demostraciones acerca del axiom supremo

ApuntesdeCalculodiferencial1.3Propiedadesdelosnmerosreales.

DDrr..JJuuaannMM..CCaammaacchhoo

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Axiomadelsupremo

Antesdepresentarelaxiomadelsupremo,axiomadelosnmerosreales,debemosestudiarunaseriededefinicionesquesirvenparaacotarconjuntos:cotassuperiorese inferiores,mximosymnimos,supremosenfimos.

Acotadosuperiormente

Un conjunto es acotado superiormente si existe un real que es mayor que todos loselementosdelconjunto.Aestenmero,selellamarcotasuperiorde.Cualquierotrorealmayorqueserunacotasuperiorde.

Acotadoinferiormente

Unconjunto esacotadoinferiormentesiexisteunrealqueesmenorquetodosloselementosdelconjunto.Aestenmero,selellamarcotainferiorde.Cualquierotrorealmenorque,tambinserunacotainferiorde.

Unconjuntoacotadosuperioreinferiormentesediceacotado.

Ejemplo1

SeaelconjuntoA=(inf,5).Este intervaloesacotadosuperiormente,unacotasuperiores5,yelconjuntodelascotassuperioreses[5,inf).Elintervalonoesacotadoinferiormentepuesnohayunnmeromenoralinfinito.

Seael conjuntoB=[1,3].Este intervaloes acotado superiormente,una cota superiores3, yelconjuntodelascotassuperioreses[3,inf).Elintervaloesacotadoinferiormente,unacotainferiores1yelconjuntodelascotasinferioreses(inf,1].

ApuntesdeCalculodiferencial1.3Propiedadesdelosnmerosreales.

DDrr..JJuuaannMM..CCaammaacchhoo

2

Mximo

DiremosqueunconjuntoAposeemximo,siposeeunacotasuperiorquepertenecealconjunto.

Mnimo

DiremosqueunconjuntoAposeemnimo,siposeeunacotainferiorquepertenecealconjunto.

Ejemplo2

SeaA=(inf,5).Noposeemximo,yaqueelconjuntodetodaslascotassuperioreses[5,inf),pero5nopertenecealconjunto.

SeaelconjuntoB=[1,3].Poseecomomnimoa1ycomomximoa3.

Supremo

Diremosqueun conjunto posee supremo, siexisteun real que satisface lasdos siguientescondiciones:

1. esunacotasuperiorde.2. cualquierotracotasuperiordeesmayorque.

Elsupremode,sedenotapor .

nfimo

Diremos que un conjunto posee nfimo, si existe un real que satisface las dos siguientescondiciones:

1. esunacotainferiorde2. cualquierotracotainferiordeesmenorque.

Elnfimode,sedenotapor .

ApuntesdeCalculodiferencial1.3Propiedadesdelosnmerosreales.

DDrr..JJuuaannMM..CCaammaacchhoo

3

Ejemplo3

Sea el conjunto A=(inf,5). Tiene como supremo el valor de 5, ya que 5 es cota superior delconjuntoycualquierotracotasuperiordeAsermayorque5.Notienenfimopuesnoestacotainferiormente.Estoes, 5.

SeaelconjuntoB=[1,3].Estacotasuperioreinferiormenteytienea1comonfimoya3comosupremo(1esmnimoy3esmximo).Estoes, 3, 1.

Ejemplo4

Resumimos ahora las caractersticas anteriores en el caso de intervalos, dados y nmerosrealescon .

min max inf sup

, , , ,

, , , ,

Links:

http://www.old.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/presentacion_semana/Semana08_print.pdfhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htmhttp://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Algebra/mate1u6.pdf