta que tiene una inclinación de 45 grados y cruza al eje Y en 10.

10

45

Solución: La pendiente de la recta estará dada por,

y la ordenada al origen es 10, por lo que la ecuación de la recta será,

145tan ==m

101x+=y

10+x=y

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos, P(-3,-2) y P'(1,4).

4

-3 1

-2

Solución;La pendiente de la recta está dada

por,

así que la ecuación de la recta será,

m=y2− y1

x 2−x1

−2−4−3−1

=−6−4

= 32

123

4 x=y

1342 x=y

2y−8=3x−3

0382y3x =++

052y3x =+052y3x =+

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

En resumen:

Formas de la ecuación de una recta:Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen

• Forma general Ax + By + C = 0

• Recta vertical x = a

• Recta horizontal y = b

La recta cuyas inter-secciones con los ejes X y Y son (a,0) y (0,b) respectivamen-te, tiene por ecuación,

1=by

+ax

Dadas las ecuaciones de dos líneas rectas cualesquiera,

es posible saber si exite alguna relación entre ellas.

0=C+By+Ax

0=C+yB+xA '''

m1 = m2

Dos rectasDos rectas ll11 yy ll2 2 cuyas pendientes cuyas pendientes

sonson mm11 yy mm22 , , son paralelasson paralelas ( (ll11 //// ll22) )

si y sólo si tienen la misma si y sólo si tienen la misma

pendiente o si ambas son pendiente o si ambas son

verticales .verticales .

Es decir:Es decir:

Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decir:

Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.

m1 . m2 = -1