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MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Tema A3b. Mecanismos y Robótica: Diseño y modelado mecanismo esférico.
“Diseño y modelo dinámico de robot esférico de 3-DOF para cuello robótico de robot humanoide”
F.J. Lópeza, S. Vergaraa, M.A. Vargasa, A. Palominoa, D. Pintob, D. Vilariñob
aFacultad de Ciencias de la Electrónica, Maestría en Ciencias de la Electrónica opción Automatización, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.
Av. San Claudio y 18 Sur S/N C.U Col. Jardines de San Manuel, Puebla, Pue. C.P. 72570, México. bFacultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Av. San Claudio y 14 Sur S/N C.U. Col. Jardines de San
Manuel, Puebla, Pue. C.P. 72570, México.
*Autor contacto: lopcorp.z@gmail.com
RESUMEN.
En el presente trabajo se muestra el diseño mecánico, los parámetros Denavit-Hartenberg, la cinemática directa y el modelo
dinámico de un robot esférico de 3-GDL, el cual se implementará como cuello en un robot humanoide (Arthur) desarrollado
por la empresa Hanson Robotics[1]. El diseño de la estructura del robot permite emular los principales movimientos que realiza
el cuello humano y contempla una capacidad de carga de 3.2 kilogramos. Mediante uso del software SolidWorks, se adquieren
los parámetros físicos del sistema y se realiza un estudio de movimiento graficando el torque de los actuadores, así mismo, se
genera una simulación de control de posición en Matlab utilizando un controlador (Tangente hiperbólica). Los resultados
obtenidos corroboran el modelo dinámico, obteniendo así una base para la construcción del sistema.
ABSTRACT.
This paper shows the mechanical design, Denavit-Hartenberg parameters, direct kinematics and the dynamic model of a 3-DoF
spherical robot, which will be implemented as a neck in a humanoid robot (Arthur) developed by Hanson Robotics. The design
of the robot structure allows emulate the main movements of the human neck and contemplates a load capacity of 3.2 kilograms.
Using SolidWorks software, the physical parameters of the system are acquired and a motion study is performed, graphing the
torque of the actuators. In the other hand, a position control simulation in Matlab is generated using a controller (Hyperbolic
Tangent). The results obtained corroborate the dynamic model, thus obtaining a basis for the construction of the system.
Palabras Clave: Robot esférico 3GDL, Modelo dinámico, Cuello robótico, Cinemática directa.
Nomenclatura:
g Fuerza de gravedad.
1n
Hn
Matriz de transformación homogénea.
HRz Matriz de rotación pura alrededor del eje z.
HTz Matriz de traslación pura sobre el eje z.
HTx Matriz de traslación pura sobre el eje x.
HRx Matriz de rotación pura alrededor del eje x.
I Momento de inercia.
kp Ganancia proporcional.
kv Ganancia derivativa.
1m Masa del eslabón 1.
2m Masa del eslabón 2.
3m Masa del eslabón 3.
Nm Newton-metro.
1lc Distancia al centro de masa del eslabón 1
2lc Distancia al centro de masa del eslabón 2.
Torque.
,q q Lagrangiano.
,K q q Energía Cinética.
( )U q Energía Potencial.
q Vector de coordenadas generalizadas.
dq Vector de posición articular deseada.
q Vector de error de posición.
q Vector de velocidades articulares.
q Vector de aceleraciones articulares.
( )M q Matriz de inercia.
( , )C q q Matriz de fuerzas centrípetas y de coriolis.
( )g q Vector de par gravitacional.
v Velocidad.
ISSN 2448-5551 DM 186 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
1. Introducción
El avance tecnológico en el área de robótica no solo se ha
expandido en la industria, ya que los “robots”, conocidos
comúnmente por este término, se han introducido en un
ámbito social, ayudando a las personas a realizar las tareas
cotidianas con mayor facilidad e incluso de forma
automatizada, en consecuencia se ha mejorado el diseño y la
forma en la que los robots interactúan con el humano [2], de
ahí nacen los robots humanoides, conocidos también como
androides (máquinas de diseño antropomórficas capaces de
imitar las funciones básicas del ser humano) [3].
Con la idea de que la interacción entre robot–humano sea
de forma natural, se han ido mejorando los semblantes y las
funciones de los androides, ya que, para tener una buena
interacción y aceptación por la sociedad, no solo es
necesario que el robot tenga una apariencia amigable y
pueda hablar, sino también como en la comunicación
humana, tendemos a manejar un lenguaje corporal, que son
las acciones o movimientos que producimos al entablar una
conversación, uno de los aspectos importantes que se
consideran son los gestos expresivos de la cara, que pueden
producir empatía e incluso denotar el estado anímico de las
personas, esto junto con los movimientos del cuello que dan
énfasis al lenguaje corporal.
El cuello es una de las áreas más complejas del cuerpo
humano, puede realizar un gran número de movimientos, los
más básicos son flexión, extensión, inclinación y rotación,
como se muestra en la Fig.1, cada uno implica la
participación de estructuras diferentes, que facilitan,
controlan y limitan el movimiento [4]. El cuello humano ha
sido objeto de estudio en la biomecánica, el modelo estándar
contempla 4 GDL [5, 6, 7].
En robótica se han estudiado los robots esféricos, los
cuales pueden mover el efector final alrededor de un punto
que se denomina el centro de rotación del mecanismo,
aunque un mecanismo esférico de 3 GDL puede realizar
movimientos en un espacio tridimensional, en general es
suficiente contar con 2 GDL para realizar esta tarea, ya que
la rotación sobre el eje de simetría del efector final no
cambia la posición en el espacio, solo denota la orientación
del mismo [8]. Los robots esféricos más estudiados constan
de una cadena cinemática cerrada, esto es, que tiene dos o
más eslabones unidos a su base, aunque presentan mayor
rigidez, con mayor capacidad de carga, pero el espacio de
trabajo es reducido y su modelo dinámico es de mayor
complejidad, el ejemplo de mayor impacto es el robot
llamado “Agile Eye” diseñado por Gosselin and Hamel [9],
el cual es un mecanismo paralelo de 3 GDL que tiene como
objetivo el control de la orientación de una cámara.
El mecanismo esférico de 3 GDL, ver Fig.2, presentado
en este trabajo, moverá la cabeza del humanoide Arthur
desarrollado por la empresa Hanson Robotics[1], la cual
tiene un peso de 3.2 kilogramos, por tal motivo la estructura
mecánica presenta rigidez para soportar dicha carga y logra
emular los movimientos del cuello humano, así mismo se
cuenta con contrapesos para mover el centro de masa de la
cabeza del humanoide (CMC) lo más cerca posible del
punto de giro, esto para reducir los efectos inerciales y la
energía suministrada por los motores. Se presenta el modelo
cinemático directo obtenido por medio de la metodología
Denavit-Hartenberg y las transformaciones homogéneas
[10], lo cual describe la posición en el espacio del
mecanismo. Para obtener la dinámica se desarrollaron las
ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, que nos
permiten obtener el modelo dinámico de un robot de forma
sistemática, logrando expresar todos los fenómenos físicos
presentes en el movimiento del mecanismo, además se
obtienen los parámetros físicos del robot por medio de
herramientas de software de diseño tales como SolidWorks,
en el cual fue diseñado el sistema completo utilizando los
materiales contemplados para la manufactura, esto es de
gran ayuda ya que nos proporciona los parámetros
numéricos de la masa, las distancias de los centros de masa
y el tensor de inercia de cada eslabón, como el software
cuenta con análisis de mecanismos, se realiza un estudio de
movimiento el cual nos da una referencia para corroborar el
modelo dinámico, puesto que, al implementar un algoritmo
de control tangente hiperbólica en el software Matlab se
lleva al robot a una posición articular deseada y se obtiene
𝜃1
𝜃2
𝜃3
Figura 1: Principales movimientos del cuello humano.
Figura 2: Mecanismo esférico 3-GDL.
ISSN 2448-5551 DM 187 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
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la gráfica de posición que se exporta a SolidWorks, para que
los actuadores sigan el mismo comportamiento de la
simulación y calcule el torque. Como resultados se presenta
la cinemática directa, modelo dinámico y estudio de
movimiento del mecanismo esférico, se comparan los
calculados.
2. Diseño Mecánico.
El mecanismo esférico debe de contar con dimensiones
adecuadas para el montaje en el robot humanoide, como se
muestra en la Fig.3.
El diseño de la estructura es de tal forma que direcciona
la fuerza de carga hacia la base, a diferencia de una cadena
cinemática abierta donde el primer eslabón debe contar con
el torque suficiente para soportar los siguientes, este
mecanismo cuenta con dos soportes en la base lo que
aumenta la rigidez, la transmisión del mecanismo se realiza
con poleas y bandas dentadas, lo que nos permite tener una
relación de reducción 2:1. El eslabón mostrado en la Fig. 4,
realiza el movimiento de flexión y extensión, cuenta con dos
soportes los cuales contienen el actuador que realiza el
movimiento de inclinación bilateral del cuello, dichos
soportes se diseñaron también para cargar un contrapeso, se
diseñó un acoplamiento de baleros para conectar el motor a
la polea dentada de transmisión.
La estructura que realiza el movimiento de inclinación
bilateral del cuello, ver Fig. 5, consta de una pequeña base
donde se empotra el actuador que realiza el movimiento de
rotación, así mismo soporta un acoplamiento entre la cabeza
y el eje del motor.
El acoplamiento entre la cabeza del humanoide y el eje
del motor que realiza el movimiento de rotación se hace
mediante una pieza que contiene un rodamiento de carga
axial y uno de carga radial como se muestra en Fig. 6, ya que
se debe liberar al motor del peso de la cabeza en cualquier
posición que esta adopte, ya sea verticalmente cuando la
fuerza es completamente axial o cuando tiene una
inclinación en donde las fuerzas se descomponen en axial y
radial.
Se muestra en la Fig. 7 el ensamble del robot esférico
acoplado con la cabeza del robot humanoide.
Figura 3: Espacio disponible para el mecanismo.
Figura 4: Estructura que realiza el movimiento de flexión y
extensión.
Figura 5: Estructura que realiza el movimiento de inclinación
bilateral del cuello.
Figura 6: Acoplamiento del actuador que realiza el movimiento de
rotación.
Figura 7: Ensamble del sistema, acoplado con la cabeza del robot
humanoide.
Base donde se
empotra la
cabeza
robotica
Actuador
Balero
carga radial
Balero
carga
axial
Acoplamiento
Actuador Contrapeso
s
Contrapeso
s
Soportes
Acoplamiento
de baleros
Actuador
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3. Modelo Dinámico.
3.1. Cinemática.
Para encontrar la cinemática directa del sistema se utilizó la
metodología propuesta por Denavit-Hartenberg, cabe
resaltar que el CMC se toma como efector final, se muestra
en la Fig.8 los sistemas de coordenadas utilizados para
definir los parámetros D-H que se muestran en la tabla 1.
Tabla 1: Parámetros D-H
Eslabón 𝒍𝒊 𝜶𝒊 𝒅𝒊/𝜷𝒊 𝒒𝒊
1 𝑙1 90º 0 𝑞1
2 𝑙2 0 0 𝑞2
2a 0 0 0 90°
2b 0 90° 0 0
2c 0 0 𝛽1 0
3 0 0 𝛽2 𝑞3
3a 0 0 0 90º
4 𝑙3 0 0 0
De acuerdo con la convención D-H, los parámetros
denotan lo siguiente:
il Longitud del i-ésimo eslabón.
i Ángulo de torsión.
i id Desplazamiento de la i-ésima articulación.
iq Ángulo de i-ésima articulación.
El mecanismo solo cuenta con tres eslabones, pero es
necesario realizar rotaciones auxiliares de los sistemas de
referencia para poder expresar la longitud de los centros de
masa de los eslabones sobre el eje x de cada sistema
coordenado, de no ser así, la dinámica del mecanismo no
tendría contemplado los efectos inerciales y las fuerzas que
ejercen sobre el robot.
La representación de la cinemática es a través del
producto de cuatro transformaciones básicas que definen
cada eslabón [10], donde se evalúan los parámetros
presentados en la tabla 1, por lo tanto, la transformada
homogénea para cada uno se describe en la ec. (1).
; 1
HR HT d HT l HRz z x xi i i i iq
nH
n (1)
La cinemática directa es la forma general de
transformaciones homogéneas que concatena los sistemas
de referencia cartesianos asociados a los eslabones del robot,
todos relativos al sistema de referencia fijo ∑0(x0,y0,z0).
El producto de transformaciones homogéneas que
representan la posición en el espacio del efector final (CMC)
se denota por la ec. (2).
1 2 2
0 0 1 2
2 3 3 4
2 2 3 32 c aa
a b c an 2b H H H H H H H H H (2)
Por tanto la cinemática directa que describe la posición
de cada eslabón del robot es la siguiente:
1 1 1
1 1 1
1 0
x l Cos q
y l Sin q
z
(3)
1 1 1 2 2 2
1 1 1
2
2
2
2 2 2
2 1 2
q q qx
y q
Cos l Cos l Cos
Sin l Cos lq q
z q
Cos
Sin l
(4)
3 3 1 1 2 3 1 1 2 2 1 2
1 2 1 3 1 3 1 2 3 2 2 1
1 2 2 2 3 2 3
3
3
3
l Cq Sq Cq Sq Sq Cq Cq Cq Cq
Cq Sq l Cq Cq Sq Sq Sq Cq Sq
Sq Sq l C
x
qz S
y
q
(5)
Las ecs. (3)-(5) describen la cinemática directa de los
eslabones que emulan los movimientos del cuello humano:
flexión y extensión (eslabón 1), inclinación bilateral
(eslabón 2) y rotación bilateral (eslabón 3), todos los ejes de
rotación de las articulaciones se intersectan en un punto
medio del mecanismo, se toma este como el origen del
sistema de referencia fijo.
Figura 8: Sistemas coordenados de referencia en base a la
convención DH del robot esférico.
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3.2. Dinámica.
Se sustituye en la cinemática directa las longitudes del
centro de masa (CM) de cada uno de los eslabones, como se
ha mencionado en la cinemática se desprecian estos valores,
pero se plantea la metodología D-H de tal forma que en la
dinámica se contemplen los fenómenos físicos que
proporcionan los contrapesos. Haciendo referencia al origen
del sistema, los centros de masa de los eslabones que
generan el movimiento de flexión-extensión (CM1) e
inclinación bilateral (CM2), se encuentran en la zona
negativa y el CMC se encuentra en la zona positiva del eje
x, reduciendo la distancia del centro de masa del sistema
general, como se visualiza en Fig. 9.
La ec. (6) hace referencia a la cinemática directa del centro
de masa de cada eslabón, para el i-esimo eslabón se toman
en cuenta las longitudes anteriores 1il y ángulos iq y 1iq
[8].
1 1, , , ,
i
i R i i ci i i
i
x
y f l l l q q
z
(6)
A partir de las ecs. (6) y (7) se deduce la rapidez lineal del
centro de masa de cada eslabón, representada por la ec. (8).
i
i i
i
xd
ydt
z
v (7)
2 2 2Ti i i ix y z iv v (8)
Posteriormente se obtiene la energía cinética ,K q q a
partir de la ec. (9), donde iI es el momento de inercia, im
la masa y Ti iv v la rapidez lineal de cada eslabón.
2
1
1 1,
2 2
nT
i i iK
i iq q m v v I q (9)
La energía potencial ( )U q no tiene una forma
específica, depende de la geometría del robot en general, por
tanto se considera la cinemática directa del centro de masa
de cada eslabón y se definen los puntos para los cuales la
energía potencial ( ) 0U q para cada uno, en la Fig. 10 se
denota con una línea roja para cada caso.
Las ecs. (10)-(12) expresan la función de la energía
potencial para los centros de masa de cada eslabón, donde
se ocupa la cinemática directa de los centros de masa.
Utilizando el principio de superposición la ec. (13) hace
referencia a la energía potencial total del sistema.
1 1 1 1 1( ) - Cos( )U m g lc lc qq (10)
2 2 2 2 1 2( ) - os( ) os( )U m g lc lc C q C qq (11)
3 3 1 1 2 3
1 1 2
1 2
1
3
2 2
3
( )
l Cq Sq Cq Sq Sq
Cq Cq CqU g
C
l
qm
q (12)
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )U U U U q q q q (13)
A partir de las ecs. (9) y (13) se construye el lagrangiano
ver ec. (14), de modo que la ec. (15) denota las ecuaciones
de movimiento de Euler–Lagrange, lo cual nos sirve para
calcular los de cada articulación.
, , ( )K U q q q q q (14)
, ,ii i
d
dt q q
q q q q (15)
La ec. (16) expresa el modelo dinámico del robot esférico
de 3 GDL en su forma compacta y con notación utilizada en
el área de robótica.
( ) ( , ) ( ) M C g τ q q q q q q (16)
CMC
Sistema de
referencia
fijo Centro de
masa del
sistema
CM2
CM1
Figura 9: Centro de masa del mecanismo esférico en relación con el
sistema de coordenadas de referencia.
Figura 10: Referencia de la energía potencial cero.
ISSN 2448-5551 DM 190 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
4. Parámetros Físicos del Robot
Con la ayuda del software SolidWorks se obtienen los
parámetros físicos del robot, esto contemplando que la
estructura mecánica será manufacturada de aluminio 6063,
el material de los contrapesos es acero 603. El programa de
diseño proporciona el tensor de inercia de cada eslabón con
respecto a un sistema de referencia, con esto podemos
deducir el momento de inercia con respecto del eje de giro
el cual es el eje Z, se presentan los parámetros en la tabla 2.
Tabla 2: Parámetros físicos del robot esférico.
Eslabón Masa
(Kg.)
Momento de Inercia
(Kg*m2)
Distancia al CM
(Metros)
1 1.6013 0.0150 0.0831
2 1.1613 0.002384 0.030
3 3.3356 0.00774 0.050
5. Control de posición.
El problema de control de posición o regulación radica en que el efector final del robot alcance una posición deseada desde cualquier punto inicial con la ayuda de una ley de control que proporcione los aplicados a las articulaciones
o servomotores del robot, como lo muestra la ec. (17).
( )lim
( ) 0
d
t
q t q
q t
(17)
Un algoritmo de control de posición o regulación bien
documentado es la estructura tangente hiperbólica, la cual se
expresa en la ec. (18), por tal motivo en este trabajo se utiliza
para resolver el problema planteado. La principal
característica del controlador es generar un atractor en la
ecuación en lazo cerrado formada por el modelo dinámico
del robot manipulador y la estructura matemática del
algoritmo de control, ver ec. (19).
tanh tanhp vK K g τ q q q (18)
1, ,( ) tanh( ) tanh( )p v
d
M K K Cdt
q q q q,q qq (19)
Se realiza una simulación en Matlab con la ayuda de la
función Ode45, la cual resuelve la ec. (19), se programa una
duración de 3 segundos, condiciones iniciales 0 y un tiempo
de muestreo de 1.8 milisegundos, se consideran estas
características de simulación para comparar los resultados
obtenidos con el estudio de movimiento que se realiza en
SolidWorks.
La simulación se genera con ganancias proporcional (Kp)
y derivativa (Kv) expresadas en las ecs. (20) y (21)
respectivamente.
0.48 0 0
0 0.48 0
0 0 0.48
Kp
(20)
0.45 0 0
0 0.45 0
0 0 0.45
Kv
(21)
La ec. (22) muestra el vector de posición deseada para la
simulación.
1
2
3
20
10
10
d
q
q
q
q (22)
6. Estudio de movimiento (CAD).
Solidworks nos brinda las herramientas de análisis de
mecanismos, con el cual se realiza un estudio de movimiento
del robot esférico presentado en este trabajo, el cual toma en
consideración todos los parámetros físicos y la fuerza de
gravedad.
Anteriormente se menciona que el periodo de muestreo
es 1.8 milisegundos, ya que el software maneja el mismo
parámetro, las posiciones obtenidas de cada actuador en el
apartado anterior se asignan a los motores que moverán el
mecanismo, así mismo, se obtienen las velocidades y
aceleraciones articulares, como se muestra en la Fig. 11.
Figura 11: Exportación de datos a los actuadores en el estudio de
movimiento.
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7. Resultados.
Al realizar el estudio de movimiento se encontró que los
datos de torque generados por SolidWorks contenían ruido,
por tanto se realizó un filtrado pasa bajas en Matlab,
obteniendo así gráficos más detallados.
Para la simulación del torque requerido por los
actuadores al designar las posiciones deseadas expresadas
por la ec. (22), se encontró para q1 se tiene un error de
cálculo de 0.25 Nm, también se aprecia una variación entre
los datos comparados en el segundo 0.35, ver Fig. 12.
Para q2 se encontró un error de cálculo de 0.073 Nm, se
aprecia una variación en el segundo 0.35 y 1.6, aunque el
modelo dinámico presenta el mismo comportamiento, ver
Fig. 13.
Para q3 se encontró un error de cálculo de 0.03 Nm, se
aprecia una variación en el segundo 0.35 y 1.6, el modelo
dinámico tiene el mismo comportamiento que el estudio de
movimiento, aunque presenta un pico de torque de magnitud
0.35 Nm, ver Fig. 14.
8. Conclusiones.
El modelo dinámico de un robot es muy importante para
representar los fenómenos físicos que se encuentran en su
estructura mecánica, tales como efectos inerciales, fuerzas
centrípetas y de coriolis y pares gravitacionales que son
propios del robot, además es fundamental para el diseño y
construcción del sistema mecánico, ya que permite
comprobar si son convenientes los cambios en la estructura
mecánica del robot.
Se obtuvo satisfactoriamente la cinemática del robot
esférico propuesto en este trabajo, a través de la metodología
Denavit-Hartenberg, logrando posicionar los sistemas de
referencia adecuadamente para expresar los fenómenos
inerciales que producen la cabeza robótica como los
contrapesos propuestos.
El estudio de movimiento realizado en SolidWorks,
corrobora el modelo matemático desarrollado, aunque se
desconoce el método por el cual calcula el torque, por tanto,
se puede pensar que las variaciones entre los resultados son
producto de ello.
Aplicando un controlador con estructura tangente
hiperbólica, se realizó control de posición del mecanismo.
Se concluye que el resultado de este trabajo es una buena
aproximación al modelo dinámico que describe un robot
esférico de 3 GDL, sentando bases sólidas para la elección
de los actuadores y construcción del mecanismo.
REFERENCIAS
[1]Hanson Robotics, Humanoid Robot Arthur [online]. Disponible en: http://hansonrobotics.com/slate-fr-blogger-meets-arthur-dld-conference/
[2] MacDorman, K.F., and Ishiguro, H. (2006). The Uncanny advantage of using androids in social and cognitive science research. Interaction Studies, 7(3), p.297-337.
Figura 12: Torque q1 para posición planteada en ec. (22).
Figura 13: Torque q2 para posición planteada en ec. (22).
Figura 14: Torque q3 para posición planteada en ec. (22).
ISSN 2448-5551 DM 192 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
[3]F. R. Cortéz, Robótica, Control de Robots Manipuladores, Alfaomega, Grupo Editor, First Edition, México, 2011.
[4] I J. G. Sanchez, «Módulo de bases anatómicas y fisiológicas del deporte.,» 2000.
[5] Miguel Silva. Human Motion Analysis Using Multibody Dynamics and Optimization Tools. PhD thesis, Instituto Superior T´ecnico, Lisboa, Portugal, 2003.
[6] D. Laananen. Computer simulation of an aircraft seat and occupant in a crash environment. Program som-la/som-ta user manual, US Department of Transportation, Federal Aviation Administration, 1999.
[7]Vladimir Zatsiorsky. Kinematics of Human Motion. Human Kinetics Europe Ltd, 1997.
[8] C. Gosselin, and E. Lavoie, “On the Kinematic Design of spherical three-dod parallel manipulators,” The international Journal of Robotic Research. Vol. 12(4), 1993, pp. 394-402
[9] C. Gosselin, and J.F. Hamel, “The agile eye: a high performance three-dof camera-orienting device,” IEEE Int. conference on Robotics and Automation, San Diego, 1994, pp. 781-787
[10]Subir Kumar Saha., Introducción a la Robótica, Mc Graw Hill 1era Ed. 2010.
ISSN 2448-5551 DM 193 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
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