demostraciones acerca del axiom supremo
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ApuntesdeCalculodiferencial1.3Propiedadesdelosnmerosreales.
DDrr..JJuuaannMM..CCaammaacchhoo
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Axiomadelsupremo
Antesdepresentarelaxiomadelsupremo,axiomadelosnmerosreales,debemosestudiarunaseriededefinicionesquesirvenparaacotarconjuntos:cotassuperiorese inferiores,mximosymnimos,supremosenfimos.
Acotadosuperiormente
Un conjunto es acotado superiormente si existe un real que es mayor que todos loselementosdelconjunto.Aestenmero,selellamarcotasuperiorde.Cualquierotrorealmayorqueserunacotasuperiorde.
Acotadoinferiormente
Unconjunto esacotadoinferiormentesiexisteunrealqueesmenorquetodosloselementosdelconjunto.Aestenmero,selellamarcotainferiorde.Cualquierotrorealmenorque,tambinserunacotainferiorde.
Unconjuntoacotadosuperioreinferiormentesediceacotado.
Ejemplo1
SeaelconjuntoA=(inf,5).Este intervaloesacotadosuperiormente,unacotasuperiores5,yelconjuntodelascotassuperioreses[5,inf).Elintervalonoesacotadoinferiormentepuesnohayunnmeromenoralinfinito.
Seael conjuntoB=[1,3].Este intervaloes acotado superiormente,una cota superiores3, yelconjuntodelascotassuperioreses[3,inf).Elintervaloesacotadoinferiormente,unacotainferiores1yelconjuntodelascotasinferioreses(inf,1].
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DDrr..JJuuaannMM..CCaammaacchhoo
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Mximo
DiremosqueunconjuntoAposeemximo,siposeeunacotasuperiorquepertenecealconjunto.
Mnimo
DiremosqueunconjuntoAposeemnimo,siposeeunacotainferiorquepertenecealconjunto.
Ejemplo2
SeaA=(inf,5).Noposeemximo,yaqueelconjuntodetodaslascotassuperioreses[5,inf),pero5nopertenecealconjunto.
SeaelconjuntoB=[1,3].Poseecomomnimoa1ycomomximoa3.
Supremo
Diremosqueun conjunto posee supremo, siexisteun real que satisface lasdos siguientescondiciones:
1. esunacotasuperiorde.2. cualquierotracotasuperiordeesmayorque.
Elsupremode,sedenotapor .
nfimo
Diremos que un conjunto posee nfimo, si existe un real que satisface las dos siguientescondiciones:
1. esunacotainferiorde2. cualquierotracotainferiordeesmenorque.
Elnfimode,sedenotapor .
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ApuntesdeCalculodiferencial1.3Propiedadesdelosnmerosreales.
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3
Ejemplo3
Sea el conjunto A=(inf,5). Tiene como supremo el valor de 5, ya que 5 es cota superior delconjuntoycualquierotracotasuperiordeAsermayorque5.Notienenfimopuesnoestacotainferiormente.Estoes, 5.
SeaelconjuntoB=[1,3].Estacotasuperioreinferiormenteytienea1comonfimoya3comosupremo(1esmnimoy3esmximo).Estoes, 3, 1.
Ejemplo4
Resumimos ahora las caractersticas anteriores en el caso de intervalos, dados y nmerosrealescon .
min max inf sup
, , , ,
, , , ,
Links:
http://www.old.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/presentacion_semana/Semana08_print.pdfhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htmhttp://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Algebra/mate1u6.pdf