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Divisibilidad

Olimpiada Mexicana de Matematicas en Guanajuato

1 Introduccion

1.1 Divisibilidad y numeros primos

La aritmetica es una parte fundamental en las matematicas y es por ello que muchos de los problemasde la olimpiada estan basados en ella. Uno de los conceptos mas basicos en esta area es el dedivisibilidad:

Definicion Decimos que un numero d divide a otro numero n si podemos encontrarnos un enterok tal que d = nk. En otras palabras, cuando d 6= 0, decimos que d divide a k si el resultado de ladivision de k entre d es exacto. Tambien expresamos esto con la frase ”n es multiplo de d”.

Desde esto, podemos observar que el 1 es divisor de cualquier numero. Ası tambien tenemos quetodo numero se divide a sı mismo. Finalmente, el 0 es multiplo de cualquier entero. Desde esteconcepto podemos extender naturalmente el de un numero primo:

Definicion Decimos que un numero p > 1 es primo si solamente es divisible por sı mismo y 1. El1 no se considera primo.

La importancia de los numeros primos radica en gran parte en el siguiente teorema:

Teorema Fundamental de la Aritmetica Todo numero entero mayor a 1 puede ser expresadode manera unica como producto (o multiplicacion) de numeros primos (salvo en el orden).

Algunos ejemplos del teorema anterior son 144 = 24 × 32, 2010 = 2× 3× 5× 67 y 31 = 31. A estadescomposicion de los numeros se les llama ”descomposicion en factores primos”.

1.2 Criterios de Divisibilidad

A veces es muy sencillo decir cuando un numero es divisible por otro. Esto es gracias a los llamados”criterios de divisibilidad”. Los mas conocidos se enuncian a continuacion:

Criterio de divisibilidad por 2 y 5 Un numero es divisible por 2 si su ultima cifra es divisiblepor 2. De igual manera es divisible por 5 si su ultima cifra es divisible por 5.

Criterio de divisibilidad por 3 y 9 Un numero es divisible por 3 si la suma de sus cifras esdivisible por 3. De igual manera es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9.

Criterio de divisibilidad por 4 y 25 Un numero es divisible por 4 si el numero formado porsus dos ultimas cifras es multiplo de 4. De igual manera es divisible por 25 si el numero formadopor sus dos ultimas cifras es multiplo de 25. ¿Puedes inferir un criterio similar para el 8?

Criterio de divisibilidad por 11 Para decir si un numero es multiplo de 11 hacemos lo sigu-iente: Sumamos los dıgitos que estan en posicion par. A continuacion sumamos de forma separadalos que estan en posicion impar. Extraemos la resta entre estas dos sumas. Si dicha resta es multiplode 11, el numero original tambien lo es.

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¿Puedes explicar por que funcionan estos criterios? La clave para hacer esto esta en observar lamanera en la que representamos los numeros funciona con potencias de 10. Por ejemplo 4266 =4× 1000 + 2× 100 + 6× 10 + 6.

2 Ejercicios

1. Encuentra el mayor entero menor a 10000 que es cubo y cuadrado perfecto a la vez. Porejemplo, 64 es cubo y cuadrado perfecto pues 64 = 43 y 64 = 82.

2. ¿Cuantos numeros con exactamente tres divisores hay entre el 1 y el 1000?

3. ¿Cual es el mayor n tal que 2010!7n es un entero?

4. ¿Existe algun entero n tal que n! termine en exactamente 11 ceros en su representaciondecimal?

5. ¿Puede un numero con 100 dıgitos iguales a 0, 100 dıgitos iguales a 1 y 100 dıgitos iguales a2 ser un cuadrado perfecto?

6. ¿Cuales son los dos ultimos dıgitos de 112010?

3 Problemas

1. Encuentra el menor entero positivo tal que el producto de sus cifras es 189000.

2. Encuentra el menor entero positivo tal que la suma de sus cifras es 2004 y el producto de suscifras es 2753.

3. ¿Cuanto suman los ultimos 2005 dıgitos del numero 20042005 × 20052004?

4. Tres hermanos heredan n piezas de oro, con pesos 1, 2, 3...n. ¿Para que n pueden repartirselas piezas?

5. Un numero de 6 dıgitos esta representado por el numro 1vwxyz, donde 1, v, w, x, y, z sonsus dıgitos. Si este numero se multiplica por 3 se obtiene el numero vwxyz1. Encuentra dichonumero.

6. Encuentra los dıgitos c y d tales que hacen verdadera la expresion 2c9d = 2c9d, donde 2c9drepresenta un numero de cuatro dıgitos.

7. Encuentra una infinidad de enteros tales que la suma de sus dıgitos es igual al producto deellos.

8. Se eligen 128 potencias de 2. Demuestra que hay dos cuya diferencia es multiplo de 1000.

9. Encuentra todos los numeros primos p tales que p + 77 tiene exactamente 5 divisores.

10. Se tiene una fila de focos numerados del 1 al 2010. Inicialmente se encuentran todos apagados.Se realiza el siguiente proceso: primero se cambia el estado del foco con el numero 1 ası comoel de todos sus multiplos. A continuacion se le cambia el estado al foco 2 y el de todos susmultiplos. Luego el de el 3 y todos sus multiplos, y ası sucesivamente hasta que se llega alfoco 2010 y se le cambia a este su estado. ¿Cuantos focos terminan prendidos al final delproceso?

4 Problemas Avanzados

1. Dado un entero k de dos o mas cifras, se genera un nuevo entero m insertando un cero entreel dıgito de las unidades y el dıgito de las decenas de k. Encuentra todos los numeros k talesque m resulta ser multiplo de k.

2. Encuentra todas las ternas de dıgitos (a, b, c) tales que ab y ac son numeros de dos dıgitos,cab es un numero de tres dıgitos y ademas ab× ac = cab.

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